立體幾何第七章第45講立體幾何中向量方法(二)—求空間角和距離1/48考綱要求考情分析命題趨勢(shì)能用向量方法處理直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中應(yīng)用.，全國卷Ⅰ，18(2)T，全國卷Ⅱ，19(3)T，全國卷Ⅲ，19(2)T，四川卷，18(2)T用向量法證實(shí)線線、線面、面面平行與垂直；用向量法求空間角和空間距離；用向量法處理探索性問題.分值：6分2/48板塊一板塊二板塊三欄目導(dǎo)航板塊四3/481．兩條異面直線所成角求法．設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2方向向量，則4/485/486/487/48×

×

×

√8/48A

9/4810/4860°11/485．P是二面角α-AB-β棱上一點(diǎn)，分別在平面α，β上引射線PM，PN，假如∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α-AB-β大小為_________.90°12/48用向量法求異面直線所成角普通步驟(1)選擇三條兩兩垂直直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定異面直線方向向量；(3)利用向量夾角公式求出向量夾角余弦值；(4)兩異面直線所成角余弦等于兩向量夾角余弦值絕對(duì)值．一求異面直線所成角13/4814/4815/48二求直線與平面所成角利用向量法求線面角方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)射影直線方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量夾角(或其補(bǔ)角)；(2)經(jīng)過平面法向量來求，即求出斜線方向向量與平面法向量所成銳角，取其余角就是斜線和平面所成角．16/4817/48解析：(1)交線圍成正方形EHGF如圖：18/4819/4820/48三求二面角求二面角最慣用方法就是分別求出二面角兩個(gè)半平面所在面法向量，然后經(jīng)過兩個(gè)平面法向量夾角得到二面角大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．21/48【例3】如圖所表示，在多面體A1B1D1-ABCD中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1中點(diǎn)，過A1，D，E平面交CD1于點(diǎn)F.(1)證實(shí)：EF∥B1C；(2)求二面角E-A1D-B1余弦值．解析：(1)證實(shí)：由正方形性質(zhì)可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，從而B1C∥A1D，又A1D?面A1DE，B1C?面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C?面B1CD1.面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．22/4823/4824/48四求空間距離求點(diǎn)面距普通有以下三種方法：①作點(diǎn)到面垂線，點(diǎn)到垂足距離即為點(diǎn)到平面距離；②等體積法；③向量法．其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系規(guī)則圖形中較簡便．25/4826/4827/4828/481．如右圖所表示正方體ABCD-A′B′C′D′，已知點(diǎn)H在A′B′C′D′對(duì)角線B′D′上，∠HDA＝60°.求DH與CC′所成角大?。?9/4830/482．(·山東模擬)如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)證實(shí)：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角正弦值．31/4832/4833/4834/4835/4836/4837/484．如圖所表示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，P是AD延長線與A1C1延長線交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA1.(1)求證：CD＝C1D；(2)求二面角A-A1D-B平面角余弦值；(3)求點(diǎn)C到平面B1DP距離．38/4839/4840/4841/4842/48錯(cuò)因分析：兩個(gè)方向向量夾角與空間中直線、平面夾角是不完全相同，如兩個(gè)相交平面法向量夾角與這兩個(gè)平面組成二面角相等或互補(bǔ)，線面角與平面法向量和直線方向向量夾角是互余．易錯(cuò)點(diǎn)混同向量夾角與直線平面兩元素夾角概念43/48【例1】(·天津卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC中點(diǎn)．(1)證實(shí)：