課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA046學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期下

課題探究與發(fā)現(xiàn)：雙曲線的漸近線、二次函數(shù)與拋物線

書名：《數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師陳東峰北京匯文中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京東城區(qū)教育研修學(xué)院

教學(xué)目標

教學(xué)目標：

（1）了解雙曲線漸近線的推導(dǎo)過程，會用距離刻畫漸近程度。

（2）會把二次函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為拋物線的標準方程，并從圖像角度深入理解。

（3）體會數(shù)學(xué)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

教學(xué)重點：雙曲線漸近線的推導(dǎo)過程，拋物線的圖像平移方式。

教學(xué)難點：對漸近程度的刻畫。

教學(xué)過程

復(fù)

bx2y2

習(xí)問題1我們利用信息技術(shù)直觀給出了yx是雙曲線1

aa2b2

舊

知的漸近線，如何證明呢？

引

入

追問1如何理解漸近線？我們學(xué)過的哪些圖像中存在漸近現(xiàn)象呢？

課

題

時間

反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)甚至正切函數(shù)的圖像均存在

漸近現(xiàn)象。反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)是遞減的，當x正無窮大時，y

恒正逐漸接近0；對于指數(shù)函數(shù)，當x接近負無窮時，y值恒

?

正逐漸接近0.?=2

它們的共性是，幾何角度，曲線圖像與漸近線逐漸接近，永不

相交；代數(shù)角度，當x趨近于某個數(shù)，一般為無窮時，y接近某個定

值，但y取不到這個值。

觀追問2如何研究雙曲線的漸近線呢？

察

性在第一象限內(nèi)，x、y均

質(zhì)為正，所以方程可變形為

優(yōu)

b

化yx2a2，這樣就可以

方a

案直觀的看出x與y變化趨勢

的相關(guān)性了。

追問3如何衡量一條直線與一條曲線的接近程度呢？

要通過距離來衡量。在直線

方程的學(xué)習(xí)過程中，涉及到了幾

種重要的距離公式.

以指數(shù)函數(shù)為例，只需要取

圖像上任意一點，研究該點到漸近線的距離就可以了。由于特殊性，

逐

步可用點的縱坐標的大小來衡量接近的程度.

調(diào)方案1：

整

建在雙曲線第一象

立限的圖像上取點M，作

模

型MQ垂直于，用

?

MQ的長度來y=表?示?雙曲

線與直線的距離。需

用到點到直線的距離

公式。

設(shè)M橫坐標為,從減少變量的角度來考慮，代入雙曲線方程得

b

M的縱坐標是?x02a2而后利用點到直線的距離公式可得：

a0

bxbx2a2

|MQ|00.

a2b2

需要研究函數(shù)yxx2a2(x0)的單調(diào)性.變形為：

（xx2a2)(xx2a2)a2

xx2a2

xx2a2xx2a2

分子的部分是定值，分母是遞增的，因此原函數(shù)是單調(diào)遞減的。

當x無窮大時，分母無限大，y值就無限小且趨于0.由于分子

不為0，所以y取不到0.

當無限變大時，對應(yīng)M向右無限運動時，MQ無限變小趨于0，

也就說?明0雙曲線與直線越靠右越接近，但不能相交.

方案2：利用縱向距離也可以值得研究。作MN平行于漸近線交于N，

由于MN與MQ成定倍數(shù)關(guān)系，因此可以替代MQ進行研究。

M、N的橫坐標相同，

這樣以來MN的長度等于

二者縱坐標的差，比較容

易計算。這個結(jié)構(gòu)與MQ表

達式的結(jié)構(gòu)是一致的，后

面的研究就基本一樣了。

追問4除距離外，還有無其它刻畫“漸近”的量？

方案3：如圖，當直線OM的斜率在發(fā)生變化。

當直線繞（0,0)逆時針旋轉(zhuǎn)時，斜率逐漸是變

大的。因此，只要求出OM斜率與比較就可以了。

?

結(jié)合前面的運算結(jié)果，?我們不難求出

b22

xa2

0ba

a，化簡后為，

kOMkOM12

x0ax0

用極限的思想來分析，當x趨向于無窮大時，根式下方接近但永遠

小于1，于主雙曲線就接近直線了.

?

y=??

問題2為什么二次函數(shù)yax2bxc的圖象是拋物線？有哪些證

類明方法？

比追問1：有哪些方式可說明二次函數(shù)的圖象是拋物線呢？

轉(zhuǎn)方式1：二次函數(shù)的圖像滿足拋物線的幾何特征；

化

形方式2：二次函數(shù)的表達式可化成拋物線的標準方程。

成

追問2：二次函數(shù)yax2bxc通過怎樣方式可變形為yax2？

結(jié)

論

由于標準方程對應(yīng)的拋物線，頂點在原點對稱軸是y軸，所以

可以通過兩次平移來實現(xiàn)重合，平移方向與原頂點位置有關(guān)，這樣

我們就把普通的二次函數(shù)與標準方程所對應(yīng)的拋物線結(jié)合在一起

了。再進行“原路返回”，可求得:

b14acb214acb2

焦點(,），準線y.

2a4a4a

追問3：怎樣證明二次函數(shù)上的點滿足拋物線的定義呢？

需要證明|PF|d，然后把此式化簡，得到y(tǒng)ax2bxc.

由于計算量較大，我們不妨采用等價變形的方式。

|PF|d

b14acb214acb2

(x)2(y)2|y|

2a4a4a

b14acb214acb2

(x)2(y)2|y|2

2a4a4a

b14acb214acb2

(x)2(y)2(y)2

2a4a4a

右邊

4acb2114acb214acb2

(2y)y(ax2bxc)

2a2aa4a2a4a2

bb2b

x2x(x+)2

a4a22a

由于以上各步均是可逆的，也就證明了