專題04函數(shù)奇偶性'單調(diào)性、周期性'對稱性歸類

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-E錄

題型一：奇偶性基礎(chǔ)..............................................................................1

題型二：單調(diào)性基礎(chǔ)..............................................................................3

題型三：周期性基礎(chǔ)..............................................................................4

題型四：中心與軸對稱應(yīng)用：左右平移..............................................................5

題型五：中心與軸對稱應(yīng)用：伸縮變換型............................................................6

題型六：中心與軸對稱應(yīng)用：軸對稱型..............................................................7

題型七：中心與軸對稱應(yīng)用：斜直線對稱............................................................7

題型八：中心與軸對稱應(yīng)用：中心對稱..............................................................8

題型九：中心與軸應(yīng)用：類比“正余弦”求和........................................................9

題型十：中心與軸應(yīng)用：“隱對稱點”.............................................................10

題型十一：雙函數(shù)型中心、軸互相“傳遞”.........................................................10

題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型...........................................................11

題型十三：類周期型函數(shù).........................................................................12

題型十四：“放大鏡”函數(shù)類周期性質(zhì).............................................................13

良突圍?檐:住蝗分

題型二「奇偶性基礎(chǔ)

指I點I迷I津

判定函數(shù)的奇偶性的常見方法：

(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，再化簡解析式驗證

“T)=±〃X)貨等價形式“T)土"X)=0是否成立；

(2)圖象法：若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可得函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)為

偶函數(shù)；

(3)性質(zhì)法：設(shè)/(力心(力的定義域分別為與2,那么它們的公共定義域上.常見的函數(shù)奇偶性經(jīng)驗結(jié)論

(在定義域內(nèi))：

1.加減型：

奇+奇一奇

偶+偶T偶

奇-奇T奇

偶-偶一偶

奇+偶-＞非

奇-偶一非

2.乘除型(乘除經(jīng)驗結(jié)論一致)

奇X+奇一＞偶

偶X+偶一偶

奇X+偶一＞奇

奇X+偶X+奇一＞=偶

簡單記為：乘除偶函數(shù)不改變奇偶性，奇函數(shù)改變

3.上下平移型：

奇+c—＞非

偶+c—＞偶

4.復(fù)合函數(shù)：

若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則/儂切為奇函數(shù)

若fix)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則/[g(x)]為偶函數(shù)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))若〃尤)，g(x),M力分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，則下

列函數(shù)不是偶函數(shù)的是()

A.y=/(g(x))/z(x)B.y=/(g(x))+/7(x)

c.y=/(〃(x))g(x)D.J=/(x)|g(x)|/z(x)

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/。)的定義域為口，＞=/(工)+26，是偶函數(shù)，1=70)-3/是奇函數(shù)，貝"(x)

的最小值為()

A.eB.75C.2A/2D.2亞

3.(2023春?湖北武漢?高三武漢市開發(fā)區(qū)一中校考階段練習(xí))已知/(%)名(無)是定義域為R的函數(shù)，且/⑴

是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿足〃x)+g(x)=/+x+2,若對任意的1＜X,＜X2＜2,都有㈤＞一3

成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.|U[0,+＜?)3

B.—,+00

4

D.

ox-h

4.（2023?吉林延邊?高三延邊二中校考開學(xué)考試）函數(shù)/（耳==2是H的奇函數(shù),〃力是常數(shù).不等式

2+a

f（院3。+f3-9,-2）<0對任意*eR恒成立,求實數(shù)上的取值范圍為

A.k<2s[l-\B.-272-1<^<272-1

C.左<一1D.-1K左<20-1

5.（2023秋?山西?高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)〃%）=（x+a-2乂必+?！?）為奇函數(shù)，則/⑷的值是（）

A.0B.-12C.12D.10

6.（2024年高考天津卷）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（)

eTccosx+x2ex-xsinx+4x

A.B.y=---------C.D.y=----——

>x2+ly=~n|r1

x+le

題型二：單調(diào)性基礎(chǔ)

指I點I迷I津

單調(diào)性的運算關(guān)系：

①一般認(rèn)為，一式龍）和心均與函數(shù)7U）的單調(diào)性工晅;

J\x）

②同區(qū)間，?+?=?_-1+曰_,TLT=J_；

單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)xi，x^[a,b],那么有:

增函數(shù)；

Xi-X2

\，J\I—減函數(shù)

Xl-X2

（3）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論：同增異減.

1.（21-22高三?全國?課后作業(yè)）如果函數(shù)/（x）在[o,句上是增函數(shù)，那么對于任意的X],x2^[a,b]（x]HX2）,

下列結(jié)論中不正確的是()

A〃再)-〃％)>0

xl—x2

B.(xi—X2)\f(xi)—f(x2)]>0

C.若M<X2,則/(a)</(x])</(X2)</(b)

玉-x2

D，"xj-y(尤2)>°

2.(23-24高三?福建廈門?模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)AM滿足①，(2)=0；②”,%e(0,+co),且占R%，

龍2〃龍2>0,貝的解集為()

/一項％

A.(-j—2)U(2,E)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-s,-2)U(0,2)D.(-2,0比(2,+8)

3.（22-23高一上?重慶沙坪壩?期末）已知_y=〃尤+1）為偶函數(shù)，若對任意。/€口,內(nèi)），（。中與，總有

qf⑸+⑻（a）<qf（a）+時⑸成立,則不等式〃2x）<〃4）的解集為（）

B.(-2,2)

12

D.

353

4.(22-23高三?浙江?模擬)設(shè)AM,g(x)都是。上的單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題，正確的是()

①若/(?單調(diào)遞增,g(x)單調(diào)遞增,則/(x)-g(x)單調(diào)遞增;

②若f(x)單調(diào)遞增,g(x)單調(diào)遞減,則/(X)-g(無)單調(diào)遞增;

③若單調(diào)遞減,g(x)單調(diào)遞增,則/(x)-g(x)單調(diào)遞減;

④若單調(diào)遞減,g(x)單調(diào)遞減,則/(x)-g(無)單調(diào)遞減.

A.①③B.①④C.②③D.②④

5.(23-24高三?河北邢臺?階段練習(xí))已知定義在(0,+“)上的函數(shù)滿足*2)=4,對任意的e(O,y),

且玉片馬，/^［/'(3+”用卜片"用+琮〃玉)恒成立，則不等式〃x-3)>2x-6的解集為()

A.(3,7)B.(-℃,5)C,(5,+00)D.(3,5)

題型三：周期性基礎(chǔ)

指I點I迷I津

周期性

①若於+a)=A無一6)令/⑴周期為T=a+b.

②常見的周期函數(shù)有：

/x+a)=—/(x)或=f或/x+a)=—，那么函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，其中一個周期均為T=2a.

/\Ji7I\Ji7

1.(22-23高三?重慶沙坪壩?模擬)函數(shù)的定義域為R,且〃。戶。.若對任意實數(shù)七y都

有了(尤)+/")=2/［亨寧］,則*2020)=()

A.近B.-1

C.0D.1

2.(2023高三?全國?專題練習(xí))定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：〃10+x)為偶函數(shù)，且/(5-x)?(5+x),則

外可一定是()

A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

3.(23-24高三?湖南衡陽?階段練習(xí))已知函數(shù)“X)滿足/。)=1,對任意實數(shù)尤，y都有

2023

—y)=『(x+y)成立，則()

m=\

A.-2B.-1C.2D.1

4.(22-23高三安徽?階段練習(xí))已知〃尤)是定義在R上的函數(shù)，〃尤)=；1且〃2)=2+6，則

7(2022)=()

A.2-73B.73-2C.2+6D.-2-石

5.(21-22高三?貴州六盤水?)函數(shù)〃力的定義域為尺，若/(x+2)=霽m且7(5)=-2,則以1103)=()

A.2B.-2C.-3D.3

題型四：中心與軸對稱應(yīng)用：左右平移

指I點I迷I津

圖形變換時，對稱軸和堆成中心也跟著平移

(1)平移變換：上加下減，左加右減

(2)對稱變換

關(guān)于X軸對稱

?y=f(x)?y=—")；

關(guān)于y軸對稱

②y=/U)-y=?—x)；

關(guān)于原點對稱

③y=#x)fy=-N—x)；

x

@y=a(a>0且a^l)—關(guān)于7.%對稱，=10￡/(。>0且*1).

保留%軸上方圖象

⑤尸危)

將%軸下方圖象翻折上去-y=l")|.

保留y軸右邊圖象，并作其

⑥y=A龍)----------------------------Ay=*xl)?

關(guān)于y軸對稱的圖象

1.(2023?四川南充?闔中中學(xué)校考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(%)的定義域為R,/(x+1)-3為奇函數(shù)，/(x+2)為

2023

偶函數(shù)，當(dāng)x￡［l,2］時，/(%)=加+尻若/(-L)+/(O)=l,則F)

2

1152

A.B.C.D.

121263

2..(2023?全國?高三專題練習(xí))已知/(力-1為R上的奇函數(shù)，〃%+2)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)九句0,2］時,

2

/(x)=x+l,若［=/("),ft=/(log2ll),。=/(2")，則〃，b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

3

3.(2023?貴州畢節(jié),統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,/(x+3)為偶函數(shù)，/(3彳+萬)為奇函數(shù),

則()

A./(-4)=0B./(-1)=0C."3)=0

D."6)=0

4.(2023?陜西?統(tǒng)考二模)己知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，若小+￡|為偶函數(shù)且川)=3,則/(2022)+

〃2023)=()

A.3B.-5C.-3D.6

5.（2022秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（無）的定義域為R,若“1-%）為奇函數(shù)，〃彳-1）為偶

函數(shù).設(shè)/（一2）=1,則〃2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

題型五：中心與軸對稱應(yīng)用：伸縮變換型

指I點I迷I津

帶系數(shù)：系數(shù)不為1,類比正弦余弦的帶系數(shù)形式，提系數(shù)平移

平移變換：左右或者上下

y（0（x+a）+e）左加右減

1.（2023?寧夏吳忠?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知了（力是定義域為R的函數(shù)，7（》-2）為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，

則有①”無）為奇函數(shù)，②"X）關(guān)于4-1對稱，③關(guān)于點（TO）對稱，@/（-2）=0,則上述推斷

正確的是（）

A.②③B.①④C.②③④D.①②④

2.（2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃力的定義域為R,且/（丁+2）是奇函數(shù)，/（3x+l）是偶

函數(shù)，則一定有（）

A./（4）=0B./（-1）=0

C."3）=0D."5）=0

3.（2023春?四川瀘州?高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)/（元）滿足/'（3x+l）是

奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.〃尤）的圖象關(guān)于直線》=-1對稱B.〃力的圖象關(guān)于點（1,0）對稱

C./（-3）=1D.〃尤）的一個周期為8

4.（2023秋?湖北恩施?高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)r（x）的定義域都為R,且/（3-2x）為偶

函數(shù)，/'（x+2）為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.B./（2）=0

C./（2023）+/（2022）=0D./（2023）+.f（2022）=0

5.（2022秋?湖北襄陽?高三襄陽五中校考階段練習(xí)）已知〃尤）及其導(dǎo)函數(shù)尸（x）的定義域均為R,若“1-2x）

8

為奇函數(shù)，/'（2x-l）為偶函數(shù).設(shè)/（0）=1,則￡尸（2左）=（）

k=\

A.-1B.0C.1D.2

題型六：中心與軸對稱應(yīng)用：軸對稱型

指I點I迷I津

和定為軸

1、f(a+x)=f(a-x)，則對稱軸x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，則對稱軸x二竺P

2

3、f(x)=f(2a-x),則對稱軸x二a

1.(2023上?山東濟(jì)寧?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)〃x)=(x+a)log2y關(guān)于直線x=b對稱，則2"+2=_____

4-x

2.(2023上?福建龍巖?高三上杭一中?？茧A段練習(xí))己知定義在R上的函數(shù)y=滿足〃2+x)"(2-x),

若方程y(x)=o有且僅有三個根，且尤=。為其一個根，則其它兩根為.

3.(2023下?黑龍江七臺河?高二勃利縣高級中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)"X)滿足/(?=/(兀-尤)，且當(dāng)

時，f(x)=x+sinx,設(shè)(2=〃1),6=/(2),°=/(3),則a,b,c的大小關(guān)系是.

4.(廣東省七校聯(lián)合體2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)若函數(shù)/。)=Y-〃忖+*+。有且

11X+1

只有一個零點，又點P(3a,l)在動直線m(x-l)+n(y-l)=0上的投影為點M,若點N⑶3),那么|腦V|的最小

值為.

5(四川省成都外國語學(xué)校、成都實驗外國語學(xué)校聯(lián)合考試2021屆高三第一學(xué)期11月月考).已知

〃x)=J^+cosx(xeR),VXG[1,4],“痛-lnx—2),,2/(2)-〃2+lnx—〃國，則實數(shù)m的取值范圍

是(J

ln21+1M2~|「11l〃2]「山21ln2~\「Il+ln2

A.—,---B.-,l+—C.—,l+—-D.---

題型七：中心與軸對稱應(yīng)用：斜直線對稱

指I點I迷I津

軸變換，又叫直線鏡面變換：

xfV

y=f(x)ny=x對稱"

*'yfx

-引申：y=x+b(必須斜率是k=l,就是直線反解)對稱丫上

yTx+b

1.(2023上,遼寧大連?高三大連八中校考階段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)的圖像與函數(shù)g(無)=弓廠的圖像關(guān)于

直線y=x對稱，則函數(shù)y=/(2x-尤2)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

2.(2023?高三單元測試)函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=X對稱,“X)=f_2x+2(xV0),則

g(5)=.

3.(2022下?遼寧?高二瓦房店市高級中學(xué)校聯(lián)考模擬)已知函數(shù)〃3x+l)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)/(x)

的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則g(x)+g(-x)=.

4.(2023上?上海閔行?高三校聯(lián)考期中)設(shè)曲線C與函數(shù)/(尤)=<xVf)的圖像關(guān)于直線y=瓜對稱,

設(shè)曲線C仍然是某函數(shù)的圖像，則實數(shù)f的取值范圍是.

5.(2022?湖南永州?統(tǒng)考三模)已知直線/：y=3x+2,函數(shù)”x)=lnx-ax+g,若外力存在切線與/關(guān)于直線

y=x對稱，則”.

題型八：中心與軸對稱應(yīng)用：中心對稱

"旨I點I迷I津

中心對稱：

(1)若函數(shù)“X)滿足〃a+x)+/(ar)=2b,則〃尤)的一個對稱中心為(“⑼

(2)若函數(shù)“X)滿足〃2ar)+“x)=M,則/(尤)的一個對稱中心為(a,6)

(3)若函數(shù)〃x)滿足/(2a+x)+/(-x)=?,則的一個對稱中心為(a,b).

函數(shù)變換，又叫原點變換：

y=f(X)=原點對稱=<Xf*

:引申：關(guān)于點(a,b)對稱，貝I)]'-2a-x

y

花<,荻三一百一漉二5&~一事奉嵩三不孽制7-殍羸三茨麗云藪厚一正施丁巨而通破

/(x)=ln(Vx2+l-x)+3-工-3、，不等式/(0G+4)+f(x2+5)?0對xeR恒成立，則?的取值范圍為()

A.[-2,+oo)B.(-℃,-2]C.一|■，+D.^-oo,-|-

2.(四川省達(dá)州市大竹縣大竹中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(x)=log2(V177+%)--？-+2,xeR,若三6使關(guān)于8的不等式

『(2sin。-cos。)+/(4-2sin6-2cose-〃z)<2成立，則實數(shù)機(jī)的范圍為.

22

將ax+?+Inf\Jx+1+x）4.、息-咕不息i咕不浦「1alrm”入71Vl的拈

3.函數(shù)〃R=__________''?4＞右〃尤）最大值為M，最小值為N,ae[l,3],則M+N的取值

X?+1（2

范圍是.

4.（廣東省深圳市人大附中學(xué)深圳學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（%）（%￡氏）滿足

/（-%）=2-/（^）,若函數(shù)y=：—與尸/⑴圖像的交點為。,m），?，%），…&），%），則2a+%）=

X,=1

5.（江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三模擬檢測2數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)〃同=爐一（、+1.若

存在me（l,4）使得不等式/（4-^）+/（m2+3時＞2成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

題型九：中心與軸應(yīng)用：類比“正余弦”求和

指I點I迷I津

類比正弦：

①兩中心（上0）,他,0）,1=m-,

!③一個中心(a,0),一條軸x==|a-6|

1.(2022了泰惠州?模擬)已知Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(2—x)^(R,若〃d=3,則/(1)+/(2)+

“3)+...+/(2018)=()

A.-3B.0C.3D.2018

2.(2022?廣西南寧?一模)定義在R上的偶函數(shù)Ax)滿足:對任意的實數(shù)x都有/(I-尤)=/(x+1),且/(-1)=2,

/(2)=-1,則〃1)+/(2)+/(3)+3+/(2017)的值為()

A.2017B.1010C.1008D.2

3.(2023?山東?一模)已知，(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(尤+1)為偶函數(shù)，若/'(-1)=2,則

")+/(2)+〃3)+L+/(2019)=()

A.4B.2C.0D.-2

4.(22-23高三上糊南永州?階段練習(xí))已知定義在尺上的奇函數(shù)〃力滿足/(*+1)+/(3-》)=0,若"1)=2,

則/(1)+f(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.-2B.0C.2D.2020

5.(2023?廣東梅州?三模)已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，〃1-20為偶函數(shù)，且=則

|/(-10)|+|/(-9)|+...+|/(0)|+|/(1)|+-+|/(9)|+|/(10)|=()

A.10B.20C.15D.5

題型十：中心與軸應(yīng)用：“隱對稱點”

指I點I迷I津

兩圖象上有對稱點轉(zhuǎn)化為方程有根的問題求解，然后再根據(jù)兩函數(shù)的特征選擇用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,

具有綜合性，難度較大.

1.（21-22高三?云南紅河?模擬）對于函數(shù)>=/（尤），若存在%,使得A%）=-/（-%）,則稱點（%,/（毛））與

點（-%/（-%））是函數(shù)y=/（x）的一對"隱對稱點”，若函數(shù)」『十?"（],存在"隱對稱點”，則實數(shù)

[nuc+2,x>0

機(jī)的取值范圍是（）

A.12-2A/^,0）B.co,2—2^/2JC.-8,2+2A/5]D.（0,2+2行]

2.（2022廣西柳州?一模）已知函數(shù)/（x）=lnx+V與且（無）=_%3一"的圖像上存在關(guān)于丁軸對稱的對稱點，則

實數(shù)〃的取值范圍是（）

11

A.a<—B.a>—C.a<eD.a>e

ee

3.（2022遼寧沈陽?模擬預(yù)測）函數(shù)與g（x）=f-1的圖象上存在關(guān)于元軸的對稱點，則實數(shù)〃的取

值范圍為（）（e為自然對數(shù)的底）

A.a<0B.a<1C.a<lD.a>l

4.（2023?河北衡水?一模）若函數(shù)>=/（x）圖象上存在兩個點A,區(qū)關(guān)于原點對稱，則對稱點（AB）為函數(shù)

y=/（%）的〃攣生點對〃，且點（AB）對（B,A）與可看作同一個〃攣生點對〃.若函數(shù)

f2,x<0

/?=3乙2C。、八恰好有兩個''攣生點對〃，則實數(shù)〃的值為

[-d+6%—9x+2—之0

A.0B.2C.4D.6

5.（22-23高三下?上海寶山?期中）若存在，￡尺與正數(shù)優(yōu)，使/。-咽=/。+附成立，則稱”函數(shù)/（%）在x=Z

處存在距離為2%的對稱點”.設(shè)=（x>0）,若對于任意此（0,述），總存在正數(shù)%使得“函

X

數(shù),。）在兀=，處存在距離為2%的對稱點”，則實數(shù)％的取值范圍是…

A.（0,2]B.（1,2]C.[1,2]D.[1,4]

題型十一：雙函數(shù)型中心'軸互相“傳遞”

指I點I迷I津

雙函數(shù)性質(zhì)：

1.雙函數(shù)各自對應(yīng)的對稱中心和對稱軸等性質(zhì)

2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系

傳遹中心，對稱軸，與周期

若函數(shù)〃尤)關(guān)于x軸對稱，關(guān)于9,0)中心對稱，則函數(shù)〃尤)的周期為4卜一。|,

若函數(shù)/(X)關(guān)于％軸對稱，關(guān)于x=b軸對稱，則函數(shù)“X)的周期為2卜-。|,

若函數(shù)關(guān)于(a,0)中心對稱，關(guān)于他,0)中心對稱,則函數(shù)外力的周期為2kH.

1.(22-23高三上?江西?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且滿足

60

“X)-g(2-x)=4,g(x)+y(x-4)=6,g(3-x)+g(x+l)=0,貝0/(")=()

n=l

A.-3180B.795C.1590D.一1590

2.(23-24高三上?遼寧?階段練習(xí))2知函數(shù)〃力,g(4的定義域均為R,且/(%)+g(2-%)=6,

18

g(x)-/(x—4)=4,若g(x)的圖像關(guān)于X=2對稱，g(2)=3,則>；“/：)=()

k=l

A.14B.16C.18D.20

3.(2023?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,/(x+1)是奇函數(shù)，且〃1)+g(x)=2,

/(x)+g(x-3)=2,則下列結(jié)論正確的是.(只填序號)

2020

①/(X)為偶函數(shù)；②g(x)為奇函數(shù)；③>>(%)=40；④>>㈤=40.

k=lk=\

4.(2023?河南?模擬預(yù)測)已知〃尤)為定義在R上的奇函數(shù)，g(x)是〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，/(1)=1,

g(2-x)+g(x)=0,則以下命題：①g(x)是偶函數(shù)；②g(l)=0；③〃力的圖象的一條對稱軸是x=2；

2022

其中正確的序號是.

1=1

5.(2023?四川南充?二模)設(shè)定義在R上的函數(shù)〃X)和g(x).若〃x)-g(4-x)=2,g(x)=/(x-2)-2,且

/(x+2)為奇函數(shù),則/(1)+/(2)+〃3)+…+/(2023)=.

題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型

指I點I迷I津

有/(X+y)<(或>)/(X)+/(y)或者/(x)<(或?(x)+/(t),則稱"X)為優(yōu)函數(shù)。

類似這類函數(shù)不等式，可以借助“類周期”思維進(jìn)行放縮。

1.(2024年高考1卷)已知函數(shù)為/(X)的定義域為R,/(九)>/(X—1)+/(X—2),且當(dāng)％<3時/(%)=X,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2021?四川德陽?一模)已知函數(shù)/(無)=一":，若以eR,/(x2-3x)-/(-x)+f{x-?)>/(%),則實

冗+71

數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,+QO)B.(-l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,-l)

3.(2020高三?全國?專題練習(xí))已知是定義在R上的函數(shù)，/(1)=1,且對任意xeR都有：

/(x+5)N/(x)+5與/(+1)4。(力+1成立,若g(x)=/(x)+l—x,則g(2017)=.

4.(22-23高二上?上海浦東新?開學(xué)考試)設(shè)〃尤)是定義在Z上的函數(shù)，且對于任意的整數(shù)“，滿足

/(?+4)-/(?)<2(77+1),/(?+12)-/(71)>6(?+5),/(-1)=-505,則的值為._________.

289

5.(22-23高三?北京順義?模擬)如果函數(shù)/(力滿足對任意s,le(0,+8),有/(s+。<f(s)+/?),則稱“x)

為優(yōu)函數(shù).給出下列四個結(jié)論：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)為優(yōu)函數(shù)；

②若為優(yōu)函數(shù)，則”2023)<2023/⑴；

③若為優(yōu)函數(shù)，則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

④若F(x)=/皿在(0,+8)上單調(diào)遞減，則f(x)為優(yōu)函數(shù).

X

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

題型十三：類周期型函數(shù)

指I點I迷I津

局部周期：

2x,(x<0

1、f(x)=<

f(x-1),(x>0)

2x,(x<0

2、f(x)=<

f(x-1)+b,(x>0)

/(x),|x|<8

1.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)〃%)在R上非嚴(yán)格遞增,滿足〃%+l)=〃％)+l,g(%)=

/(x-(2),|x|>8'

若存在符合上述要求的函數(shù)“力及實數(shù)與，滿足且(%+4)=屋%)+1,則〃的取值范圍是.

2.(2021下?天津武清?高二天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(%)='WXT)-，04X<2,若

〔/(x-2),x>2

對于正數(shù)K(〃￡N*),直線y=&x與函數(shù)/(%)的圖像恰好有2〃+1個不同的交點，貝!J

左;++???+左;=.

?+a,X-0,且方程f(x)=x恰有兩解.則實數(shù)a的取值范圍是

3.已知/(%)=

/(%-1),%>0,

,/、X2,-1<X<1,、

4.(2023上?四川資陽?高三統(tǒng)考模擬)已知函數(shù)〃X)={。，函數(shù)/(無)在x=x°處的切線為/,

J(%—2),1<無<3

若:<與<：,則/與“X)的圖象的公共點個數(shù)為_______.

65

5.(福建省長汀縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題)定義在[0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足/(>)=

[X2,XG.[0,1)

17(%-1)-2,%￡[1,+00),

(i)/(2021)=.

(ii)若方程/Q)-kx=。有且只有兩個解，則實數(shù)上的取值范圍是.

題型十四：“放大鏡”函數(shù)類周期性質(zhì)

指I點I迷I津

形如f(tx)=mf(x)等“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點辨析:

1.是從左往右放大，還是從右往左放大。

2.放大(縮小)時，要注意是否函數(shù)值有0。

3.放大(縮小)時，是否發(fā)生了上下平移。

4.“放大鏡”函數(shù)，在尋找“切線”型臨界值時，計算容易“卡殼”，授課時要著重講清此處計算。

1.已知函數(shù)/(久)={/：以;當(dāng)［一I二］時，f(x)=f(-x),當(dāng)X6R時，/(%+4)=2/(%),

若關(guān)于久的方程/O)在區(qū)同［0,5］上《有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)小的取值范圍是.

2.(山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)(理)試題)己知Ax)是定義在R上

2M-1,0<X<2

的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時，fM=<I,若關(guān)于元的方程"(尤)］2一(〃+1)/(%)+。=0(〃￡即恰有4

—y(x-2),x>2

個不相等的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為()

A.-4B.4C.8D.T或8

3.(上海市楊浦區(qū)統(tǒng)考2023屆高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題)已知定義域為(0,+s)的函數(shù)Ax)滿足：對任何

(0,+s),都有〃3x)=3f(x),且當(dāng)xe(l,3］時，f(x)=3-x,在下列結(jié)論中，正確命題的序號是

①對任何meZ,都有/(3帆)=0；

②函數(shù)AM的值域是［0,+8);

③存在/Z,使得/(30+l)=17；④“函數(shù)AM在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條

件是“存在左eZ,使得(a,6)a優(yōu)3A+1)”；

4.(湖南省衡陽市第八中學(xué)2022屆高三第三次月考數(shù)學(xué)試題)定義在(。,內(nèi))上的函數(shù)“X)滿足：對

Vxe(O,y),都有〃2x)=2/(x),當(dāng)x?l,2］時，/(x)=2-x,給出如下結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號

是：—.①對VmeZ,有/⑵)=0；

②函數(shù)〃尤)的值域為

③存在〃eZ,使得八2"+1)=9；

sin7rx,xG［0,2］

5.(上海市交大附中2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題對于函數(shù)/(%)=i

下列5個結(jié)論正確的是(把你認(rèn)為正確的答案全部寫上).

(1)任取冷當(dāng)e［0,y),都有1(%)-/(豆歸2；

(2)函數(shù)了=/(力在［4,5］上單調(diào)遞增；

(3)f(x)=2回(x+2k)(KeN),對一切尤e［0,4w)恒成立;

(4)函數(shù)y=/(x)-In(xT)有3個零點;

(5)若關(guān)于x的方程〃力=；九(機(jī)<。)有且只有兩個不同的實根為，%,則玉+遍=3.

專題04函數(shù)奇偶性'單調(diào)性、周期性'對稱性歸類

空盤點?置擊看考

目錄

題型一：奇偶性基礎(chǔ)..............................................................................1

題型二：單調(diào)性基礎(chǔ)..............................................................................3

題型三：周期性基礎(chǔ)..............................................................................4

題型四：中心與軸對稱應(yīng)用：左右平移..............................................................5

題型五：中心與軸對稱應(yīng)用：伸縮變換型............................................................6

題型六：中心與軸對稱應(yīng)用：軸對稱型..............................................................7

題型七：中心與軸對稱應(yīng)用：斜直線對稱............................................................7

題型八：中心與軸對稱應(yīng)用：中心對稱..............................................................8

題型九：中心與軸應(yīng)用：類比“正余弦”求和........................................................9

題型十：中心與軸應(yīng)用：“隱對稱點”.............................................................10

題型十一：雙函數(shù)型中心、軸互相“傳遞”..