7.8多元函數(shù)極值及其求法7.8.1極值及最大值、最小值7.8.2條件極值第1頁(yè)7.8.1極值及最大值、最小值

1極值概念

定義7.10設(shè)函數(shù)

定義域?yàn)镈,

為D內(nèi)點(diǎn).若存在某個(gè)鄰域

使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于

點(diǎn)

都有

則稱函數(shù)在有極大值,

點(diǎn)稱為函數(shù)極大值點(diǎn)；若有則稱函數(shù)在有極小值,點(diǎn)稱為函數(shù)極小值點(diǎn).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使得函數(shù)取得極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第2頁(yè)例例例在處有極小值.在處有極大值.在處無極值.第3頁(yè)2取極值必要條件

定理7.10

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

含有偏導(dǎo)數(shù)，

且在點(diǎn)

處有極值，

則它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)必定為零：駐點(diǎn)極值點(diǎn)注意：仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零點(diǎn)，均稱為函數(shù)駐點(diǎn).比如,點(diǎn)(0,0)是函數(shù)駐點(diǎn)，第4頁(yè)證定理7.10

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

含有偏導(dǎo)數(shù)，

且在點(diǎn)

處有極值，

則它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)必定為零：第5頁(yè)從幾何上看，這時(shí)假如曲面在點(diǎn)處有切平面，則切平面第6頁(yè)3取極值充分條件定理7.11

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又

令

則

在點(diǎn)

處是否取得極值條件以下：

（1）時(shí)含有極值，

當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；（2）時(shí)沒有極值；

（3）時(shí)可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論．第7頁(yè)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).求出二階偏導(dǎo)數(shù)值A(chǔ)、B、C.

第8頁(yè)例1解先解方程組再求出二階偏導(dǎo)數(shù)第9頁(yè)第10頁(yè)假如三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)考慮三元函數(shù)極值偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn)有極值必要條件為滿足上述條件點(diǎn)仍稱為駐點(diǎn).

若點(diǎn)M0是f(x,y,z)駐點(diǎn),f(x,y,z)在點(diǎn)M0處全部二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù),則當(dāng)矩陣含有為正定陣時(shí),點(diǎn)M0為極小值點(diǎn);為負(fù)定陣時(shí),點(diǎn)M0為極大值點(diǎn);如矩陣不是正定陣,也不是負(fù)定陣,則點(diǎn)M0不是極值點(diǎn).第11頁(yè)最大值，最小值將函數(shù)在D內(nèi)全部駐點(diǎn)處函數(shù)值及在D邊界上最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們能夠利用函數(shù)極值來求函數(shù)最大值和最小值.在通常碰到實(shí)際問題中，所確定函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么能夠必定該駐點(diǎn)處函數(shù)值就是最大值(最小值).求最值普通方法：第12頁(yè)例2求函數(shù)在閉區(qū)域D最大值與最小值，其中D是由得f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(diǎn)(1,0),且f(1,0)=1.在該圓上函數(shù)值均為零，所以解第13頁(yè)例3某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為有蓋長(zhǎng)方體水箱，問長(zhǎng)、寬、高各取怎樣尺寸時(shí)，才能使用料最省.解設(shè)水箱長(zhǎng)為則其高應(yīng)為此水箱所用材料面積即目標(biāo)函數(shù)為第14頁(yè)令解得依據(jù)題意可知，水箱所用材料面積最小值一定存在，又函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，所以函數(shù)取得最小值.所用材料最省.第15頁(yè)

將一個(gè)正數(shù)a表為三個(gè)正數(shù)之和,使這三個(gè)正數(shù)積為最大.

例4解設(shè)這三個(gè)正數(shù)分別是x、y、z,則x+y+z=a.它們積為xyz，因?yàn)閦=a–x–y,所以問題就變?yōu)榍蠛瘮?shù)在區(qū)域D={(x,y)|x>0,y>0,x+y<a}內(nèi)最大值問題.解方程組第16頁(yè)得到四個(gè)駐點(diǎn)但前三個(gè)點(diǎn)都不在區(qū)域D內(nèi),在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)

在該點(diǎn),故是函數(shù)在D內(nèi)唯一極值點(diǎn),且為極大值點(diǎn),也就是函數(shù)最大值點(diǎn).這時(shí),可見當(dāng)三個(gè)數(shù)相等時(shí),其乘積最大.第17頁(yè)7.8.2條件極值

無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其它條件.條件極值：對(duì)自變量有附加條件極值．對(duì)于有些實(shí)際問題，能夠把條件極值化為無條件極值.但在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不簡(jiǎn)單.我們另有一個(gè)直接尋求條件極值方法，能夠無須先把問題化到無條件極值問題，這就是拉格朗日乘數(shù)法.第18頁(yè)要找函數(shù)在條件下可

能極值點(diǎn)，先結(jié)構(gòu)函數(shù)

其中為某一常數(shù)，可由

解出

其中

就是可能極值點(diǎn)坐標(biāo).

第19頁(yè)拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)情況：

要找函數(shù)

在條件下極值，

先結(jié)構(gòu)函數(shù)

其中

均為常數(shù)，可由

偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出

即得極值點(diǎn)坐標(biāo).第20頁(yè)例5某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為有蓋長(zhǎng)方體水箱，問長(zhǎng)、寬、高各取怎樣尺寸時(shí)，才能使用料最省.解目標(biāo)函數(shù)為f(x,y,z)=2(xy+xz+yz),約束條件為xyz–2=0.由拉格朗日乘數(shù)法,結(jié)構(gòu)拉格朗日函數(shù)x>0,y>0,z>0得到方程組將方程組中第一、二、三個(gè)方程兩端分別乘上x、y、z后即能夠得到x=y=z，再將此結(jié)果代到最終一個(gè)方程中，即得x=y=z=第21頁(yè)例6求橢球面

使長(zhǎng)方體體積為最大.

內(nèi)接長(zhǎng)方體,解設(shè)長(zhǎng)方體與橢球面在第一卦限內(nèi)接點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),則內(nèi)接長(zhǎng)方體體積為8xyz,結(jié)構(gòu)函數(shù)

x>0,y>0,z>0得方程組

（1）第22頁(yè)由方程組前三個(gè)方程得到將其代入到最終一個(gè)方程中,即得因?yàn)轶w積最大內(nèi)接長(zhǎng)方體一定存在,方程組(1)解又是唯一,故就是所求最大值點(diǎn).所求最大致積為第23頁(yè)例7.拋物面橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓最長(zhǎng)與最短距離.解設(shè)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)為滿足令并使之為零，再結(jié)合條件，得第24頁(yè)解出第25頁(yè)例8.求函數(shù)f(x,y)=xy在閉區(qū)域上最大值與最小值解由fx(x,y)=y=0,fy(x,y)=x=0,得到函數(shù)在區(qū)域內(nèi)唯一駐點(diǎn)為(0,0),且

f(0,0)=0.邊界x2+y2=1上最大值與最小值.設(shè)下面考慮函數(shù)在區(qū)域則該方程組解為第26頁(yè)所求點(diǎn)由四個(gè)在P1和P2兩個(gè)點(diǎn)上,函數(shù)值為在P3和P4兩個(gè)點(diǎn)上,函數(shù)值為所以函數(shù)z=xy在閉區(qū)域上它們都是在邊界上取得.第27頁(yè)例9

某企業(yè)經(jīng)過電視和報(bào)紙兩種媒體作廣告,已知銷售收入R(萬元)與電視廣告費(fèi)x(萬元)、報(bào)紙廣告費(fèi)y(萬元)關(guān)系為

R(x,y)=15+14x+32y–8xy-2x2–10y2.(1)在廣告費(fèi)用不限情況下,求最正確廣告策略;(2)假如提供廣告費(fèi)用為1.5萬元,求最正確廣告策略.

依據(jù)題意,最正確廣告策略一定存在,故點(diǎn)(1.5,1)就是所求最大值點(diǎn).即當(dāng)電視廣告費(fèi)與報(bào)紙廣告費(fèi)分別為1.5萬元和1萬元時(shí),銷售收入最高,為R(1.5,1)=41.5萬元.解(1)求最正確廣告策略即求R(x,y)最大值.解方程組解得唯一駐點(diǎn)x=1.5,y=1.第28頁(yè)依據(jù)題意,最大值存在,故當(dāng)廣告費(fèi)用為1.5萬元時(shí)銷售收入最高為R(1.5,0)=40.5萬元.即只做報(bào)紙廣告為最正確策略.(2)求廣告費(fèi)用為1.5萬元時(shí)最正確廣告策略,就是在x+y=1.5條件求R(x,y)最大值.設(shè)F(x,y)=15+14x+32y–8xy-2x2–10y2+解得唯一駐點(diǎn)x=0,y=1.5.第29頁(yè)

例10設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)得成本為c，每臺(tái)電視機(jī)得銷售價(jià)格為p，銷售量為x.假設(shè)該廠生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)生產(chǎn)量等于銷售量.依據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售量x與銷售價(jià)格p之間有下面關(guān)系：(1)其中M為市場(chǎng)最大需求量，a是價(jià)格系數(shù).同時(shí)，生產(chǎn)部門依據(jù)對(duì)生產(chǎn)步驟分析，對(duì)每臺(tái)電視機(jī)生產(chǎn)成本c有以下測(cè)算：(2)依據(jù)上述條件，應(yīng)怎樣確定電視機(jī)售價(jià)p，才能使該廠取得最大利潤(rùn)？其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)成本，k是規(guī)模系數(shù).第30頁(yè)例10解設(shè)廠家取得利潤(rùn)為作拉格朗日函數(shù)將（1）代入（2），得（3）第31頁(yè)（4）（5）將（3）、（4）、（5）代入由此得電視機(jī)最優(yōu)價(jià)格第32頁(yè)練習(xí)1有一寬為24cm長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形水槽.練習(xí)3練習(xí)2問怎樣折法才能使斷面面積最大.求二元函數(shù)在直線x+y=6，x軸和y軸所圍成閉區(qū)域上最大值與最小值.第33頁(yè)練習(xí)4練習(xí)5在第一卦限內(nèi)作橢球面切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo).將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)x、y、z之和使得為最大.第34頁(yè)練