高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，，得．故選：C．2.下列命題為真命題的是（）A.大于的角都是鈍角 B.銳角一定是第一象限角C.第二象限角大于第一象限角 D.若，則是第二或第三象限的角【答案】B【解析】對A，∵，但180°不是鈍角，∴A是假命題，故A錯誤；對B，∵銳角的范圍是，是第一象限角，∴B是真命題，故B正確；對C，是第二象限角，是第一象限角，，∴C是假命題，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命題，故D錯誤.故選：B.3.德國著名數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者，用其名字命名的高斯函數(shù)為，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．定義符號函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】．故選：D．4.2023年10月26日神舟十七號載人飛船成功發(fā)射，某校舉辦航天知識競賽，競賽設(shè)置了，，三道必答題目.已知某同學(xué)能正確回答，，題目的概率分別為0.8，0.7，0.5，且回答各題是否正確相互獨(dú)立，則該同學(xué)最多有兩道題目回答正確的概率為（）A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92【答案】B【解析】，，三道必答題目，該同學(xué)都回答正確的概率為，該同學(xué)最多有兩道題目回答正確的概率為.故選：B.5.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B.3 C. D.1【答案】A【解析】因?yàn)椋墙K邊上一點(diǎn)，所以，由三角函數(shù)的定義，得，解得（正值舍去）.故選：A.6.現(xiàn)有張完全相同的卡片，分別寫有字母、、、、，從中任取一張，看后再放回，再任取一張.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為”，丙表示事件“兩次抽取卡片的字母相鄰”，丁表示事件“兩次抽取卡片的字母不相鄰”，則（）A.乙與丁相互獨(dú)立 B.甲與丙相互獨(dú)立C.丙與丁相互獨(dú)立 D.甲與乙相互獨(dú)立【答案】D【解析】設(shè)事件甲、乙、丙、丁分別記為、、、，由題意可得，有放回的抽取卡片兩次的基本事件數(shù)為，兩次抽取卡片的字母相鄰的基本事件為、、、、、、、，共個，兩次抽取卡片的字母不相鄰的基本事件為個，則，，顯然丙與丁為對立事件，C錯誤；對于A，乙與丁同時發(fā)生的基本事件為、、，有個，則，所以乙與丁不相互獨(dú)立，A錯誤；對于B，甲與丙同時發(fā)生的基本事件、，有個，則，所以甲與丙不相互獨(dú)立，B錯誤；對于D，甲與乙同時發(fā)生的基本事件為，只有個，則，所以甲與乙相互獨(dú)立，D正確.故選：D.7.若函數(shù)（m，n為常數(shù)）在上有最大值7，則函數(shù)在上（）A.有最小值 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以恒成立，所以的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是奇函數(shù)，因?yàn)樵谏嫌凶畲笾?，所以在上有最大值為，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故選：A．8.已知，且，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取得等號．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知：，則成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由，解得，設(shè)：，成立的一個充分不必要條件為集合，則且，所以和都是的充分不必要條件.故選：BD.10.下圖統(tǒng)計了第10～19屆亞運(yùn)會中國隊獲得的金牌數(shù)，則關(guān)于這10屆中國隊獲得金牌數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.中國隊獲得金牌數(shù)的極差為105 B.中國隊獲得金牌數(shù)的平均數(shù)小于155C.中國隊獲得金牌數(shù)的75%分位數(shù)為183 D.中國隊獲得金牌數(shù)的60%分位數(shù)為151【答案】BC【解析】這10屆中國隊獲得金牌數(shù)的極差為，A錯誤；這10屆中國隊獲得金牌數(shù)的平均數(shù)為：，B正確；這10屆中國隊獲得金牌數(shù)從小到大排列為：94，125，129，132，150，151，165，183，199，201，因?yàn)?，所以中國隊獲得金牌數(shù)的75%分位數(shù)是183，C正確；因?yàn)?，所以中國隊獲得金牌數(shù)的60%分位數(shù)為，D錯誤.故選：BC.11.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對于任意的，，都有，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在處取得最大值【答案】BCD【解析】對A：由，得的圖象關(guān)于直線對稱；又是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；由對稱性可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，再根據(jù)是奇函數(shù)可得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，A錯誤；對B：由與，得，所以，B正確；對C：因?yàn)閷τ谌我獾?，，都有，所以在上單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對稱，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對D：由C可知，在處取得最大值，，則在處取得最大值，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若扇形的半徑為4，弧長為16，則扇形圓心角的弧度數(shù)為______.【答案】4【解析】設(shè)扇形的圓心角為，易知.故答案為：4.13.已知函數(shù)，若存在且，使得，則的取值范圍為_______________.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知，且，所以，則，所以，故的取值范圍為．故答案為：．14.已知樣本的平均數(shù)為，方差為，樣本，，，的平均數(shù)為，方差為，則新樣本，，，，，，，的方差為______.【答案】【解析】由題意可知，，，，，故新樣本的平均數(shù)為，其方差為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn).（1）求，的值（2）求的值.解：（1）由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，.（2）由誘導(dǎo)公式化簡得：.16.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）設(shè)函數(shù)，用單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞增．解：（1）由冪函數(shù)的定義可知，解得，當(dāng)時，，又的圖象不過點(diǎn)，顯然不滿足題意；當(dāng)時，，將點(diǎn)代入得，綜上所述，．（2）由（1）可知，，則，任取，且，則，因?yàn)?，所以，，則，，所以，則，所以，則，即，故在上單調(diào)遞增．17.某地區(qū)打造特色干果產(chǎn)業(yè)，助力鄉(xiāng)村振興．該地區(qū)某一干果加工廠，打算對干果精加工包裝后通過直播平臺銷售干果，每月需要投入固定成本5萬元，月加工包裝x萬斤需要流動成本萬元．當(dāng)月加工包裝量不超過10萬斤時，；當(dāng)月加工包裝量超過10萬斤時，．通過市場分析，加工包裝后的干果每斤售價為12元，當(dāng)月加工包裝的干果能全部售完．（1）求月利潤關(guān)于月加工包裝量x的解析式；（利潤＝銷售收入－流動成本－固定成本）（2）月加工包裝量為多少萬斤時，該廣獲得的月利潤最大？最大月利潤是多少？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．（2）當(dāng)時，和在上均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，此時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得等號，因?yàn)?，所以月加工包裝量為15萬斤時，該廠獲得最大月利潤為69萬元．18.比亞迪是我國乃至全世界新能源電動車的排頭兵，某比亞迪新能源汽車銷售部為了了解廣大客戶對新能源性能的需求，隨機(jī)抽取200名用戶進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)統(tǒng)計情況，將他們的年齡按，，，，分組，并繪制出了頻率分布直方圖如圖所示．（1）估計樣本數(shù)據(jù)中用戶年齡的中位數(shù)；（2）銷售部從年齡在，內(nèi)的樣本中用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求這2人取自不同年齡區(qū)間的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知，年齡小于40歲的用戶所占比例為，年齡小于50歲的用戶所占比例為，所以中位數(shù)一定在內(nèi)，由，所以估計用戶年齡的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為45．（2）由分層抽樣的方法可知，抽取的8人中，年齡在內(nèi)的有3人，分別記為，，；年齡在內(nèi)有5人，分別記為，，，，；則從這8人中隨機(jī)抽取2人的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28種；記這2人取自不同年齡區(qū)間為事件，其包含樣本點(diǎn)有，，，，，，，，，，，，，，，共15種，故這2人取自不同年齡區(qū)間的概率為．19.已知（且）是指數(shù)函數(shù).（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).解：（1）由指數(shù)函數(shù)定義，得，而且，解得，則，不等式，而函數(shù)在R上遞增，因此，則，解得，所以原不等式的解集為.（2）由（1）知，，由，得，令，由，得，則，