第十章二元一次方程組復(fù)習(xí)課(教案新課程)【教學(xué)目標(biāo)】1．通過經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出二元一次（三元一次）方程組的過程，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界有效的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)代數(shù)法的優(yōu)越性和多樣性；2.了解二元一次（三元一次）方程組及解的概念；3.會(huì)用代入消元法、加減消元法解二元一次（三元一次）方程組；4.了解“消元”思想，體會(huì)“化未知為已知”的化歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用等．【教學(xué)重點(diǎn)】代入消元法、加減消元法解二元一次（三元一次）方程組．【教學(xué)難點(diǎn)】?jī)煞N方法的靈活運(yùn)用．【教學(xué)過程】 一、思維導(dǎo)圖，重建知識(shí)體系二、剖析拓展，梳理解題策略要點(diǎn)一、二元一次方程（組）的概念（一）重點(diǎn)梳理1．什么樣的方程是二元一次方程（組）？含有兩個(gè)未知數(shù)(如x和y)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫作二元一次方程.含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1，一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.什么是二元一次方程（組）解？使二元一次方程兩邊值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解，二元一次方程一般有無數(shù)組解.二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解，二元一次方程組一般情況下有唯一的一組解，特殊情況可能無解或有無數(shù)組解.（二）經(jīng)典例題例1．已知是方程的一個(gè)解，求的值．【分析】本題考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．將代入方程即可求得的值．【解】根據(jù)題意，得：將代入方程得，，解得：，即．例2．關(guān)于x、y的方程組的解為，求方程組的解．【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，先將方程組變形為，再根據(jù)題意得到，即可求出最后結(jié)果．【解】方程組可變?yōu)椋海哧P(guān)于x、y的方程組的解為，∴，由①得：，解得：，由②得：，∴方程組的解是．要點(diǎn)二、二元一次（三元一次）方程組的解法1．什么是消元思想？將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想，如三元一次方程組通過消元轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程，這種解方程組思想就是消元思想．2.什么是代入消元法?把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.什么是加消元法？把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.4.如何靈活運(yùn)用兩種方法解方程組？根據(jù)方程系數(shù)的特征靈活使用兩種方法.如當(dāng)二元一次方程組中一個(gè)方程中有未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值為1或系數(shù)比較小時(shí)，可以選用代入消元法；當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等或系數(shù)成簡(jiǎn)單倍數(shù)關(guān)系時(shí)，可以選用加減消元法.例3．用加減法解方程組下列解法正確的是（

）A．，消去y B．，消去yC．，消去x D．，消去x【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握加減消元法．根據(jù)加減消元法求解方法判斷即可．【解】用加減法解方程組，，可消去；，可消去．故選：C．例4．對(duì)于有理數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：，，其中a，b是常數(shù)．已知：，．(1)求a，b的值；(2)若關(guān)于x，y的方程組的解也滿足方程，求m的值．【分析】本題考查了定義新運(yùn)算、解二元一次方程組，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義運(yùn)算，結(jié)合，列出方程組即可求解；（2）先根據(jù)新運(yùn)算法則列出關(guān)于x，y的方程組，用含的式子表示出，再根據(jù)即可求出m的值．【解】（1），，，解得：．（2）由題意得，，解得：，，，解得：，的值為0．例5．若關(guān)于，的方程組和有相同的解．(1)求這個(gè)相同的解；(2)求的值【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，同解方程的含義，求解代數(shù)式的值；（1）把方程組中不含、的兩個(gè)方程聯(lián)立，再解方程組求解即可；（2）把（1）中方程的解代入含、的兩個(gè)方程組成方程組求解的值，再計(jì)算即可．【解】（1）把方程組中不含、的兩個(gè)方程聯(lián)立得，，①②得，，∴，把代入①得，，∴，∴方程組的解為，（2）把方程組中含、的兩個(gè)方程聯(lián)立得，，把代入得，，③+④得，，∴，∴．要點(diǎn)三：實(shí)際問題與二元一次方程組（三元一次方程組）二元一次方程組解實(shí)際問題的步驟：首先審題，弄清楚題意和題目中的數(shù)量關(guān)系；其次用字母（如）表示題目中的兩個(gè)未知數(shù)，并且把其他未知數(shù)也用（）表示出來；第三步根據(jù)題中的兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組；第四步選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M，求出未知數(shù)的值；第五步檢驗(yàn)所得的結(jié)果的正確性和合理性，并作答.例6．一方有難八方支援，某市政府籌集了抗旱物資打算運(yùn)往災(zāi)區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下（假設(shè)每輛車均滿載）：車型甲乙丙每輛汽車運(yùn)載量5810每輛汽車運(yùn)費(fèi)/元400500600(1)若全部物資都用乙、丙兩種車型來運(yùn)送，需運(yùn)費(fèi)8200元，乙、丙兩種車型各需幾輛？(2)為了節(jié)約運(yùn)費(fèi)，該市政府決定一共安排16輛運(yùn)送車輛，且甲、乙、丙三種車型都參與運(yùn)送，請(qǐng)你用列方程組的方法求三種車型各有多少輛．(3)哪種方案的運(yùn)費(fèi)最少？最少是多少元？【分析】本題主要考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用問題，根據(jù)題意準(zhǔn)確的列出方程組是求解本題的關(guān)鍵.（1）設(shè)需要乙車輛，丙車輛，根據(jù)運(yùn)費(fèi)元，總噸數(shù)134噸，列出方程組求解即可；（2）設(shè)甲車有輛，乙車有輛，丙車有輛，列出方程組，再根據(jù)均為正整數(shù)，求出的值，即可求解；（3）分別求出兩種方案的運(yùn)費(fèi)即可求解；【解】（1）設(shè)需要乙車輛，丙車輛由題意可得：解得：需要乙車8輛，丙車7輛（2）設(shè)甲車有輛，乙車有輛，丙車有輛由題意可得：消去可得：由于是正整數(shù)，且小于16，則：由是正整數(shù)，解得有兩種運(yùn)送方案：①甲車型4輛，乙車型3輛，丙車型9輛；②甲車型2輛，乙車型8輛，丙車型6輛；（3）解：兩種方案得運(yùn)費(fèi)分別是：①；②；甲車型2輛，乙車型8輛，丙車型6輛時(shí)，最少運(yùn)費(fèi)是8400元.例7．閱讀下列材料，解決問題．《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問題集，其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相仿．其中提出并解決了一個(gè)在數(shù)學(xué)史上非常著名的不定方程問題，通常稱為“百雞問題”：“今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一．凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何．”譯文：公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞每三只值一文錢．現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？(1)【嘗試】若設(shè)公雞有x只，母雞有y只．①小雞有________只，買小雞一共花費(fèi)________文錢（用含x，y的式子表示）．②根據(jù)題意，列出一個(gè)含有x，y的方程________．(2)【探索】若對(duì)“百雞問題”增加一個(gè)條件：公雞數(shù)量是母雞數(shù)量的3倍，求此時(shí)公雞、母雞、小雞各有多少只？(3)【拓展】除了問題（2）中的解之外，請(qǐng)寫出兩組符合“百雞問題”的解，并簡(jiǎn)要說明理由．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）①由購(gòu)買雞的只數(shù)找出購(gòu)買小雞的只數(shù)；②找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（3）結(jié)合、均為整數(shù)求出二元一次方程的解．（1）①根據(jù)共買雞100只，即可求出小雞購(gòu)買的只數(shù)，結(jié)合小雞的價(jià)格即可求出購(gòu)買小雞的總花費(fèi)；②根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量結(jié)合用一百文錢買一百只雞，即可得出關(guān)于、的二元一次方程；（2）根據(jù)（1）中②的結(jié)論結(jié)合公雞數(shù)量是母雞數(shù)量的3倍，即可得出關(guān)于、的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量結(jié)合用一百文錢買一百只雞，即可得出關(guān)于、的二元一次方程，結(jié)合、均為整數(shù)，即可求出結(jié)論．【解】（1）①要買100只雞，且小雞每三只值一文錢，買了只小雞，買小雞花了文錢．故答案為：；．②根據(jù)題意得：．故答案為：．（2）設(shè)公雞有只，母雞有只，則小雞有只，根據(jù)題意得：，解得：，．答：公雞有12只，母雞有4只，小雞有84只．（3）根據(jù)題意得：，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，舍去．故除了問題（2）中的解之外，以下三組答案，寫出其中任意兩組即可：①公雞有8只，母雞有11只，小雞有81只；②公雞有4只，母雞有18只，小雞有78只；③公雞有0只，母雞有25只，小雞有75只．例8．根據(jù)以下素材，探索解決任務(wù)．確定10元紙幣、1元硬幣和5角硬幣的質(zhì)量素材1小明與小聰為了測(cè)量10元紙幣、1元硬幣和5角硬幣的質(zhì)量，準(zhǔn)備了足夠多的10元紙幣、1元硬幣和5角硬幣（設(shè)同種類每張紙幣的質(zhì)量相同，同種類每枚硬幣的質(zhì)量也相同），實(shí)驗(yàn)器材有：一架天平和一個(gè)10克的砝碼．素材2小明：天平左邊放5枚1元硬幣和1個(gè)10克的砝碼，天平右邊放10枚5角硬幣，天平正好平衡．小聰：天平左邊放15枚1元硬幣，天平右邊放20枚5角硬幣和1個(gè)10克的砝碼，天平正好平衡．素材3小明與小聰共同探究發(fā)現(xiàn)：天平左邊放80張10元紙幣和1個(gè)10克的砝碼，天平右邊放7枚1元硬幣和10枚5角硬幣，天平正好平衡．提出問題：天平左邊放入60張10元紙幣，天平右邊只放入若干枚1元和5角的兩種硬幣，天平也能正好平衡．問題解決任務(wù)1確定硬幣的質(zhì)量每枚1元硬幣和每枚5角硬幣的質(zhì)量是多少克？任務(wù)2確定紙幣的質(zhì)量每張10元紙幣的質(zhì)量是多少克？任務(wù)3問題解決的策略天平左邊放入60張10元紙幣，天平右邊只放入若干枚1元和5角的兩種硬幣，求天平右邊有幾種放法使天平正好平衡？直接寫出天平右邊硬幣總數(shù)最少時(shí)面值總和是多少元？【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，列出方程組是本題的關(guān)鍵．任務(wù)1：設(shè)1枚1元硬幣重克，1枚5角硬幣重克．根據(jù)素材2列二元一次方程組，求解即可．任務(wù)2：設(shè)每張10元紙幣的質(zhì)量是克，根據(jù)素材3列一元一次方程，求解即可．任務(wù)3：設(shè)袋子中有1元和硬幣枚，5角硬幣枚，根據(jù)題意可得：，根據(jù)和均為正整數(shù)，可得為的倍數(shù)，，即，分別列舉使天平正好平衡種放法即可，即可得出當(dāng)，時(shí)，天平右邊硬幣總數(shù)最少，此時(shí)面值總和是元．【解】任務(wù)1：設(shè)1枚1元硬幣重克，1枚5角硬幣重克．根據(jù)素材2，得，解得，∴1枚1元硬幣重克，1枚5角硬幣重克．任務(wù)2：設(shè)每張10元紙幣的質(zhì)量是克．根據(jù)素材3，可得：，解得：，∴每張10元紙幣的質(zhì)量是克．任務(wù)3：設(shè)袋子中有1元和硬幣枚，5角硬幣枚，根據(jù)題意可得：，即，∵和均為正整數(shù)，∴為的倍數(shù)，，即∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴天平右邊有種放法使天平正好平衡，∴當(dāng)，時(shí)，天平右邊硬幣總數(shù)最少，此時(shí)面值總和是元，故天平右邊有種放法使天平正好平衡，天平右邊硬幣總數(shù)最少時(shí)面值總和是元．三、強(qiáng)化鞏固（學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)）復(fù)習(xí)題10第1(1、3)、2（1、3）、5、