山東省單縣高三一模第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘分值：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法即可求出復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解求出集合，再求交集可得答案.【詳解】由得，解得，因?yàn)?，所以集合是所有奇?shù)構(gòu)成的集合，則.故選：B.3.已知是兩個(gè)相互垂直的單位向量，且向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：由題意得出，先求出，即可求解；法二：不妨設(shè)，根據(jù)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算法則及模的計(jì)算即可求解．【詳解】法一：由題意得，所以，則；法二：因?yàn)槭莾蓚€(gè)相互垂直的單位向量，且向量，所以不妨設(shè)，則，故，則，故選：A．4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦曲線的對(duì)稱中心為，，即可求解．【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，即，因?yàn)?，所以，故選：D．5.已知球的半徑和圓錐的底面半徑相等，且圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓.若球的表面積為，則圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)即可列式求解.【詳解】設(shè)球的半徑和圓錐的底面半徑為，則球的表面積為，解得.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，所以，故，所以故選：C6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)．若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓恰好與直線相切，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，圓與直線相切于點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，得出，結(jié)合雙曲線及即可求解．【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，圓與直線相切于點(diǎn)，則根據(jù)幾何關(guān)系可知，即，所以，又，則，即，所以，即或，因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，故選：D．7.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求出增減區(qū)間，進(jìn)而得到或，即可求得結(jié)果.【詳解】由已知得，當(dāng)時(shí)，令，得，令，解得；令，解得；故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以若在區(qū)間上單調(diào)，則需滿足或，即或，所以的取值范圍是故選：B8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用坐標(biāo)法去表達(dá)焦半徑然后由方程組可得一元二次方程韋達(dá)定理，然后把轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)關(guān)系，然后消去系數(shù)，利用這個(gè)定值，可求出最小值，從而可得成立條件，即可求出面積.【詳解】由過(guò)點(diǎn)的直線可設(shè)為，與拋物線，聯(lián)立消去x得：，設(shè)交點(diǎn)，則，由，取等號(hào)條件是，此時(shí).故選：A.二?多選題：本題共3個(gè)題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分.有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A. B.是奇函數(shù) C.是增函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A和選項(xiàng)B：利用奇函數(shù)的定義以及奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義就有即可判斷；對(duì)于C：舉反例即可判斷；對(duì)于D：分別令和即可判斷.【詳解】對(duì)于B：令，由題設(shè)可知，故是奇函數(shù).故B正確；對(duì)于A：又的定義域?yàn)镽，所以，故A正確.對(duì)于C：不妨取，則滿足，且，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：令，則；令，則，故，故D正確.故選:ABD10.橢圓曲線在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用，已知橢圓曲線，則（）A.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱B關(guān)于軸對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱即可代入驗(yàn)證AB，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的零點(diǎn)，即可求解CD.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，而，所以不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，而，所以關(guān)于軸對(duì)稱，故B正確.當(dāng)時(shí)，.令，則.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，0，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的極大值為，極小值為.又，故只有一個(gè)零點(diǎn)，所以與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，故C正確.當(dāng)時(shí)，.令，則.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，故的極大值為，極小值為.又，故有三個(gè)零點(diǎn)，所以與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式、二倍角公式變形判斷AB；利用三角變換結(jié)合構(gòu)造函數(shù)方法，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，比較大小判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則，因此，C正確；對(duì)于D，，，則，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，因此，，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性是求解選項(xiàng)CD的關(guān)鍵.三?填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.寫(xiě)出一個(gè)半徑為，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程：________．【答案】或（寫(xiě)1個(gè)即可）【解析】【分析】設(shè)出圓心，利用切線的性質(zhì)，根據(jù)垂直直線斜率以及點(diǎn)到直線距離，建立方程組，可得答案.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，且與直線相切于點(diǎn)，由直線，可得該直線斜率為，所以，解得或，所以所求圓的方程為或．故答案為：或（寫(xiě)1個(gè)即可）.13.記是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算可得公比和首項(xiàng)，即可利用求和公式求解.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比故故答案為：14.已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列可得直線過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在曲線上，可得直線與曲線相切于點(diǎn)，切線方程可求，進(jìn)而可得的值.【詳解】由題意得，直線，故直線過(guò)定點(diǎn)，且曲線過(guò)點(diǎn)，故直線與曲線（無(wú)拐點(diǎn)）相切于點(diǎn).∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若，的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化以及二倍角公式即可求解，（2）根據(jù)面積公式可得，結(jié)合余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由已知及正弦定理可得.因?yàn)?，所以，?又，所以，則.因?yàn)?，所以，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，故.因?yàn)?，所?由余弦定理得，故.16.如圖，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若側(cè)面底面，底面是等邊三角形，側(cè)面是菱形，且，求直線與側(cè)面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而得到四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證明平面.（2）因?yàn)閭?cè)面底面，得到底面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)榈酌媸堑冗吶切?，所?因?yàn)閭?cè)面是菱形，且，所以.又側(cè)面底面，側(cè)面底面?zhèn)让?，所以底?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)三棱柱的各棱長(zhǎng)為2，則，，故，.設(shè)側(cè)面的法向量為，則即令，得，所以側(cè)面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與側(cè)面所成的角為，則，故直線與側(cè)面所成角的正弦值為.17.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且.（1）證明：；（2）若求直線被截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義以及等量代換即可證明結(jié)論.（2）根據(jù)題干求出橢圓的方程，再利用弦長(zhǎng)公式即可求得弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由橢圓的定義得①，由題意，②，將②代入①可得：，故得.小問(wèn)2詳解】若，則，所以則.由（1），，即點(diǎn)為曲線的下頂點(diǎn).在中，由余弦定理，，在中，由余弦定理，，則.設(shè)曲線的半焦距為，則，所以曲線的方程為.又，所以，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.聯(lián)立得0（*）.設(shè)方程（*）.的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則，故直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為：18已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若不是的極值點(diǎn)，求；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到在點(diǎn)處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求得結(jié)果.（2）利用取極值點(diǎn)的條件：函數(shù)的單調(diào)性在極值點(diǎn)左右兩側(cè)改變求解即可.分為、和分別討論即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，且，所以所求切線方程為.【小問(wèn)2詳解】令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(i)若，則，所以存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故是的極值點(diǎn)，(ii)若，則，所以存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故是的極值點(diǎn).（iii）若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故不是的極值點(diǎn).綜上，.19.若數(shù)列滿足：，若存在，都有，則稱這個(gè)數(shù)列為下界數(shù)列，并把其中最小值叫做臨界值，記為.（1）記數(shù)列前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列是下界數(shù)列；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷數(shù)列是否為下界數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）若數(shù)列是首項(xiàng)及公比均為2的等比數(shù)列，記，數(shù)列的臨界值為，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）數(shù)列不是下界數(shù)列，理由見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出，根據(jù)下界數(shù)列的