第2講方程與不等式（組）練習真題回顧1．（2020·上海中考真題）用換元法解方程+=2時，若設=y，則原方程可化為關于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0【答案】A【分析】方程的兩個分式具備倒數(shù)關系，設=y，則原方程化為y+=2，再轉化為整式方程y2-2y+1=0即可求解．【詳解】把=y代入原方程得：y+=2，轉化為整式方程為y2﹣2y+1=0．故選：A．【點睛】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應注意總結能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．2．（2019·上海中考真題）如果m﹥n，那么下列結論錯誤的是（）A．m＋2﹥n＋2 B．m－2﹥n－2 C．2m﹥2n D．－2m﹥－2n【答案】D【分析】根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，可得答案．【詳解】A.兩邊都加2，不等號的方向不變，故A正確；B.兩邊都減2，不等號的方向不變，故B正確；C.兩邊都乘以2，不等號的方向不變，故C正確；D.兩邊都乘以-2，不等號的方向改變，故D錯誤；故選D.【點睛】此題考查不等式的性質，解題關鍵在于掌握運算法則3．（2018·上海中考真題）下列對一元二次方程x2+x﹣3=0根的情況的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等實數(shù)根 B．有兩個相等實數(shù)根C．有且只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出△=13＞0，進而即可得出方程x2+x﹣3=0有兩個不相等的實數(shù)根．【詳解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有兩個不相等的實數(shù)根，故選A．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．4．（2020·上海中考真題）如果關于x的方程x2﹣4x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，那么m的值是____．【答案】4．【分析】一元二次方程有兩個相等的實根，即根的判別式△=b2-4ac=0，即可求m值．【詳解】依題意．∵方程x2﹣4x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，解得：m=4．故答案為：4．【點睛】此題主要考查的是一元二次方程的根判別式，當△=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實根，當△=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實根，當△=b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)根．5．（2019·上海中考真題）如果關于x的方程x2－x＋m＝0沒有實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)方程x2－x＋m＝0沒有實數(shù)根得到△=（-1）2-4m＜0，求出m的取值范圍即可．【詳解】∵關于x的方程x2－x＋m＝0沒有實數(shù)根，∴△＜0，∴(?1)2?4m＜0，∴，故答案為【點睛】此題考查解一元一次不等式組，掌握運算法則是解題關鍵6．（2019·上海中考真題）《九章算術》中有一道題的條件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一種容量單位）【答案】【分析】設一個大桶盛酒x斛，一個小桶盛酒y斛，根據(jù)“5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛”即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y值，將其相加即可得出結論．【詳解】設一個大桶盛酒x斛，一個小桶盛酒y斛，根據(jù)題意得：，解得：.∴x+y=.故答案為【點睛】此題考查二元一次方程組的應用，解題關鍵在于列出方程7．（2018·上海中考真題）方程組的解是_____．【答案】，【分析】方程組中的兩個方程相加，即可得出一個一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．【詳解】，②+①得：x2+x=2，解得：x=﹣2或1，把x=﹣2代入①得：y=﹣2，把x=1代入①得：y=1，所以原方程組的解為，，故答案為，．【點睛】本題考查了解二元二次方程組，根據(jù)方程組的結構特點靈活選取合適的方法求解是關鍵.這里體現(xiàn)的消元與轉化的數(shù)學思想.8．（2020·上海中考真題）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．【答案】（1）504萬元；（2）20%．【分析】(1)根據(jù)“前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%”即可求解；(2)設去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，則十一黃金周的月營業(yè)額為350(1+x)2，根據(jù)“十一黃金周這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等”即可列方程求解．【詳解】解：(1)第七天的營業(yè)額是450×12%=54(萬元)，故這七天的總營業(yè)額是450+450×12%=504(萬元)．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．(2)設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去)．答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．【點睛】本題考查了一元二次方程的增長率問題，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．（2020·上海中考真題）解不等式組：【答案】2＜x＜5．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．【詳解】解：由題意知：，解不等式①，移項得：3x＞6，系數(shù)化為1得：x>2，解不等式②，去分母得：3x-3＜x+7．移項得：2x<10，系數(shù)化為1得：x<5，∴原不等式組的解集是2＜x＜5．故答案為：2＜x＜5．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．10．（2019·上海中考真題）解方程：【答案】x＝－4.【分析】首先去分母，化為整式方程，求出解，然后合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化為1，最后檢驗求得的結果是否使原分式有意義，即可得到結果【詳解】去分母，得2x2－8＝x2－2x移項、整理得x2＋2x－8＝0.解這個方程，得x1＝2，x2＝－4.經檢驗：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根。所以，原方程的根是x＝－4.【點睛】此題考查解分式方程，解題關鍵在于掌握運算法則11．（2018·上海中考真題）解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】則不等式組的解集是﹣1＜x≤3，不等式組的解集在數(shù)軸上表示見解析.【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，則不等式組的解集是：﹣1＜x≤3，不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：.【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟知確定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找”是解題的關鍵.也考查了在數(shù)軸上表示不等式組的解集.模擬預測一、單選題1．（2020·上海奉賢區(qū)·）如果關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用判別式的意義得到＝（﹣2）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范圍，然后對各選項進行判斷．【詳解】解：根據(jù)題意得＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，所以m可以取0．故選：A．【點睛】此題考查的是根據(jù)一元二次方程根的情況,求參數(shù)的取值范圍，掌握一元二次方程根的情況與的關系是解決此題的關鍵．2．（2020·上海靜安區(qū)·九年級二模）如果關于x的方程x2+2x+m＝0有實數(shù)根，那么m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1【答案】B【分析】根據(jù)“關于x的方程有實數(shù)根”可得此方程的根的判別式，據(jù)此求解可得．【詳解】由題意得：此方程的根的判別式解得m≤1，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟記一元二次方程的根的判別式是解題關鍵．3．（2020·上海閔行區(qū)·九年級二模）方程根的情況（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根；C．無實數(shù)根 D．有兩個相等的實數(shù)根【答案】D【分析】利用根的判別式與0的大小關系即可判斷根的情況．【詳解】∵∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故選：D．【點睛】本題主要考查根的判別式，掌握根的判別式與根的個數(shù)的關系是解題的關鍵．4．（2020·上海虹口區(qū)·九年級二模）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根結合根的判別式，可得出△=36-4k＞0，解之即可得出實數(shù)k的取值范圍．【詳解】∵方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴△=（-4）2-4k=16-4k＞0，解得：k＜4．故選：B．【點睛】此題考查根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．5．（2019·上海九年級其他模擬）某商店9月份的銷售額為a萬元，在10月份與11月份這兩個月份中，此商店的銷售額平均每月增長x%，那么下列11月份此商店的銷售額正確的是（）A．a（1+x%） B．（1+x%）2 C．a（x%）2 D．a（1+x%）2【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程增長率的關系即可求解.【詳解】商店的銷售額平均每月增長x%，則11月份此商店的銷售額為a（1+x%）2故選D.【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找到關系進行列式.6．（2019·上海閔行區(qū)·中考模擬）下列方程中，沒有實數(shù)根的方程是()A．x2+3=1C．x?1x+2=1【答案】A【分析】根據(jù)根的判別式△=b2-4ac，逐一分析四個選項中方程根的判別式的符號，由此即可得出結論．【詳解】A.x2+3△=b2?4ac=0?8=-8<0，∴方程x2B.△=b2?4ac=1+4=5>0∴方程x2C.x?1x+2D.x+2=?x可變形為：△=b2?4ac=1+8=9>0∴方程x+2=?x故選A【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2?4ac:當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.7．（2021·上海九年級專題練習）用換元法解方程：時，如果設，那么將原方程變形后表示為一元二次方程一般形式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意把代入原方程即可求解.【詳解】把代入原方程得，去分母得，故選C.【點睛】此題主要考查一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟知等式的性質進行化簡.二、填空題8．（2021·上海九年級專題練習）某商品的原價為100元，如果經過兩次降價，且每次降價的百分率都是，那么該商品現(xiàn)在的價格是_____________元（結果用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)該商品現(xiàn)在的價格=原價×（1-降價的百分率）2即可得出結論：【詳解】解：∵原價為100元，百分率都是，

∴該商品現(xiàn)在的價格是；

故答案為：．【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系，關系是該商品現(xiàn)在的價格=原價×（1-m）2．9．（2021·上海九年級專題練習）若是方程的一個根，則_____________．【答案】5【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義即可得．【詳解】由一元二次方程的根的定義得：整理得：，故答案為：5．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，掌握理解根的定義是解題關鍵．10．（2020·上海普陀區(qū)·九年級二模）方程＝﹣x的解是__．【答案】x＝0【分析】先兩邊平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左邊進行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程轉化為兩個一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解為x1＝0，x2＝5，檢驗原方程的解為x＝0．【詳解】把方程＝﹣x兩邊平方，得5x＝x2，∴x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，∴x1＝0，x2＝5．檢驗：把x1＝0，x2＝5代入方程＝﹣x，可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是不符合原方程，所以原方程的解為x＝0．故答案為：x＝0．【點睛】考查了解一元二次方程的應用，解題關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程．11．（2018·云南昆明市·中考模擬）若關于x的一元二次方程x22x+m＝0有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】m≤1【分析】利用判別式的意義得到，然后解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，

解得m≤1。故答案為：m≤1【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．12．（2020·上海普陀區(qū)·九年級二模）如果關于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是____．【答案】m＜1【分析】根據(jù)直接開平方法定義即可求得m的取值范圍．【詳解】解：∵關于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1沒有實數(shù)根，∴m﹣1＜0，解得m＜1，所以m的取值范圍是m＜1．故答案為：m＜1．【點睛】考查了解一元二次方程-直接開平方法，解決本題的關鍵是掌握直接開平方法．13．（2021·上海九年級專題練習）如果一個矩形的一邊長是某個正方形邊長的2倍，另一邊長比該正方形邊長少1厘米，且矩形的面積比該正方形的面積大8平方厘米，那么該正方形的邊長是_____厘米．【答案】4【分析】設正方形的邊長為x厘米，根據(jù)題意用x表示出矩形的兩邊，根據(jù)題意列出方程，解一元二次方程得到答案．【詳解】解：設正方形的邊長為x厘米，則矩形的一邊長為2x厘米，另一邊長為（x﹣1）厘米，由題意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，整理得，x2﹣2x﹣8＝0，解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，故答案為：4．【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，讀懂題目的意思、根據(jù)題目給出的條件找出合適的等量關系，列出方程是解題的關鍵．14．（2021·上海九年級專題練習）方程＝0的根為______．【答案】x＝4【分析】利用有理數(shù)積的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后進行檢驗確定原方程的解．【詳解】解：根據(jù)題意得x﹣4＝0或x+2＝0，解得x＝4或x＝﹣2，經檢驗x＝4為原方程的解．故答案為:x＝4．【點睛】考查了解無理方程，解題關鍵是熟記解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結構特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設輔助元素法，利用比例性質法等．15．（2017·上海崇明區(qū)·九年級二模）不等式組的解集是_____．【答案】3＜x＜5【分析】分別求出每一個不等式的解集，再取其公共部分即可.【詳解】解：解不等式3x﹣15＜0，得：x＜5，解不等式3﹣x＜0，得：x＞3，∴不等式組的解集為：3＜x＜5.故答案為：3＜x＜5．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，屬于基礎題型，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵.16．（2019·上海閔行區(qū)·中考模擬）方程的解為_____．【答案】3【分析】根據(jù)無理方程的解法，首先，兩邊平方解出x的值，然后驗根，解答即可．【詳解】解：兩邊平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，檢驗：當x1＝3時，方程的左邊＝右邊，所以x1＝3為原方程的解，當x2＝﹣1時，原方程的左邊≠右邊，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案為3．【點睛】此題考查無理方程的解，解題關鍵在于掌握運算法則17．（2019·上海中考模擬）不等式組的整數(shù)解是_______．【答案】-1，0，1【分析】首先解出兩個不等式的解集，再根據(jù)求不等式組的解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到，確定不等式組的解集，最后找出符合條件的整數(shù)解．【詳解】由①得：x1，由②得：x>?2，則不等式組的解集為：?2<1，故整數(shù)解為：?1，0，1.故答案為：?1，0，1.【點睛】考查一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵.18．（2018·上海普陀區(qū)·中考模擬）用換元法解方程，設y=，那么原方程化為關于y的整式方程是_____．【答案】6y2-5y+2=0【分析】根據(jù)y＝，將方程變形即可．【詳解】根據(jù)題意得：3y＋，得到6y2－5y＋2＝0故答案為6y2－5y＋2＝0【點睛】此題考查了換元法解分式方程，利用了整體的思想，將方程進行適當?shù)淖冃问墙獗绢}的關鍵．三、解答題19．（2021·上海九年級專題練習）解方程組：【答案】【分析】將第二個方程進行因式分解得到，然后