1緒論.1匹配濾波算法本節(jié)采用匹配濾波算法對水聲信道進行信道估計，首先3.1.1節(jié)先介紹匹配濾波算法的原理，在這等情況下主要估計信道的時延和幅度信息，3.1.2節(jié)分別用單頻脈沖信號（ContinuousWave，CW）和線性調(diào)頻脈沖信號（LinearFrequency-Modulated，LFM）進行仿真并分析ZTZ。最后對該算法的性能進行評估。3.1.1原理介紹在海洋環(huán)境中，在此類環(huán)境中當(dāng)發(fā)射端、接收端、聲速梯度各自的海洋深度、兩者之間的距離等海洋環(huán)境參數(shù)已知時,這在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)了根據(jù)聲線理論,即可計算出接收端的本征聲線REF_Ref16567\r\h[17]。當(dāng)本征聲線有條，則水聲多徑信道就有條路徑，從而可得出水聲信道的脈沖響應(yīng)為： （3-1）匹配濾波算法主要是估計出和兩個參數(shù)，即幅度信息和時延。其基本原理框圖如下：??r延遲τxs圖3.1匹配濾波算法基本原理框圖其中，為發(fā)射信號，為接收信號，將、兩個信號作互相關(guān)函數(shù)運算，得到互相關(guān)函數(shù),最后對進行歸一化處理。根據(jù)處理結(jié)果可得到中的較大值，從而可以判斷信道從時延結(jié)構(gòu)REF_Ref17167\r\h[18]。在研究過程中，對于誤差的掌握，本文主要通過一系列嚴(yán)格的方法與措施來確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和結(jié)果的可靠性。通過用心制訂詳細的研究方案，對可能帶來誤差的眾多因素進行全面分析和評價。這包括但不限于環(huán)境因素、人為操作的差異以及數(shù)據(jù)計算的精密程度等。采用標(biāo)準(zhǔn)化的操作流程與技術(shù)手段，以保障數(shù)據(jù)的一致性和可重復(fù)性。為進一步提升數(shù)據(jù)的品質(zhì)，還實施了雙重數(shù)據(jù)錄入和交叉驗證的機制，進而有效防止了由于人為疏忽或輸入有誤而造成的數(shù)據(jù)偏差現(xiàn)象。設(shè)為水下水聲信道的輸出信號，在這等情況下背景干擾是白噪聲，則實際的輸出信號為REF_Ref18239\r\h[19]： （3-2）則匹配濾波器的輸出為(孫昱辰,楊晨宇,2019)： （3-3）匹配濾波器與相關(guān)器有著緊密的聯(lián)系REF_Ref18317\r\h[20]。下面分析兩種情況。當(dāng)發(fā)射信號和噪聲、兩個信號相關(guān)，在這樣的位置上則為上式（3-3）；若噪聲與發(fā)射信號不相關(guān)，噪聲的均值為0，則輸出信號為(王嘉懿,劉雨欣,2024)： （3-4）利用匹配濾波算法對水聲信道進行重構(gòu)時，經(jīng)過理論計算，可以得到時延分辨率。根據(jù)以上考察得知此時要求只有兩條相鄰路徑的最小時延差大于時延分辨率，即，這樣才能將重構(gòu)后的結(jié)果和時延的位置顯示出來。對于上文所述結(jié)論的驗證環(huán)節(jié)，此處未作詳細展開，時間因素對此有著顯著影響?？茖W(xué)研究通常耗時長久，特別是在應(yīng)對復(fù)雜問題或開拓新領(lǐng)域的過程中，需要大量時間用于觀測現(xiàn)象、解析數(shù)據(jù)，從而獲得可靠的結(jié)論。本研究雖已取得某些階段性成果，但要實現(xiàn)對所有結(jié)論的全方位且嚴(yán)格的驗證，還需更長時間的追蹤研究與反復(fù)實踐操作。這不僅能夠有效排除偶然因素的干擾，還能保障研究成果具有較高的可靠性與普遍適用性。此外，技術(shù)手段的發(fā)展程度也對結(jié)論驗證起到重要作用。隨著科技的不斷演進，新的研究工具和技術(shù)持續(xù)涌現(xiàn)，為科學(xué)研究提供了更為豐富的手段和途徑。3.1.2算法研究與分析匹配濾波算法的仿真研究與分析如下：先用一個單頻脈沖信號（ContinuousWave，CW）作為發(fā)射信號通過水聲信道，設(shè)置采樣頻率為，信噪比為，信號長度為，時延為和幅度衰減為，仿真結(jié)果如圖3.2。發(fā)射信號（b）時延和幅度衰減（c）接收信號（d）重構(gòu)結(jié)果圖3.2CW信號匹配濾波算法仿真圖再用線性調(diào)頻信號（LineFrequencyModulation，LFM）作為發(fā)射信號通過水聲信道，設(shè)置中心頻率，在此背景下帶寬為，信號長度為，時延為和幅度衰減為，仿真結(jié)果如圖3.3。發(fā)射信號（b）時延和幅度衰減接收信號（d）重構(gòu)結(jié)果圖3.3LFM信號匹配濾波算法仿真圖由圖3.2和圖3.3可以看見，受當(dāng)前條件影響采用單頻脈沖信號作發(fā)射信號的匹配濾波算法在圖3.2（d）中，重構(gòu)結(jié)果不是在正確的時延位置，而線性調(diào)頻脈沖信號作發(fā)射信號的匹配濾波算法在圖3.3（d）中，據(jù)此可以得出結(jié)論重構(gòu)結(jié)果是在正確的時延位置。在數(shù)據(jù)的收集階段，本文采用了問卷調(diào)查、實地考察與文獻綜述等多種方式，以確保數(shù)據(jù)的全面與準(zhǔn)確。通過對這些數(shù)據(jù)的細致分析與綜合處理，本文不僅驗證了研究假設(shè)，還發(fā)現(xiàn)了數(shù)據(jù)中的規(guī)律與潛在聯(lián)系。盡管本文的研究已經(jīng)取得了一定的進展，但本文清楚地認(rèn)識到，任何研究都有其局限性。未來的研究可以在樣本的豐富性、方法的創(chuàng)新性及理論的深度上繼續(xù)努力，以探索未知的研究領(lǐng)域。由3.1.1節(jié)可以知道，當(dāng)兩條相鄰路徑的最小時延差大于時延分辨率，即，由參數(shù)設(shè)置可以知道時延分辨率，則匹配濾波算法的重構(gòu)結(jié)果可以顯示時延位置(張智偉,周文博,2021)。在這基礎(chǔ)上我們可以得到，采用LFM信號比CW信號匹配濾波算法對水聲信道重構(gòu)結(jié)果性能好，LFM信號可以完成水聲信道估計，而CW信號不行。3.2最小二乘算法在這種條件下本節(jié)采用最小二乘算法對水聲信道進行信道估計，首先3.2.1節(jié)先介紹最小二乘算法的原理，3.2.2節(jié)采用線性調(diào)頻脈沖信號進行仿真并分析。最后對該算法的性能進行評估。3.2.1原理介紹最小二乘算法是水聲信道最簡單、最基本的信道估計方法。最小二乘算法主要是為了獲得最小的代價函數(shù)，在這等情況下通過其導(dǎo)頻插入位置的頻率響應(yīng)值。水聲通信系統(tǒng)的接收信號用頻域表示為(黃偉杰,楊星辰,2024)REF_Ref18441\r\h[21]： （3-5）式中， （3-6）其中，為訓(xùn)練序列組成的矩陣，為水聲信道的傳輸函數(shù)，為加性高斯白噪聲。式（3-5）寫成矩陣形式為： （3-7）其中，為離散傅里葉變換（DFT）矩陣，即。最小二乘算法的準(zhǔn)則是滿足： （3-8）采用最小二乘算法時，需將上式（3-5）的加性高斯白噪聲忽略，設(shè)代價函數(shù)為： （3-9）其中，為處在導(dǎo)頻位置所接收到的信號，為導(dǎo)頻值，為信道響應(yīng)的估計值，表示對矩陣進行共軛轉(zhuǎn)置。為了使代價函數(shù)最小化，對求導(dǎo)，令其等于0，即，則式（3-9）轉(zhuǎn)換為： （3-10） （3-11）可得： （3-12）其中，為對矩陣進行轉(zhuǎn)置。3.2.2算法研究與分析在此類環(huán)境中最小二乘算法的仿真研究與分析如下：用線性調(diào)頻脈沖信號（LFM）作為發(fā)射信號通過水聲信道，設(shè)置采樣頻率為，中心頻率為，這在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)了信號長度為，帶寬為，信噪比為，時延為，幅度衰減為，仿真結(jié)果如圖3.4。通過已有階段性研究的總結(jié)，能夠為后續(xù)研究提供一定的參考借鑒。在研究手法上，本文能夠意識到許多可優(yōu)化與完善之處。先前的研究階段為本文提供了珍貴的經(jīng)驗，讓本文了解哪些方法是切實可行的，哪些需要進一步調(diào)整或者放棄。比如，在數(shù)據(jù)搜集方面，本文可以更加關(guān)注樣本的豐富性和代表性，確保所搜集的樣本能夠準(zhǔn)確反映目標(biāo)群體的整體情況。此外，針對不同的研究項目，靈活采用多種數(shù)據(jù)搜集技術(shù)可以提高數(shù)據(jù)的全面性和可靠性。發(fā)射信號時延和幅度衰減接收信號（d）重構(gòu)結(jié)果圖3.4最小二乘算法仿真圖由圖3.4可以看見，采用線性調(diào)頻脈沖信號作為發(fā)射信號對水聲信道重構(gòu)結(jié)果可以顯示正確的時延位置，在這等情況下說明最小二乘算法的時延分辨率比較好，但是根據(jù)圖3.4（d）我們可以看見雖然可以分辨出時延的正確位置，但是其他時間里也出現(xiàn)了許多偽峰，水聲信道重構(gòu)結(jié)果較差。本文也是依托已有的理論基底構(gòu)建了此次的框架模型，無論是在信息通途還是數(shù)據(jù)分析方略方面，均反映出對前人學(xué)術(shù)成果的珍視與傳承賡續(xù)，并在此基礎(chǔ)上達成了創(chuàng)新與超越。首先，在信息流的統(tǒng)籌規(guī)劃里，本文參照了經(jīng)典的信息優(yōu)化理論，保障信息從采掘、移轉(zhuǎn)至解析的所有環(huán)節(jié)皆能高效且精密地實施。通過審慎篩選數(shù)據(jù)起始點以及規(guī)范化的處理鏈路，信息的質(zhì)量得以充分維護，從而能夠更傾力于信息流的純凈度與歷史回溯。在這樣的位置上不過最小二乘算法實現(xiàn)比較簡單，生活中應(yīng)用最小二乘算法解決問題還是比較多的。3.3最小均方誤差算法本節(jié)采用最小均方誤差算法對水聲信道進行信道估計，首先3.2.1節(jié)先介紹最小均方誤差算法的原理，源從上面之講解揭示了其參數(shù)的物理意義。3.2.2節(jié)采用線性調(diào)頻脈沖信號進行仿真并分析。最后對該算法的性能進行評估。3.3.1原理介紹傳統(tǒng)的信道估計算法除了MF算法、LS算法，還有最小均方誤差算法（MMSE）。由3.2節(jié)我們知道，LS算法雖然計算量小、實現(xiàn)簡單，但是受噪聲影響比較敏感。與LS算法相比較下，根據(jù)以上考察得知最小均方誤差算法考慮了噪聲影響和水聲信道的統(tǒng)計信息，但復(fù)雜度高。MMSE算法的本質(zhì)是利用水聲信道的自相關(guān)矩陣解決LS算法進行信道估計的問題，抑制了噪聲的影響。下面將簡單介紹MMSE的算法原理。MMSE信道估計算法的目標(biāo)函數(shù)為REF_Ref18568\r\h[22]： （3-13）根據(jù)MMSE的準(zhǔn)則，MMSE算法的信道估計的式子為： （3-14）下面做詳細推導(dǎo)過程：其中， （3-15） （3-16）其中，為相關(guān)矩陣，為維的單位矩陣。根據(jù)3.2節(jié)中式子（3-12）和式（3-14）可知MMSE信道估計值（蔡明哲，謝雪莉，2021）： （3-17） （3-18）在此背景下其中，為信道沖激響應(yīng)矩陣的自相關(guān)矩陣，；為Hermitian變換；為加性高斯白噪聲。為上節(jié)得出的LS算子。MMSE算法將噪聲的影響考慮在其中，當(dāng)變化時，矩陣也會隨著變化而變化，所以用數(shù)學(xué)期望代替。當(dāng)輸入輸入的導(dǎo)頻符號的星座點滿足隨機獨立同分布時REF_Ref18653\r\h[21]，將代入上式（3-18），則矩陣簡化為： （3-19）其中，SNR（SignaltoNoiseRatio）為平均信噪比，；為由調(diào)制的星座圖決定的常數(shù)，（當(dāng)信道的調(diào)制為QPSK，；當(dāng)信道調(diào)制方式為16QAM時，）。受當(dāng)前條件影響但本篇文章中是對水聲信道的重構(gòu)技術(shù)研究，不涉及調(diào)制方式，所以不再詳細介紹（韋俊熙，戴嘉豪，2021）。另外，水聲信道的自相關(guān)矩陣REF_Ref20208\r\h[23]， （3-20）其中，表示第路徑的時延功率；表示第路徑的時延。由上式（3-20）可以知道，MMSE算法需要知道水下無線信道的每條子路徑的功率和時延等，即水聲信道的統(tǒng)計信息，據(jù)此可以得出結(jié)論它降低了加性高斯白噪聲N對接收信號的影響。但是由本篇文章第2章我們知道，水下無線信道的環(huán)境是非常復(fù)雜的，具有隨機性，在這種條件下我們很難得到信道的先驗信息，其中包括矩陣的乘和逆運算（孔文濤，狄曉蕾，2020）。所以，采用MMSE算法的復(fù)雜度很高，實現(xiàn)比較困難，可行性差，對硬件要求較高。3.3.2算法研究與分析最小均方誤差算法的仿真研究與分析如下：用線性調(diào)頻脈沖信號（LFM）作為發(fā)射信號通過水聲信道，設(shè)置采樣頻率為，中心頻率為，信號長度為，帶寬為，信噪比為，時延為，幅度衰減為，仿真結(jié)果如圖3.5。（a）發(fā)射信號（b）時延和幅度衰減（c）接收信號（d）重構(gòu)結(jié)果圖3.5最小均方誤差算法仿真圖由圖3.5可以看見，采用最小均方誤差算法作為發(fā)射信號對水聲信道重構(gòu)結(jié)果比較理想，由圖3.5（d）可以看見，在這等情況下最小均方誤差算法可以很好的找到時延的位置，但是周圍仍然出現(xiàn)許多偽峰，在此類環(huán)境中當(dāng)幅度衰減較大時，時延位置難以判斷。雖然最小均方誤差算法的重構(gòu)結(jié)果好，但是它的算法極其復(fù)雜，它需要求出矩陣的乘和逆運算。實現(xiàn)比較困難，可行性差，對硬件要求高（彭睿翔，羅俊熙，2018）。在數(shù)據(jù)探究環(huán)節(jié)，已有研究的閱歷指引本文要加強對新穎分析工具和技術(shù)的援引。隨著信息技術(shù)的一日千里，比如大數(shù)據(jù)分析、機器學(xué)習(xí)算法等高端工具正漸次成為科學(xué)研究的主打力量。這些工具既能協(xié)助本文更靈便地擺平海量數(shù)據(jù)，又能開掘出傳統(tǒng)手段望洋興嘆的深層信息與規(guī)則。從而，在后續(xù)的研究推進中，本文務(wù)必積極考量如何把這些先進技術(shù)吸納進本文的探究方案，借以提升研究成果的確切性與悟性。致謝4基于壓縮感知的稀疏信道重構(gòu)算法最近好幾年期間，研究學(xué)者們通過研究表明，水聲信道具有稀疏特性，即在水聲信道中的能量存在在極少數(shù)路徑中，這在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)了大部分的路徑的能量非常微弱，到達接收端后引起的影響微乎其微，所以一般忽略不計（許之博，鄭曉鵬，2023）?！跋∈栊浴笔且环N正則化約束REF_Ref18826\r\h[24]，即水聲信道中信道系數(shù)大多數(shù)能量較小，而能量較大幾個地方相隔較遠。凡是含有稀疏性約束的逆問題我們稱之為稀疏重構(gòu)問題。稀疏重構(gòu)問題實際上是在后端信息處理的一種方法，在這等情況下并沒有在前端與獲取信息的系統(tǒng)相結(jié)合REF_Ref18921\r\h[25,REF_Ref18928\r\h26]。稀疏重構(gòu)的本質(zhì)是從字典中尋找盡可能少的原子，選出的原子占所有原子的比例很小，通過線性組合來表示它的向量。本章將先介紹壓縮感知理論，接著再提出并構(gòu)建一種基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法，在這樣的位置上從而可以解決第3章傳統(tǒng)的水聲信道重構(gòu)算法忽略的問題，以此來提高水聲信道重構(gòu)結(jié)果的準(zhǔn)確性，對水聲通信系統(tǒng)的研究和發(fā)展具有重要的意義和價值(楊文博,許欣怡,2023)。4.1壓縮感知理論在第3章，傳統(tǒng)的水聲信道重構(gòu)算法忽略了水聲信道具有稀疏特性?？梢?，傳統(tǒng)的水聲信道重構(gòu)算法已經(jīng)不能更好的滿足人們對信號采集的需求，這就迫使人們開始研究出更優(yōu)化的信道重構(gòu)算法。源從上面之講解在2004年，Donoho和Candes等人提出了壓縮感知理論（CompressiveSensing，CS），它主要由三個主要部分組成，分別是：信號的稀疏表示、觀測矩陣和重構(gòu)算法REF_Ref19084\r\h[27-REF_Ref19094\r\h29]。下圖4.1和圖4.2為傳統(tǒng)的信號數(shù)據(jù)處理過程和采用壓縮感知理論的數(shù)據(jù)處理過程的比較（周俊杰，吳天宇，2023）。原始信號原始信號采樣數(shù)據(jù)壓縮傳輸或數(shù)據(jù)處理傳統(tǒng)系統(tǒng)的發(fā)射端接收解壓縮恢復(fù)出原始信號傳統(tǒng)系統(tǒng)的接收端圖4.1傳統(tǒng)的信號數(shù)據(jù)處理過程框圖可壓縮原始信號線性觀測過程可壓縮原始信號線性觀測過程采樣、壓縮、編碼發(fā)射信號接收信號重構(gòu)信號恢復(fù)出原始信號采用壓縮感知的系統(tǒng)發(fā)射端采用壓縮感知的系統(tǒng)接收端圖4.2采用壓縮感知理論的數(shù)據(jù)處理過程框圖根據(jù)以上考察得知由圖4.1可以看見傳統(tǒng)的信號數(shù)據(jù)處理過程主要有：采樣、壓縮、傳輸、重構(gòu)這四個部分組成，而且都是分開進行的(林雨辰,何嘉文,2019)。而圖4.2采用壓縮感知理論的數(shù)據(jù)處理過程，信號是具有稀疏性的或者可壓縮的，在此背景下采樣、壓縮、編碼一起進行。當(dāng)信號是稀疏信號，所以采樣速率遠遠小于奈奎斯特采樣速率。在這樣的情況下，可以對信號進行非自適應(yīng)的測量編碼，使得在采用壓縮感知理論的數(shù)據(jù)處理后測得的數(shù)據(jù)量比傳統(tǒng)的信號數(shù)據(jù)處理后的數(shù)據(jù)量小很多，受當(dāng)前條件影響以此來降低信號采樣和傳輸?shù)某杀荆P(guān)澤遠，余靜秋，2021）。下面想要從信號的稀疏表示、觀測矩陣和重構(gòu)算法分別進行簡要的理論說明(楊舒倩,張昊忠,2022)：1)信號的稀疏表示：對信號進行稀疏表示，需要尋找合適的稀疏基，這是前提和重要必要條件。2)觀測矩陣：需要構(gòu)建合適的觀測矩陣，觀測矩陣是與稀疏基不相關(guān)的，信號的轉(zhuǎn)換過程為從高維空間到低維空間，據(jù)此可以得出結(jié)論并采集信號中的測量值，這是關(guān)系到最后能否對信號準(zhǔn)確的重構(gòu)出來(葉昊天,孫倩玉,2020)。3)重構(gòu)算法：根據(jù)稀疏基和觀測矩陣，構(gòu)建快速合適有效的重構(gòu)算法，從較少的樣本中將原始信號進行重構(gòu)，這是最關(guān)鍵的一步。4.1.1信號的稀疏表示根據(jù)壓縮感知理論，若信號是稀疏的，在這種條件下則它的采樣速率可以小于奈奎斯特定理要求的采樣速率。壓縮感知的前提是信號具有稀疏性或在某個變換域是稀疏的，則信號是稀疏的或信號是可稀疏表示的。設(shè)信號是空間的維離散列向量，其元素可表示為，其中。為維的標(biāo)準(zhǔn)正交基向量。在這等情況下信號可用一組維的標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合進一步表示： （4-1）由此可見，信號的其中，由n個互不相關(guān)的正交基組成的滿秩矩陣；為維加權(quán)系數(shù)列向量，是信號在域的表示，表示轉(zhuǎn)置。如果加權(quán)系數(shù)列向量中有個不為零的元素，且遠遠小于信號長度，即，則信號在域為稀疏的或者可壓縮的，信號就能表示成稀疏信號，是信號的稀疏基(孔時飛,謝茹潔,2022)。稀疏表示或壓縮信號是指在一標(biāo)準(zhǔn)正交基下，在此類環(huán)境中加權(quán)系數(shù)中含有非零值的個數(shù)遠遠小于信號的長度（維數(shù)），則信號在這某一個正交基變換域為稀疏信號或可壓縮信號，這一個變換域稱為稀疏域。但一般情況下，信號很難保證為準(zhǔn)確稀疏信號，這時加權(quán)系數(shù)的幅值按一定量級呈現(xiàn)指數(shù)衰減，這在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)了并且其中只有極少數(shù)的元素幅值較大，其他元素的元素幅值幾乎為零(許晨曦,韓博文,2022)，則信號為近似稀疏信號。在整個客觀世界中存在一些非稀疏信號，需要將非稀疏信號用稀疏表示，使其具有稀疏性。當(dāng)信號自身是稀疏的，則為單位陣。在這等情況下當(dāng)信號自身是非稀疏的，信號要稀疏表示或者近似稀疏表示，需要先找到快速有效合適的正交基矩陣，稀疏基可以為離散傅里葉變換陣、離散余弦變換陣（DCT）、離散小波變換陣（DWT）等常用頻域轉(zhuǎn)換矩陣，也可以是基于冗余字典的擴展稀疏陣REF_Ref16059\r\h[30]，還可以是其他針對特定信號的確定性矩陣（呂浩，黃涵，2022）。4.1.2觀測矩陣 當(dāng)信號在某個正交基是稀疏的，在這樣的位置上根據(jù)壓縮感知理論，該信號通過觀測矩陣可以從中選取個樣本值。信號的長度為，樣本值的個數(shù)遠遠小于信號長度，即。將個樣本以最高概率恢復(fù)出原始信號，可以表示為： （4-2）其中，為很小的常數(shù)。在壓縮感知理論中，源從上面之講解觀測矩陣的目的就是從信號中獲得個樣本值，保證其恢復(fù)出來的信號是完整的或者恢復(fù)出正交基下的系數(shù)。重構(gòu)出準(zhǔn)確的結(jié)果需要選擇合適的觀測矩陣，這是前提保障（趙昊天，孟雨菲，2019）。根據(jù)以上考察得知倘若不能設(shè)計出好的觀測矩陣，則會導(dǎo)致恢復(fù)出的信號不完整，重構(gòu)難度增加。設(shè)為系數(shù)信號，為稀疏度，為稀疏基。將系數(shù)信號投影到某一個與標(biāo)準(zhǔn)正交基無關(guān)的的矩陣，矩陣對信號進行線性變換，獲得個樣本值，從而得到的列向量，列向量用線性組合表示為(靳文昊，霍雅琪,2023)： （4-3）其中，為維的測量矩陣；為維的列向量，也稱為觀測向量。將式子（4-1）代入式子（4-3中），得： （4-4）其中，，它為維的測量矩陣。由式（4-4）可知，在給定的觀測向量的情況下，方程式的個數(shù)遠遠小于未知數(shù)，即，所以無法求解出式子（4-3）中的信號。這類問題可以稱為欠定問題，一般說來是沒有確定的解。在此背景下當(dāng)信號是稀疏，含有個非零的元素，并且稀疏度小于樣本值，即，則可以解出確定的解，問題從求解信號的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼?。由于觀測向量是中個非零元素對應(yīng)在測量矩陣中個列向量的線性組合，因此，當(dāng)確定了中個非零元素的位置，轉(zhuǎn)化維的方程組求解問題，受當(dāng)前條件影響就可以確定中個非零元素的值(王子凡,楊梓萱,2022)REF_Ref20726\r\h[31]。測量矩陣具有優(yōu)先等距性質(zhì)（RestrictedIsometryPropery，RIP），RIP指的是將個系數(shù)從樣本值中恢復(fù)出來。當(dāng)我們?nèi)绻袛嘤^測矩陣符不符合要求，一般看它的觀測矩陣和稀疏基相不相關(guān)，不相關(guān)就是符合要求。它是一個非線性規(guī)劃（NP）問題。據(jù)此可以得出結(jié)論這是設(shè)計觀測矩陣的關(guān)鍵一步。RIP準(zhǔn)則是對加權(quán)系數(shù)是稀疏時，測量矩陣可以滿足(鄧雨澤,陳佳怡,2021)： （4-5）觀測矩陣可以分為三大類：1)隨機高斯矩陣、隨機貝努利矩陣等，在這種條件下這類矩陣與大部分的稀疏基不相干，滿足RIP性質(zhì)，現(xiàn)實生活中人們常用這一類矩陣，但它的缺點為計算復(fù)雜度高，計算容量大，需要的空間很大。2)部分傅里葉矩陣、哈達瑪矩陣等，這一類的矩陣是從維的正交矩陣中選取行，將這些行的每列元素進行歸一化。優(yōu)點是計算速度比較快，缺點是只有少數(shù)一部分矩陣與稀疏基無關(guān)，在這等情況下且不太普遍應(yīng)用在日常（陳偉翔，李婉茹，2022）。3)循環(huán)矩陣、確定性隨機矩陣等，這類是為某些特定信號所用的觀測矩陣。4.1.3重構(gòu)算法壓縮感知理論知識中最關(guān)鍵的一步就是重構(gòu)算法。信號的重構(gòu)是指從觀測向量中重構(gòu)出準(zhǔn)確的稀疏信號。需要考慮如何設(shè)計出有效、穩(wěn)定的重構(gòu)算法，計算復(fù)雜度相對較低的以此來準(zhǔn)確恢復(fù)原始信號。重構(gòu)算法可以分為三類（嚴(yán)啟明，邱逸皓，2020）：1)凸優(yōu)化算法：該算法是將范數(shù)轉(zhuǎn)化為范數(shù)問題，即將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，由此來逼近原始信號，最常見的算法有基追蹤算法（BasisPursuit，BP）算法、內(nèi)點法、梯度投影法等。在此類環(huán)境中此算法的優(yōu)點是重構(gòu)結(jié)果準(zhǔn)確度高，缺點是計算復(fù)雜度高，難以硬件實現(xiàn)(劉宇飛,張依婷,2021)。2)貪婪算法：該算法是進行迭代，每次在字典中選擇與信號最大程度匹配的解，由此來逼近原始信號，并且計算信號之間的殘差，從殘差中找出最優(yōu)解，最常見的算法有正交匹配追蹤（OrthogonalMatchingPursuit，OMP）算法、算法匹配追蹤（MatchingPursuit，MP）等。此算法優(yōu)點是求解速率快。3)組合算法：該算法支持信號進行分組，這在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)了以獲得重構(gòu)結(jié)果，最常見的算法有鏈?zhǔn)阶粉櫋⒏道锶~采樣等REF_Ref20860\r\h[32]。雖然貪婪算法計算速度快，能較快求得解，但凸優(yōu)化算法重構(gòu)結(jié)果更加準(zhǔn)確，所以本文采用凸優(yōu)化算法對壓縮感知重構(gòu)算法進行研究。由上節(jié)4.1.2節(jié)我們知道，當(dāng)樣本值遠遠小于信號長度時，為欠定方程組。其實，在這等情況下重構(gòu)算法的本質(zhì)就是求出欠定方程組的最稀疏解問題。它的方程組存在的個數(shù)遠遠小于未知數(shù)個數(shù)，所以沒有辦法解出原始信號的解(李軒陽,王子萱,2022)。當(dāng)信號是具有稀疏性的或者可壓縮的，那么可以將問題轉(zhuǎn)化為模型來求解，那么就可以有確定的解。在這樣的位置上如果觀測矩陣具有優(yōu)先等距性質(zhì)（RIP），那么只從個樣本值就可以重構(gòu)出稀疏信號，從而進一步恢復(fù)原始信號。設(shè)向量，則階范式的表達式為： （4-6）其中，當(dāng)時，表示向量中非零元素的個數(shù)，源從上面之講解則可以轉(zhuǎn)化為最小范數(shù)問題。采用0階范式最小化范式，,即范數(shù)，其優(yōu)化問題為： （4-7）此優(yōu)化問題不是凸優(yōu)化問題，它屬于最小化為完全多項式非確定性問題，即NP問題。它必須列出所有非零元素位置的可能組合，根據(jù)以上考察得知才能得到最優(yōu)解，且計算復(fù)雜度高，計算結(jié)果不穩(wěn)定。經(jīng)Chen、Donoho、和Saunders理論證明得，在此背景下可用階范式最小化范式，即范數(shù)，其優(yōu)化問題為： （4-8）此優(yōu)化問題為凸優(yōu)化問題，簡單有效，這樣即可求解最優(yōu)化的結(jié)果。4.2基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法本章采用一種新的算法。該算法稱作基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)（FastEstimationofSparseChannelviaConvexOptimization，F(xiàn)ESCCO），范數(shù)問題還未解決，所以該算法計劃解決該問題。受當(dāng)前條件影響該算法利用了有用的先驗信息，還結(jié)合了水聲信道具有稀疏性和多途效應(yīng)這些特性等特性，還利用了有用的先驗信息，將這些作為約束條件對水聲信道進行信道的稀疏重構(gòu)REF_Ref16373\r\h[33]，由此試圖提高水聲通信系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和可靠性（邱奕辰，余睿哲，2019）。4.2.1原理介紹基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法（FESCCO）主要是為了找到的可行性解，對進行等式約束或不等式約束。據(jù)此可以得出結(jié)論該算法主要由殘余的方差約束集合、幅度約束集合和支撐約束集合進行約束。在這種條件下其中，殘余的方差約束集合最能反映基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法重構(gòu)結(jié)果的擬合質(zhì)量。（1）殘余的方差約束集合滿足集合： （4-9） （4-10）其中，為噪聲門限，在這等情況下也稱誤差范圍。為噪聲方差；為常數(shù)；為置信級，它可以決定常數(shù)，置信級范圍為。因為噪聲為高斯白噪聲，所以常數(shù)與置信級的關(guān)系為REF_Ref17032\r\h[34]： （4-11）式（4-11）中可以通過計算得到： （4-12）其中，表示誤差函數(shù)的逆。誤差函數(shù)為： （4-13）在此類環(huán)境中可以看見，殘余的方差約束屬于含參數(shù)的凸優(yōu)化問題，可以用拉格朗日條件極值法，引入拉格朗日條件極因子，投影算子的表達式則為： （4-14）拉格朗日條件極因子為： （4-15）式（4-14）中，為維單位矩陣；為循環(huán)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣；為殘余的方差值，，為重構(gòu)后的水聲信道脈沖響應(yīng)；、分別為殘余的方差值和發(fā)射信號的傅里葉變換。拉格朗日條件極因子可通過牛頓迭代算法進行幾次迭代獲得REF_Ref17999\r\h[35]： （4-16）迭代的初始值可以取，這在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)了進行幾次迭代收斂即可獲得。殘余的方差約束集合的約束范圍為的左側(cè)為，此時解是最優(yōu)的。此約束條件是為了保證最優(yōu)解的平方差在指定的范圍內(nèi)。所以，是一個凸優(yōu)化集合。（2）幅度約束集合滿足集合： （4-17）在這等情況下其中，為信道沖激響應(yīng)的下限，為信道沖激響應(yīng)的上限。當(dāng)不考慮相位逆轉(zhuǎn)，則信道沖激響應(yīng)，；當(dāng)考慮信號在傳播過程中由于海水界面使得信號反射產(chǎn)生移相，則信道沖激響應(yīng)，。也可以根據(jù)實際情況判斷信號傳播過程中存在的衰減對和取值，即可獲得較為準(zhǔn)確的信道響應(yīng)。因為考慮到信道衰減因子的約束，在這樣的位置上且衰減因子不大于1，所以幅度約束集合也可稱為衰減因子的約束集合（馬志豪，馮婉，2022）。（3）支撐約束集合滿足集合： （4-18）其中，為的指標(biāo)集，包含的非零對應(yīng)元素，若中有個元素值，則小于信號長度，即。以上三種約束集合都被考慮在基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法中，該算法同時還考慮了水聲信道具有稀疏的特性。源從上面之講解基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法目的在于尋找一個的稀疏解，并且同時滿足殘余的方差約束集合，幅度約束集合和支撐約束集合。水聲信道脈沖響應(yīng)可以用范數(shù)來表示（許文瀚，劉慧敏，2022）： （4-19）由4.1節(jié)可知，式子（4-19）是非凸優(yōu)化問題，根據(jù)以上考察得知即NP問題，需要將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，即將式子（4-19）寫成范數(shù)： （4-20）即： （4-21）其中，表示水聲信道沖激響應(yīng)的范數(shù)。式子（4-20）是凸優(yōu)化問題，可以用多項式時間復(fù)雜度求解，可保證算法的全局收斂。如果想要求解上式，則可以采用原始-對偶內(nèi)點法。在此背景下但是原始-對偶內(nèi)點法或者可以說現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)算法進行求解凸優(yōu)化問題時，都存在一個共同的問題，就是沒有考慮循環(huán)矩陣的結(jié)構(gòu),導(dǎo)致運算速度慢和計算復(fù)雜度高等問題。現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)算法進行求解凸優(yōu)化問題時需要構(gòu)建維的循環(huán)矩陣，受當(dāng)前條件影響并且接收信號長度不能太長，否則現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)算法會花大量存儲空間存儲信息（秦浩然，沈凱歌，2024）。4.2.2模型快速求解針對4.2.1節(jié)提出現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)算法求解凸優(yōu)化問題時，沒有考慮循環(huán)矩陣，本節(jié)提出并構(gòu)建一種簡單、收斂的迭代模型。此模型利用了循環(huán)矩陣，使得計算復(fù)雜度降低.利用匹配濾波算法水聲信道重構(gòu)，據(jù)此可以得出結(jié)論得到重構(gòu)信道值，重構(gòu)結(jié)果為迭代初始值。代價函數(shù)的梯度為： （4-22）式中，為符號函數(shù)。經(jīng)過第次迭代信道重構(gòu)的代價函數(shù)為，選擇合適的步長因子，使取最小值，即 （4-23）其中，為估計的代價函數(shù)；代價函數(shù)求取的方法為：首先選取合適的步長因子，經(jīng)過次沿著最快速下降的方向迭代得到： （4-24）當(dāng)代價函數(shù)滿足條件時，迭代就會終止。比如：為一個極小的迭代誤差?；蛘呃肕atlab凸優(yōu)化工具箱中求解無約束函數(shù)命令fminsearch來求解。其使用的算法為可變多面體算法(Nelder－MeadSomplex)，其函數(shù)語法為:［x，fval，exitflag，output］=fminsearch(fun，x0，op-tions)，fun為目標(biāo)函數(shù)，x0為迭代初始點，options為函數(shù)參數(shù)設(shè)置，x為輸出參數(shù)最優(yōu)點，fval為最優(yōu)點對應(yīng)的函數(shù)值，exitflag為函數(shù)停止信息。式子（4-24）中進行更新迭代后，水聲信道脈沖響應(yīng)可能就不再可行區(qū)域內(nèi)。比如：水聲信道脈沖響應(yīng)更新迭代后不在的集合中。所以，更新后的水聲信道脈沖響應(yīng)需要返回到，接著將投影到凸優(yōu)化合集定義的，分別為所定義(李雅琳,楊智博,2022)。代價函數(shù)在凸集上的投影為： （4-25）則投影運算關(guān)系式為： （4-26） （4-27） （4-28）由此可見，投影到集合，重復(fù)的應(yīng)用三個投影操作符,為了降低計算量，可以將看作一個近似值。4.2.3算法總結(jié)對基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法進行總結(jié)，如下圖所示：由圖4.3可以看見，F(xiàn)ESCCO算法需要通過匹配濾波算法先初始化得到初始值，確定約束集合，在這種條件下接著判斷初始值和約束集合是否符合判決準(zhǔn)則，若符合，則迭代停止，輸出結(jié)果；若不滿足判決準(zhǔn)則，則進行迭代，反復(fù)循環(huán)。圖4.3算法總結(jié)流程圖4.3算法研究與分析為了證明基于凸優(yōu)化的稀疏信道重構(gòu)算法是有效的，相對于經(jīng)典的水聲信道重構(gòu)算法是比較優(yōu)的算法。在這等情況下本節(jié)將這幾種算法進行仿真，通過仿真結(jié)果對算法進行性能研究與分析（程文韜，陳逸，2024）。4.3.1算法仿真比較用線性調(diào)頻脈沖信號（LFM）作為發(fā)射信號通過水聲信道，設(shè)置參數(shù)采樣頻率，中心頻率，脈沖寬度為，帶寬為。下面表4.1給出仿真信道的參數(shù)，在此類環(huán)境中觀察在兩種仿真信道的情況下，算法的性能進行對比。信噪比的表達公式為： （4-29）其中，為信號的功率，為噪聲方差。表4.1兩種仿真信道的參數(shù)相對時延（）幅度衰減因子信道110155010.90.5信道210305010.90.5（a）匹配濾波算法（b）最小二乘算法（c）最小均方誤差法算法（d）基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法圖4.4信噪比為15dB時信道1的仿真圖（a）匹配濾波算法（b）最小二乘算法（c）最小均方誤差法算法（d）基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法圖4.5信噪比為20dB時信道1的仿真圖匹配濾波算法最小二乘算法最小均方誤差法算法基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法圖4.6信噪比為25dB時信道1的仿真圖這在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)了由圖4.4、圖4.5和4.6可以看見，在信道1的環(huán)境中，圖4.4（a）、4.5（a）和4.6（a）匹配濾波算法無論在哪種信噪比不同值的情況下都不能找到正確的時延位置，對水聲信道重構(gòu)結(jié)果很差、不理想。原因由第3章我們可以知道，它的最小時延差小于時延分辨率，在這等情況下所以匹配濾波算法無法找出正確的時延位置。但是匹配濾波算法不受信噪比的變化而變化或者它是緩慢的變化。圖4.4（b）、4.5（b）和4.6（b）最小二乘算法找到正確的時延位置，但是它的起伏很大，并且在其他時間內(nèi)存在許多偽峰，在這樣的位置上若有一條路徑的幅度衰減較大時，則就不能找出來。圖4.4（c）、4.5（c）和4.6（c）最小均方誤差算法也能找到正確的時延位置，該算法比最小二乘算法對水聲信道重構(gòu)出來的結(jié)果比較穩(wěn)定，但是其他時間內(nèi)也存在著偽峰(王浩然,高宇萱,2020)。圖4.4（d）、4.5（d）和4.6（d）基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法對水聲信道重構(gòu)結(jié)果比其他三種算法更加穩(wěn)定，沒有過多的偽峰，從而證明該算法的性能好。源從上面之講解從圖中我們也可以看見，信噪比逐漸增大，最小二乘算法、最小均方誤差算法和基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法的重構(gòu)結(jié)果都逐漸趨于穩(wěn)定。下面是在信道2的情況下進行仿真研究與分析，參數(shù)與上面的信道1條件一樣，仿真結(jié)果如圖4.7。匹配濾波算法最小二乘算法最小均方誤差法算法基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法圖4.7信噪比為20dB時信道2的仿真圖由圖4.7可以看見，在信道2的環(huán)境下，信噪比為，圖4.7（a）匹配濾波算法可以找到正確的時延位置，圖4.7（b）、（c）、（d）最小二乘算法、最小均方誤差算法和基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法和在信道1的環(huán)境下重構(gòu)結(jié)果差不多，沒有什么變化。根據(jù)以上考察得知當(dāng)信噪比增大時，小二乘算法、最小均方誤差算法和基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法還是不會受影響，依然能找到正確的時延位置（陳澤洋，王雅婷，2021）。但是信噪比如果很低，基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法對水聲信道重構(gòu)的結(jié)果就會非常不準(zhǔn)確，波動非常大。4.3.2算法研究與分析本節(jié)打算采用蒙特卡羅概率方法來驗證四種算法的性能。蒙特卡羅方法又被稱之為統(tǒng)計模擬法、隨機取樣法，是通過采用隨機數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律來進行計算和模擬的方法。它的基本思想是：建立一個概率模型，將所求解問題與這個概率模型相聯(lián)系，用計算機來實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或者抽樣，受當(dāng)前條件影響以獲得問題的近似解REF_Ref23904\r\h[36]。將本篇文章所研究并學(xué)習(xí)的四種算法進行100次蒙特卡羅實驗進行仿真。采用線性調(diào)頻脈沖信號（LFM）作為發(fā)射信號，設(shè)置參數(shù)為4.3.1節(jié)中仿真信道1的參數(shù)，信噪比持續(xù)變化的情況下，通過仿真進行對算法進行分析。采用平均絕對誤差(MeanAbsoluteError，MAE)指標(biāo)來衡量算法對水聲信道重構(gòu)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，如圖4.8是仿真結(jié)果圖。平均絕對誤差的公式可以表示為： （4-30）式中，為蒙特卡羅實驗次數(shù)，表示誤差向量的范數(shù)，表示第次蒙特卡羅實驗重構(gòu)出的水聲信道的沖激響應(yīng)函數(shù)值，為仿真所設(shè)定的水聲信道的沖激響應(yīng)函數(shù)。當(dāng)信道是稀疏的時候，平均絕對誤差是一個很合適的評價指標(biāo)。圖4.8信噪比變化時，信道1重構(gòu)結(jié)果的平均絕對誤差由圖4.8可以看見，平均絕對誤差比較小時，它的算法對水聲信道重構(gòu)結(jié)果的性能就會很好。由圖可知，最小二乘算法的對信道重構(gòu)結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性最差，基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法最好。當(dāng)信噪比逐漸上升時，匹配濾波算法的平均絕對誤差沒有什么變化或者說變化比較緩慢，因為匹配濾波算法不受噪聲影響，據(jù)此可以得出結(jié)論對噪聲有很大的寬容性。最小二乘算法在信噪比最高的情況下，平均絕對誤差最高，對水聲信道重構(gòu)結(jié)果最差，因為該算法沒有利用水聲信道的先驗信息。最小均方誤差算法對水聲信道重構(gòu)結(jié)果比匹配濾波算法和最小二乘算法好一點，但也僅次于基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法。最小二乘算法、最小均方誤差算法和基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法都隨著信噪比的增加，平均絕對誤差也逐漸降低?？偟膩碚f，平均絕對誤差證明了本篇文章采用基于凸優(yōu)化的稀疏信道快速重構(gòu)算法的正確性，也解決了水聲信道的稀疏重構(gòu)技術(shù)等問題，這是非常有研究價值意義的一種算法。參考文獻王振忠.水聲通信中基于最小誤碼率的稀疏均衡[D].廣東:華南理工大學(xué),2019:1-86.韓天宇，孫婉之基于稀疏信道估計的SC-FDE水聲通信[J].計算機工程與應(yīng)用,2022,47(05):104-106.何志豪，郭雅靜,BaoyuTian.Channelestimationbasedondistributedcompressedsensinginamplify-and-forwardrelaynetworks.TheJournalofChinaUniversitiesofPostsandTelecommunications,2023,Vol.17(5):44-49.蔡明哲，謝雪莉.基于多載波的差分混沌移位鍵控調(diào)制在水聲信道下的研究[D].福建:廈門大學(xué),2021:1-110.韋俊熙，戴嘉豪.差分混沌移位鍵控在水聲通信中的應(yīng)用[J].電信科學(xué),2021,35(09):69-84.孔文濤，狄曉蕾.基于壓縮感知的水聲稀疏信道估計研究及實驗分析[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2016:1-67.CatoDH.Oceanambientnoise:Itsmeasurementanditssignifcancetomarineanimals,inProceedingsoftheConferenceonUnderwaterNoiseMeasurement,ImpactandMitigation,InstituteofAcoustics,Southampton,UK,2008:1-9.LanboL,ShengliZ,Jun-HongC.Prospectsandproblemsofwireless