人教版八年級數(shù)學(xué)下冊全冊同步教案匯總

16.1二次根式

第1課時二次極灰的概念

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被開方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范

圍.

【過程與方法】

經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程，發(fā)展學(xué)牛的歸納概括

能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗發(fā)現(xiàn)的

快樂，并提高應(yīng)用意識.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

二次根式的概念，二次根式有意義的條件.

【教學(xué)難點】

求二次根式中字母的取值范圍.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

（5min閱讀】

閱讀教材P2?P3的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.一個正數(shù)有四個平方根；0的平方根為5在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)逡有平方根.因此，

在實數(shù)范圍內(nèi)開平方時，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.

2.一般地，我們把形如g（色0）的式子叫做二次根式，，稱為二次根號.

3.下列式子中，不是二次根式的是（B）

A.^45B.y[^3

C..標(biāo)+3D.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?

y/Ti,y[--5,yj—12,^/13,yjg一t,

-3—M爛3）,y[-x（x>0）,y/a—I2,

.一'—5,〃（而沙）.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）要判斷一個根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2,

二是看被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù).

【解答】因為肝，干7,、3-土山3）,yja—i2,、4一〃（4折0）中的

根指數(shù)都是2,且被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.折5的根指數(shù)不是2,正3,盧^

（應(yīng)0）,《一爪一5的被開方數(shù)都小于0,所以不是二次根式.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是

否具備以下條件：（1）帶二次根號；（2）被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【例2】當(dāng)x_______,“布+士在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

Vx+1

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）二次根式有意義要滿足什么條件？本題是否還要考慮其他

條件？

【分析】要使[而+￡在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足被開方數(shù)4+3沙和分母

x+1和，解得應(yīng)一3且￥—1.

【答案】之一3且*一1

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）便一個代數(shù)式有意義的未知數(shù)的取值范圍通常要考

慮三種情況：一是分母不為零，二是偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，三是零次標(biāo)的底數(shù)不為

零.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.下列式子中，是二次根式的是（A）

A.一6B.折

C.y[xD.x

2.使式子\/一“一52有意義的未知數(shù)x有（B）

A.0個B.I個

C.2個D.無數(shù)個

3.當(dāng)x是多少時，匹蠶+/在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

3

2x+3>0,x>—

解：依題意，得解得〈_2

的L#o.

???當(dāng)史一，且封時，彎員+/在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】若實數(shù)x、y滿足）>出—2+m—3x+3,求僅一3|一的值.

【互動探索】要求|>，一3|一47亍的值，需確定出x、y的取值范圍.根據(jù)式子y>｛三

4-^6—3x4-3,可以確定出x、y的取值范圍.

【解答】由題意，得不一空。且6—3忘0,

解得％=2,則y>3.

故僅一3|一#二^=y-3—y十2=2—3=-I.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）利用二次根式有意義的條件求出x的值，從而確定y

的取值范圍，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡代數(shù)式.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

概念

二次根式，

有意義的條件——被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)訓(xùn)練!

第2課時二次極式的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

理解33對）是一個非負(fù)數(shù)、（6）2=。3*）和而=。（應(yīng)0）,并利用它們進(jìn)行計算和化簡:

了解代數(shù)式的概念.

【過程與方法】

在明確（6）2=。3對）和而=。（介0）的算理的過程中，感受數(shù)學(xué)的實用性；通過小組合作

交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過二次根式的相關(guān)計算，進(jìn)而解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

二次根式的性質(zhì).

【教學(xué)難點】

運用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計算.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

(5min閱讀】

閱讀教材P3?P4的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.(1)當(dāng)。X)時，g表示。的算術(shù)平方根，因此gx)；

(2)當(dāng)。=0時，如表示0的算術(shù)平方根，因此/三0.

概括：一般地，4(*0)是一個非負(fù)數(shù).

2.教材P3“探究、根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

(1)(退)2=4；(6)2=2；

W&4雨5

(2)一般地，(犯)2=須次).

3.教材P4“探究”，填空：

(1柩=2；A/0.012=0.01;

yj?2=l褥=&

(2)一般地，y[c?=a(a>0).

教師點撥：二次根式的三個性質(zhì)：(1循3對)是一個非負(fù)數(shù)；(2)(、1)2=。(應(yīng)0)；(3而=

a(a>0).

4.用基本運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)起來的式子，我們稱這樣的式子為由數(shù)盤

5.計算：-0.0196x22500=H；#|=(

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學(xué))

【例1】計算：

(1)(713)2；(2)(2小)2;

(3)>/16；{4}\/—52.

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于什么？當(dāng)二次根式的

被開方數(shù)是一個完全平方數(shù)，開方時有什么規(guī)則？

【解答】⑴("5)2=1.5.(2)(2小)2=2?X(小)2=4X5=20.(3標(biāo)=(")=4.

(4)一(一5>=后=5.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù).當(dāng)

二次根式的被開方數(shù)是一個完全平方數(shù)時，迎=悶=</、

【例2】化簡下列二次根式.

(2)^/-36xl69x-9.

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)開方的定義化簡.注意：二次根式的結(jié)果是最簡二次

根式.

[解答](1)\lSaib=yj22a2-2ai>=y[2(?-yj2ab=2(r\]2ab.

(2hj-36xl69x-9=^/36x169x9=6x13x3=234.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)(1)若被開方數(shù)中含有負(fù)因數(shù)，則應(yīng)先化成正因數(shù)；

⑵將二次根式盡量化簡，使被開方數(shù)(式)中不含能開得盡方的因數(shù)(式)，即化為最簡二次根式.

活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))

1.下列各式正確的是(D)

A.4x—9=A/~4X-^—9

B..16+*V^x靖

c.&=如雄

D.業(yè)義9二小義小

2.計算：

(1)(的產(chǎn)；⑵一(小產(chǎn)；

(3h/64：(46+2。+1.

解：(1)9.(2)-3.(3)8.

(4，々2+2°+1=寸(〃+1)2=。+“當(dāng)?shù)抹D1時,原式=4+1；當(dāng)〃<—1時，原式=-a

-1.

3.已知

實數(shù)a、〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：y/a-bI2+2\jb-I2—\a-h\.

???14???勺????

-5-4-3-2-I0I2345

解：從數(shù)軸上a、〃的位置關(guān)系，可知一2V〃V-1,1V力V2,且方>出故a+lVO,b-

1>0,a—b<Of原式=|a+1|+2—一1|一|a一例=—(a+l)+2(b—1)+(。-b)=b-3.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】已知。、b、c是AABC的三邊長，化簡1o+b+c2—N"+c—V+d。—b—

【互動探索】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得出h+c>〃，8+〃>c.根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出

含有絕對值的式子，然后去絕對值符號合并即可.

【解答】a>b、c是△ABC的三邊長，，b+c>a,人+〃>c,?,?原式=|a+b+c|—|b+c

-a|+|c-b-〃|=a+b+c-S+c-。）+（〃+?！猚）=a+0+c-8一c+a+8+。-c=3a+b-c.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角杉的三邊關(guān)系得出不等

關(guān)系，進(jìn)行變換后，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

‘如加生0

二次根式的性質(zhì)<如一但0

4*=|切=『對

I[aa<0

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)訓(xùn)練!

16.2二次根式的乘除

第1課時二次極式的臬法

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

理解/?班=/^佗0,b>0）,y[ab=yfciy[b（a>0,Z>>0）,并利用它們進(jìn)行計算和化簡.

【過程與方法】

經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想一驗證'’的過程，引導(dǎo)學(xué)生體會合情推理與演繹推理的相

互依賴、相互補充的關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，體驗數(shù)學(xué)活動中的探索和創(chuàng)

新，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

二次根式的乘法運算法則.

【教學(xué)難點】

運用二次根式的乘法運算法則進(jìn)行簡單的運算.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P6?P7的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.教材P6“探究”，計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(I)V4xV9=6,^4x9=6；

(2)716x^25=20,416x25=20；

(3)V25XA/36=30,A/25X36=30.

規(guī)律：一般地，二次根式的乘法法則是6?不=，茄(色0,公0).

2.把如?福防反過來，就得到，法=如?福，利用它可以進(jìn)行二次根式的化簡.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學(xué))

【例1】計算：

(I的小回(2y\J|xV27；

(3)79x^27；(4郎x"

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)利用二次根式的乘法運算法則進(jìn)行計算.

【解答】(1亞書=代

(2

。距乂師=加27==9V5.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)利用二次根式的乘法運算法則進(jìn)行計算時，注意被

開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

【例2】化簡：

(1)9x716；(2R16x81：(3)81x100；

(4川4a2〃；(5)^54.

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)利用二次根式積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡時，需要注

意什么？

【解答】(1)79x16=^9x-^16=3x4=12.

（2N16x81=V^x兩=4x9=36.

（3）^81x100=兩xV^=9xl0=90.

（4N4。％3.班5=%a7b2.b=2aby[b.

（5=出無=4=3#

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）積的算術(shù)平方根是二次根式乘法法則的逆用，注意

被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.等式山+川工-1=y=-i成立的條件是（A）

A.x>\B.應(yīng)一1

C.-\<x<\D.忘1或爛一1

2.計算：

解：(1)6.(2)3710-(3)18.

3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:

{14x—9=^—4x^/^9；

(2y\J^^y[25=4x^^|x^/25=4x1.25=—8小.

解：(1)不正確.

改正：4x—9=A/4X9=A/36=6.

(2)不正確.

12112

改正:

25~25

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】比較大?。?/p>

⑴3小與5小：（2）-4#3與-5vH.

【互動探索】由于根號外的因數(shù)不為I,可以將根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，再比較被開

方數(shù)的大小.

【解答】(1)3小=小'鄧=師

5小=叵、巾=也.

因為盛<巾5,所以34<5小.

(2)-4^13=—716x713=-^208,

-WTi=-A/25XVH=-V275.

因為"75而毛，所以一y，麗無，所以-4仃＞一55工

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）要比校兩個二次根式的大小，可以先運用二次根式

的乘法運算法則，將根號外的數(shù)移到根號內(nèi)，再比較被開方數(shù)的大小.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)訓(xùn)練！

第2課時二次極式的除法

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

1.理解*=[1（佗°，和色°’/?0）及利用它們進(jìn)行運算；

2.理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【過程與方法】

通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結(jié)果

是否滿足最簡二次根式的要求.

【情感態(tài)度與價值觀】

在經(jīng)歷二次根式除法運算法則的過程中，獲得成就感，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

最簡二次根式的概念，二次板式的除法運算法則.

【教學(xué)難點】

二次根式商的算術(shù)平方根的運用.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P8?P10的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

（一）二次根式的除法

1.教材P8“探究”，計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

規(guī)律：一般地，二次根式的除法法則是，比＞0).

2.把*=反過來’就得到扉=強定0,

歷＞0),利用它可以進(jìn)行二次根式的化簡.

(二)最簡二次根式

1.觀察教材P8?P9例4、例5、例6中各小題的最后結(jié)果，比如班，興,平等,

可以發(fā)現(xiàn)這些式子有如下兩個特點：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

2.在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為堇?二次根式，并且分母中不含二次根

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學(xué))

［例1］計算:

(3^(4爵

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)利用二次根式的除法運算法則進(jìn)行計算.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)利用二次根式的除法運算法則進(jìn)行計算時，注意被

開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，結(jié)果必須是最簡二次根式.

【例2】化簡:

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）利用二次根式的除法運算法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)將

二次根式進(jìn)行化簡.

【解答】（1）原式=正=近

8

咽足=弛

（2）原式=阿F

V3^3x^5V15

⑶原式=

小=小義小=5?

&x(啦+1)2+/

（4）原式==2+啦.

(V2-1)(^2+1)2-1

【百動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）利用二次根式的除法運算法則和商的算術(shù)平方根的

性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡時，注意將結(jié)果化為最簡二次根式.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.計算的結(jié)果是（A）

A.^J5B.y

C.D.坐

2.如果、是二次根式，那么化為最簡二次根式是（C）

A.曲>。）B.屈y>0）

C.叵y>0）D.以上都不對

y

3.化簡：

（喈：（2煙；（3扃：（4^^.

解：（1）4.（2）^.（34+1.（4）11-2-730.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

_,9—xA/9—x_“，s-.、/X2—5x+4

【例3】已知、I不與=去與,且x為偶1H數(shù)，求（i+x）、y爐_］一的值.

【互動探索】等式膨式符合商的算術(shù)平方根公式一確定K的取值范圍-化簡所求式子

[9-x>0,爛9,

【解答】由題意，得,八即

[x—6X）,x>6,

6<v<9.

??”為偶數(shù)，???]=8,

原式=（1+*\^襦1=（1+^^=讓門.

當(dāng)彳=8時，原式=44x9=6.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡時，分子中被開方

數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母中被開方數(shù)是正數(shù).

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)訓(xùn)練!

16.3二次根式的加減

第1課時二次板式的加減

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

通過合并被開方數(shù)相同的二次根式，會進(jìn)行二次根式的加法與減法運算.

【過程與方法】

在分析問題的過程中，滲透對二次根式加減法的理解，再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)二次根

式的計算和化簡.

【情感態(tài)度與價值觀】

鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，體會合作學(xué)習(xí)的先進(jìn)性.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

會將二次根式化為最簡二次板式，掌握二次根式加減法的運算.

【教學(xué)難點】

運用二次根式的加減運算解決問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

(5min閱讀】

閱讀教材PI2?P13的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同

的二次根式進(jìn)行金堂二

2.計算下列各式.

(1)2^2+3-72；(2)2/一34+5乖；

(3)^7+2^7+^9^7；(4)3小一2小+啦.

解：(1)原式=(2+3附=5啦.

(2)原式=(2—3+5m=4m=8啦.

(3)原式=市+2幣+36=(1+2+3附=附.

(4)原式=(3—2/+加=小+，1

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學(xué))

【例1】計算:

(2)外泛十匹一垂十小;

(4)(#-2吸)2+(2小一1)(2也+1).

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)運用二次根式的加減法法則及乘法公式進(jìn)行計算，在計算

時要注意哪些問題？

【解答】(l)V^+y|+V^=3小+坐+2小=塔/5.

⑵3&+屈一m+小=36+4仍一26+小=$+54.

(3祝2啦普)+E-亭=2&f+弊￥=旃_汕

⑷（加一2啦）2+（2小一1）（2布+1）=6-4配+8+（12-1）=25-8小.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）計算二次根式的加減法時，先把二次根式化為最簡

二次根式，再合并同類二次根式.計算二次根式的混合運算時，注意運算順序.

【例2】已知.a—小一2+y/b—y/5+2=0,求，〃2+於+7的值.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，可得。=小+2,h=小一2,

然后再代入求值即可.

【解答】由題意，得.._#_2=0,巾+2=0,解得〃=木+2,b=y[5—2f

"。2+抉+7=、5+4+4小+5+4—4巾+7=5.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）此題主要考查了二次根式的加減，關(guān)鍵是掌握算術(shù)

平方根具有非負(fù)性.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.計算3啦一啦的值是（D）

A.2B.3

C.5D.2V5

2.若最簡二次根式二3。一8與，17—與可以合并,則。=￡.

3.計算：（1）人俸一外

（2）（^48+^20）+（行一小）?

解：（1）=15巾.（2）成+小.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】已知M+y2—4x—6y+10=0,求|.v\反+小攝一產(chǎn)的值.

【互動探索】先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2%—1）2+。-3）2=0,

即可求出x、y的值.再根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類

二次根式，最后代入求值.

【解答】?..4x2+y2—4x—Gy+lOndx2—4x+1+）。-6y+9=（2x—1）2+。-3）2=0,?工工=

,y=3.

=x\[x-1-(y\[xy.

當(dāng)x="y=3時,

原式=$、/I+6\/l=乎+

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）化簡求值時一般是先化商為最簡二次根式，再代入

求值.化簡時不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯解.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

二次根式的加減法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被

開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)訓(xùn)練！

第2課時二次根式的混合運算

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

掌握含有二次根式的混合運算和含有二次根式的乘法公式的應(yīng)用.

【過程與方法】

復(fù)習(xí)整式運算知識并將該知識應(yīng)用于含有二次根式的混合運算.

【情感態(tài)度與價值觀】

理解知識間的類比，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的重要性.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

熟練地進(jìn)行二次根式的混合運算，進(jìn)一步提高運算能力.

【教學(xué)難點】

正確地運用二次根式混合運算法則及運算律進(jìn)行運算，并把結(jié)果化簡.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P14的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

（3min反饋】

1.二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣，即先乘方,再乘除,最后加減,

有括號的先算括號里面的.

2.在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然逗巫

3.計算：

(3)780-^45；(4)(24一山產(chǎn)

解：(1)3.(2)^.(3)75.(4)22-4710.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】計算：

(1

（2）（36-2喟+國：2小+（^）2；

（3胞一（小+2）步

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）如何進(jìn)行二次根式的混合運算？

【解答］⑴原式=呆9乂［\x^x|=］x9x平=啦.

（2）原式=（675_乎+44）+2小宓+g=￥+g=5.

（3）原式=也一^^=姬一1一平.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一

樣，即先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

【例2】計算:

（1）（啦+小一班）（也一小+、%）；

（2）（<2—1>+2加（小—也）（市+<2）；

（3）（加2、%）.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）口）利用平方差公式進(jìn)行計算即可；（2）先利用完全平方公式

和平方差公式進(jìn)行計算即可；（3）利用乘法分配律進(jìn)行計算即可.

【解答】⑴原式=［&+（小—&）］［啦—（小—#）］=（加>—（小一加/=2—（9—24而

=2-9+6\/2=-7+672.

（2）原式=2—2?+1+2mX［3-2）=2-2\/5+1+2^2=3.

^75)x(—2玳)=-j>/6x(—2*\/6)=8.

⑶原式=

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）利用乘法公式進(jìn)行二次根式混合運算的關(guān)鍵是熟記

常見的乘法公式；在二次根式的混合運算中，整式乘法的運算律同樣適用.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.下列計算：①（啦/=2；②干至=2；③（一2小戶=12；④（啦+?。ㄒ惨恍。?一

1.其中正確的有（D）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

2.如果（2+也）2=。+久E（小b為有理數(shù)），則〃=6,h=4.

3.計算：

（1）（#+m）乂小；

（2）（4#-3啦）+2明；

（3）（^5+6）（3—A/5）;

（4）（＜io+V7）（Vio-V7）.

解：（1）3^2+2^6.（2）2小一*（3）13-3^5.（4）3.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】先化簡，再求值：――+；+—?其中y=巾）I

x+yyxx+y2，2

【互動探索】化簡式子一代入x、y的值進(jìn)行計算

［解較］1卜＞,_中??y_.晝+口+），+-_x+k_x+y

口/x+yyxv+yxyx-\-yxyx-i-yxyx+yAyr+yjvyr+yxy*

當(dāng)Ly=^21時,x+y=y［5,xy=\,所以原式=3.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）求代數(shù)式的值，如果直接代入計算比較繁瑣，可以

根據(jù)式子特點，整體代入進(jìn)行計算.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

二次根式的混合運算同整式的混合運算順序相同，乘法公式和乘法法則同樣適用.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)訓(xùn)練！

17.1勾股定理

第1課時勾股定理及其證明

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程.

2.掌握勾股定理的內(nèi)容.

3.會用面積法證明勾股定理.

【過程與方法】

經(jīng)歷觀察一猜想一歸納一驗證等一系列過程，體會數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)的過程；在觀察、猜想、

歸納、驗證等過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力和初步的邏輯推理能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過對勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣：在探究活動中，體驗解決

問題的方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識和探索精神.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

勾股定理的探究及證明.

【教學(xué)難點】

掌握勾股定理，并運用它解決簡單的計算題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P22?P24的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.勾股定理：如果直角三角形的兩條.直角邊長分別為。、b,斜邊長為c,那么?+」

=c2.

2.(1)教材P23“探究”，如圖，每個方格的面積均為1,請分別算出圖中正方形A、B、

C、A'、B'、C的面積.

解：4的面積=4；8的面積=9;C的面積=52—4XTX(2X3)=13;所以A+B=CA'

=9;B'=25;C=82-4X1X(5X3)=34;所以A'+"=C'.所以直角三角形的兩直

角邊的平方和等于斜邊的平方.

(2)閱讀、理解教材P23?P24“趙爽弦圖”證明勾股定理.

解：朱實黃實=(〃一b)2；正方形的面積=4朱實+黃實=[〃一力＞+受々8乂4=標(biāo)+

52—2"+2"=〃+必又正方形的面積=/,所以浮+加=”,即直角三角形兩直角邊的平方

和等于第三邊的平方.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學(xué))

【例1】作8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,

再作三個邊長分別為。、氏c的正方形，將它們像下圖所示拼成兩個正方形.

證明：〃+拄=/.

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)從整體上看，這兩個正方形的邊長都是〃+〃，因此它們的

面積相等.我們再用不同的方法來表示這兩個正方形的面積，即可證明勾股定理.

【證明】由圖易知，這兩個正方形的邊長都是。+兒，它們的面枳相等.又???左邊的正

方形面積可表示為雇+岳+夕山X4,右邊的正方彩面積可表示為/+/bX4,???解+按+3

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)通過對拼接圖形的面積的不同表示方法，建立相等

關(guān)系，從而臉證勾股定理.

【例2】已知在RtZXABC中，NC=90。，a、〃為兩直角邊，c為斜邊.

(1)若。=3,b=4,則/=____,e=；

(2)若a=6,b=8,則/=____,c=；

(3)若c=41,a=9,則b=____；

(4)若c=17,6=8,則。=____.

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)勾股定理求解.

【分析】(1)/=4+尻=32+42=25,則c=5.(2)c2=a2+^=62+82=100,則c=10.(3)因

222

為c=a+bf所以弓92=40.(4)因為。2=〃2+匕2,所以a=yjc2_l}2=

172-82=15.

【答案】(1)255(2)10010(3)40(4)15

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，如果直角三角形的

兩條直角邊長分別是a、b,斜邊長為C,那么屏+62=為標(biāo)+岳=,.2的常用變形b=7&T,

a=yjc2—b2.

活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))

1.在△48。中，NC=90。.若。=5,力=12,則c=13；若c=41,。=9,則6=啦.

2.等腰△ABC的腰長48=10cm,底8c為16cm,則底邊上的高為6cm,面積為48cm2.

3.已知在△ABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

(1)若°=Lb=2,求c；

(2)若a=15,c=17,求A

解：(1)根據(jù)勾股定理，得/=。2+研=12+22=5.???00,???c=小.

(2)根據(jù)勾股定理，得加=〃一出=172—152=64「?/X),???力=8.

活動3拓展延伸(學(xué)生對學(xué))

【例3】在△A8C中，A8=20,AC=\5,AD為BC邊上的高，且AD=[2,

的周長.

[互動探索】應(yīng)考慮高AO在△48。內(nèi)和△ABC外的兩種情形.

【解答】當(dāng)高4。在△ABC內(nèi)部時，如圖1.在Rt△力B。中，由勾股定理，得

-T\D2=202-122=162,??.3。=16.在RtAACD中，由勾股定理，得一4>=152

一122=81,/.CD=9./.BC=BD4-CD=25,???△ABC的周長為25+20+15=60.

當(dāng)高AD在△ABC外部時，如圖2.同理可得，8。=16,CD=9.：.BC=BD-CD=1fA

△ABC的周長為7+20+15=42.

綜上所述，△4BC的周長為42或60.

圖1圖2

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉

鈍角三角形的情況.如在本例題中，易只考慮高A。在△ABC內(nèi)的情形，忽視高4。在△4BC

外的情形.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

(學(xué)生總結(jié)，老師點評)

勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為。、b,斜邊長為c,那么標(biāo)+尻=/.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

第2課時勾股定理的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

能運用勾股定理解決有關(guān)直隹三角形的簡單實際問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用的條件.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思維方法，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

勾股定理的簡單應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

運用勾股定理建立直角三角形模型解決有關(guān)問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

"min閱讀】閱讀教材P25的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.勾股定理的內(nèi)容是：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.在△ABC中,NC=90。.若BC=6,48=10,則4c=&

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖,己知在△A5C中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CDLAB于點、D,

求CO的長.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）觀察圖形：“多直角三角形嵌套”圖形一已知邊長，求高

CO-利用等面積法求解.

【解答】:△ABC是直南三角形，/ACB=90。，4B=5cm,BC=3cm,

???由勾股定理，得AC=d^型二屬=4cm.

又vSAA8C=]ABCO=/CBG

ACBC4X3

:?CD=AB=5亍(cm).

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊

的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用.

【例2】如圖，偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公

路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m/0s后，汽車與他相距500m,

你能幫小王算出敵方汽車的速度嗎？

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）要求敵方汽車的速度，需要算出8C的長.在中

利用勾股定理即可求得BC.

【解答】由勾股定理，得ABZuBG+AC2,即5002=80+4002,所以BC=300m.

故敵方汽車10s行駛了300m,

所以它1h行駛的距離為300X6X60=108000（m）,

即敵方汽車的速度為108km/h.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）用勾股定理解決實際問題的關(guān)鍵是建立直角三角形

模型，再代入數(shù)據(jù)求解.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.等腰三角形的腰長為13cm,底邊長為10cm,則它的面積為（D）

A.30cm2B.130cm2

C.120cm2D.60cm2

2.直角三角形兩直角邊長分別為5cm、12cm,則斜邊上的高端m.

3.如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達(dá)地點8200

m,結(jié)果他在水中實際游了520m,求該河流的寬度為多少？

解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，運用勾股定理，得ABndAC2-80=,5202—200』480（m）.

即該河流的寬度為480m.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例3】如圖1,長方體的高為3cm,底面是正方形，邊長為2cm,現(xiàn)有繩子從D出發(fā),

沿長方體表面到達(dá)）點，問繩子最短是多少厘米?

圖1

圖2

圖3

【互動探索】可把繩子經(jīng)過的面展開在同一平面內(nèi)，有兩種情況，分別計算并比較，得

到的最短距離即為所求.

【解答】如圖2,由題易知，=3cm,夕D'=2X2=4（cm）.在RtZk。。'B'中，

由勾股定理，得B'D2=DD'2+"D'2=32+42=25；

如圖3,由題易知，B'C=2cm,C。=2+3=5（cm）.在RtZXOC'B'中，由勾股

定理，得B'》=B'C2+UZ）2=22+52=29.

因為29>25,

所以第一種情況繩子最短，最短為5cm.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）此類題可通過側(cè)面展開圖，將要求解的問題放在直

角三角形中，問題便迎刃而解.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

勾股定理的簡單運用：（1）由直角三角形的任意兩邊的長度，可以應(yīng)用勾股定理求出第三

邊的長度.（2）用勾股定理解決實際問題的關(guān)鍵是建立直角三角形模型，再代入數(shù)據(jù)求解.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

第3課時利用勾股文理表示無理教

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

進(jìn)一步熟悉勾股定理的運用，掌握用勾股定理表示無理數(shù)的方法.

【過程與方法】

通過探究用勾股定理表示無理數(shù)的過程，鍛煉了學(xué)生動手操作能力、分類比較能力、討

論交流能力和空間想象能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

讓學(xué)生充分體驗到了數(shù)學(xué)思想的魅力和知識創(chuàng)新的樂趣，體會數(shù)形結(jié)合思想的運用.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

探究用勾股定理表示無理數(shù)的方法.

【教學(xué)難點】

會用勾股定理表示無理數(shù).

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

[5min閱讀】閱讀教材P26?P27的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.勾股定理的內(nèi)容是：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.教材P27,利用勾股定理在數(shù)軸上畫出表示、口，小,小，,，…的點.

3.回的線段是直角邊為正整數(shù)32的直角三角形的斜邊.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖所示，數(shù)軸上點月所表示的數(shù)為小則。的值是（）

A.\+1B.一#+1

C.由一1D.小

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點間的距

離公式即可求出A點的坐標(biāo).

【分析】圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2,???斜邊長為4」+22=木,到A

的距離是小，那么點A所表示的數(shù)為小一1.故選C.

【答案】C

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答

此題時要注意，確定點A的位置，再根據(jù)A的位置來確定〃的值.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上找一個無理數(shù)的準(zhǔn)確位置后，又進(jìn)一步進(jìn)行練習(xí)：首

先畫出數(shù)軸，設(shè)原點為點。，在數(shù)軸上的2個單位長度的位置找一個點A,然后過點A作

10A,且AB=3.以點。為圓心，0B為半徑作弧，設(shè)與數(shù)軸右側(cè)交點為點尸，則點尸的位置

在數(shù)軸上（C）

A.I和2之間B.2和3之間

C.3和4之間D.4和5之間

2.如圖，OP=1,過P作PPi_LOP且PP=1,根據(jù)勾股定理，得0Pi=45；再過尸?

作P|P2_L0P且P|P2=1，得。「2=?。挥诌^P2作P2P3上0P2且P2P3=1，得O「3=2；….

依此繼續(xù)，得022018=癡歷，OPn=gTT（〃為自然數(shù)，且〃>0）.

3.利用如圖4X4的方格，作出面積為8平方單位的正方形，然后在數(shù)軸上表示實數(shù)逆

和一遍

解：面積為8平方單位的正方形的邊長為乖，乖是直角邊長為2,2的兩個直角三角形的

斜邊長，畫圖如下:

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例2】如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點，以

格點為頂點分別按下列要求畫三角形.

（1）在圖1中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；

（2）在圖2中，畫一個直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)：

（3）在圖3中，畫一個正方形，使它的面積是10.

【互動探索】（1）利用勾股定理，找長為有理數(shù)的線段，畫三角形即可；（2）先找出幾個能

構(gòu)成勾股數(shù)的無理數(shù)，再畫出來即可，如畫一個邊長也，2-72,四的三角形；（3）畫一個邊

長為V而的正方形即可.

【解答】（1）直角三角形的三邊分別為3,4,5,如圖1.

（2）直角三角形的三邊分別為啦，26，也，如圖2.

（3）畫一個邊長為標(biāo)的正方形，如圖3.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題考查了格點三角形的畫法，需仔細(xì)分析題意,

結(jié)合圖形，利用勾股定理和正方形的性質(zhì)即可解決問題.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

利用勾股定理表示無理數(shù).

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)!

17.2勾股定理的逆定理

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

掌握勾股定理的逆定理，并能進(jìn)行簡單運用；理解互逆命題的有關(guān)概念.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索直角三角形的判定條件過程，理解勾股定理的逆定理.

【情感態(tài)度與價值觀】

激發(fā)學(xué)生解決問題的愿望，體會勾股定理逆向思維所獲得的結(jié)論，明確其應(yīng)用范圍和實

際價值.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

掌握勾股定理的逆定理，勾股數(shù)，理解互逆命題的有關(guān)概念.

【教學(xué)難點】

利用勾股定理的逆定理解決問題.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P31?P33的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

［3min反饋】

1.(1)勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a.b,斜邊為c,那么.2+塊=。2.

(2)勾