第十八章平行四邊形

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它們之間的關(guān)系.

2.探索并證明平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理，并

能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算.

3.了解兩條平行線之間距離的意義,能度量兩條平行線之間的距離.

4.探索并證明中位線定理.

過程與方法：

1,通過經(jīng)歷平行四邊形與各特殊平行四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別，使學(xué)生進(jìn)一

步認(rèn)識(shí)一般與特殊的關(guān)系.

2.通過經(jīng)歷平行四邊形和特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定的探索、證明及相

關(guān)計(jì)算的過程，以及相關(guān)問題證明和計(jì)算的過程,進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生合情推

理、演繹推理的能力.

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

1,通過幾何問題的證明和計(jì)算,體驗(yàn)證法和解法的多樣性,滲透轉(zhuǎn)化思想.

2.通過動(dòng)手實(shí)踐,積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲.

教材分析：

平行四邊形是特殊的四邊形,它與三角形一樣，既是幾何中的基本圖形,也是

“空間與圖形”領(lǐng)域主要的研究對(duì)象.本章內(nèi)容也是在已經(jīng)學(xué)過的多邊形、平

行線、三角形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，也可以說是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上做出的進(jìn)一步

較系統(tǒng)的整理和研究,它是以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)其他幾何知識(shí)的基礎(chǔ).本章內(nèi)容主

要包括:平行四邊形、特殊的平行四邊形.其中平行四邊形主要探索平行四邊形

的性質(zhì)和判定，特殊的平行四邊形主要介紹了矩形、菱形、正方形，并根據(jù)定義

探索它們的性質(zhì)和判定.

教學(xué)重難點(diǎn)：

【重點(diǎn)】理解和掌握平行四邊形、特殊的平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定,

掌握三角形的中位線定理,會(huì)應(yīng)用平行四邊形和特殊的平行四邊形的相關(guān)知識(shí)

以及三角形中位線定理解決一些簡單的實(shí)際問題.

【難點(diǎn)】分清平行四邊形與矩形、菱形、正方形之間的聯(lián)系和區(qū)別，能夠

靈活運(yùn)用平行四邊形、特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法進(jìn)行推理論證.

教學(xué)措施：

L關(guān)于平行四邊形及特殊的平行四邊形概念之間從屬、種差、內(nèi)涵與外延之

間的關(guān)系.

本章概念比較多,概念之間聯(lián)系非常密切,關(guān)系復(fù)雜.由于平行四邊形和各種

特殊平行四邊形的概念之間重疊交錯(cuò),容易混淆,因此弄清它們的共性、特性及

其從屬關(guān)系非常重要.實(shí)際上,有時(shí)學(xué)生掌握了它們的特殊性質(zhì)，而忽略了共同

性質(zhì).如有的學(xué)生不知道正方形既是矩形，又是菱形,也是平行四邊形,應(yīng)用時(shí)常

犯多用或少用條件的錯(cuò)誤.教學(xué)時(shí)，不僅要講清矩形、菱形、正方形的特殊性質(zhì),

還要強(qiáng)調(diào)它們與平行四邊形的從屬關(guān)系和共同性質(zhì).也就是在講清每個(gè)概念特

征的同時(shí),強(qiáng)調(diào)它們的屬概念,弄清這些概念之間的關(guān)系.在原有屬概念基礎(chǔ)上

附加一些條件（種差），通過擴(kuò)大概念的內(nèi)涵、減少概念的外延的方式引出新的

種概念；同時(shí)在原有屬概念的性質(zhì)和判定方法的基礎(chǔ)上，來研究種概念的性質(zhì)和

判定方法.弄清這些關(guān)系,最好是用圖示的辦法.在弄清這些圖形之間關(guān)系的基

礎(chǔ)上,還要進(jìn)一步向?qū)W生說明概念的內(nèi)涵與外延之間的反變關(guān)系，即內(nèi)涵越小，

外延越大;反之外延越小，內(nèi)涵越大.例如，正方形的性質(zhì)中，包含四邊形、平行

四邊形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小，而平行四邊形的外延很大.弄

清了各種特殊平行四邊形的概念,各種平行四邊形之間的從屬關(guān)系也就清楚了，

它們的性質(zhì)定理、判定定理也就不會(huì)用錯(cuò)了.

2.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力和演繹推理能力.

從培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力的角度來說,本章處于學(xué)生初步掌握了推理論證

方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步鞏固和提高的階段.本章內(nèi)容比較簡單,證明方法相對(duì)比

較單一,學(xué)生前面已經(jīng)進(jìn)行了一些推理證明的訓(xùn)練.但這種訓(xùn)練只是初步,要進(jìn)

一步鞏固和提高.教學(xué)中同樣要重視推理論證的教學(xué),進(jìn)一步提高學(xué)生的合情推

理能力和演繹推理能力.在推理與證明的要求方面，除了要求學(xué)生對(duì)經(jīng)過觀察、

實(shí)驗(yàn)、探究得出的結(jié)論進(jìn)行證明以外,還要求學(xué)生直接由已有的結(jié)論對(duì)有些圖

形的性質(zhì)通過推理論證得出.另外,為了鞏固并提高學(xué)生的推理論證能力,本章

定理證明中，除了采用嚴(yán)格規(guī)范的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方

法.這種方法不是先有了定理再去證明它,而是根據(jù)題設(shè)和已有知識(shí),經(jīng)過推理,

得出結(jié)論.另外也有一些文字?jǐn)⑹龅淖C明題,要求學(xué)生自己寫出已知、求證，再

進(jìn)行證明.這些對(duì)學(xué)生的推理能力要求較高,難度也有增加，但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)

習(xí)興趣,活躍學(xué)生的思維,對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力有好處.教學(xué)中要注意啟發(fā)和

引導(dǎo)，使學(xué)生在熟悉“規(guī)范證明”的基礎(chǔ)上，推理論證能力有所提高和發(fā)展.

內(nèi)容及課時(shí)安排：

18.1平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)（2

課時(shí)）5課時(shí)

18.1.2平行四邊形的判定（3

課時(shí)）

18.2特殊的平行四邊形

18.2.1矩形（2課時(shí)）

18.2.2菱形（2課時(shí)）咪町

18.2.3正方形（1課時(shí)）

單元概括整合1課時(shí)

①）教學(xué)目標(biāo)

「知識(shí)寫懶*1

L理解平行四邊形的概念，探究并掌握平行四邊形的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì).

2.理解并掌握平行四邊形的判定條件,能利用平行四邊形的判定條件證明四

邊形是平行四邊形.

3.掌握三角形的中位線的概念和定理.

產(chǎn)過程躬卻

L在運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法及三角形的中位線定理

的過程中,進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，通過對(duì)平行

四邊形判定方法的探究,提高學(xué)生解決問題的能力.

2.通過類比、觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理、交流等教學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步培

養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力及合情推理能力，使學(xué)生會(huì)將平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形

的問題,滲透轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí).

通過觀察、猜測、歸納、證明，培養(yǎng)學(xué)生類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，鍛煉學(xué)

生的簡單推理能力和邏輯思維能力，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.

悖態(tài)度目.頸

讓學(xué)生在觀察、合作、討論、交流中感受數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)

生善于發(fā)現(xiàn)、積極思考、合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)態(tài)度.

教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)與判定方法的探究和運(yùn)用，以及三角形中位線

定理的理解和應(yīng)用.

【難點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)

（勺教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能

L理解平行四邊形的概念.

2.探究并掌握平行四邊形的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì).

3.利用平行四邊形的性質(zhì)來解決簡單的實(shí)際問題.

峭程一知

通過觀察、猜測、歸納、證明，培養(yǎng)學(xué)生類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，鍛煉學(xué)

生的簡單推理能力和邏輯思維能力，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.

r情巧度劍

讓學(xué)生在觀察、合作、討論、交流中感受數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)

生善于發(fā)現(xiàn)、積極思考、合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)態(tài)度.

■教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】平行四邊形的概念和性質(zhì)的探索.

【難點(diǎn)】平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用.

第HI課時(shí)

一_整體設(shè)計(jì)

①教學(xué)目標(biāo)

產(chǎn)知識(shí)w技能.

i.理解平行四邊形的定義及有關(guān)概念.

2.探究并掌握平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等的性質(zhì)，利用平行四邊形的

性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明.

3.了解平行線間距離的概念.

「過程導(dǎo)卻

1.經(jīng)歷利用平行四邊形描述、觀察世界的過程,發(fā)展學(xué)生的形象思維和抽象

思維.

2.在進(jìn)行性質(zhì)探索的活動(dòng)過程中，發(fā)展學(xué)生的探究能力.

3.在性質(zhì)應(yīng)用的過程中,提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,培養(yǎng)學(xué)

生的推理能力和邏輯思維能力.

隨

在性質(zhì)應(yīng)用過程中培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣，讓學(xué)生在觀察、合作、討論、交流

中感受數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、積極思考、合作學(xué)習(xí)的

學(xué)習(xí)態(tài)度.

Q教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】平行四邊形邊、角的性質(zhì)探索和證明.

【難點(diǎn)】如何添加輔助線將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題解決的思想

方法.

①教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】教學(xué)中出示的教學(xué)插圖和例題的投影圖片.

【學(xué)生準(zhǔn)備】方格紙,量角器,刻度尺.

O教學(xué)過程

fT新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

［過渡語］前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了許多圖形與幾何知識(shí),掌握了一些探索和

證明幾何圖形性質(zhì)的方法,本節(jié)開始,我們繼續(xù)研究生活中的常見圖形.

我們一起來觀察下圖中的小區(qū)的伸縮門，庭院的竹籬笆和載重汽車的防護(hù)欄,

它們是什么幾何圖形的形象？

學(xué)生觀察,積極踴躍發(fā)言,教師從實(shí)物中抽象出平行四邊形.

本節(jié)課我們主要研究平行四邊形的定義及有關(guān)概念，探究并掌握平行四邊形

的對(duì)邊相等、對(duì)角相等的性質(zhì),利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明.

［設(shè)計(jì)意圖］通過圖片展示,讓學(xué)生真切感受生活中存在大量平行四邊形的

原型,進(jìn)而從實(shí)際背景中抽象出平行四邊形,讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)物抽象為圖形的過

程.

導(dǎo)入二：

（出示本章農(nóng)田鳥瞰圖）

觀察章前圖,你能從圖中找出我們熟悉的幾何圖形嗎？

學(xué)生自由說出圖中的幾何圖形，教師結(jié)合學(xué)生說到的圖中包含長方形、正方

形等,明確本章主要研究對(duì)象一一平行四邊形.

［過渡語］下面我們來認(rèn)識(shí)特殊的四邊形一一平行四邊形.

［設(shè)計(jì)意圖］以農(nóng)田鳥瞰圖作為本章的章前圖,學(xué)生可以見識(shí)各種四邊形的

形狀，通過查找長方形、正方形、平行四邊形等，為進(jìn)一步比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這些

圖形做準(zhǔn)備,并明確本章的學(xué)習(xí)任務(wù).

國新知構(gòu)建

1.平行四邊形的定義

思路一

提問：你知道什么樣的圖形叫做平行四邊形嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)學(xué)習(xí)過的平行四邊形的概念:兩組對(duì)邊分別平行的四

邊形叫做平行四邊形.說明定義的兩方面作用：既可以作為性質(zhì)，又可以作為判

定平行四邊形的依據(jù).

追問：平行四邊形如何好記好讀呢？

畫出圖形,教師示范后，學(xué)生結(jié)合圖練習(xí)，并提醒學(xué)生注意字母的順序要按照

頂點(diǎn)的順序記.

平行四邊形用表示，平行四邊形四口記作“口ABOT.

如右圖所示，引導(dǎo)學(xué)生找出圖中的對(duì)邊，對(duì)角.

對(duì)邊與與〃C;對(duì)角：N/與NCN6與

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：四邊形中不相鄰的邊,也就是沒有公共頂點(diǎn)的邊叫做對(duì)

邊;沒有公共邊的角，叫做對(duì)角.

［設(shè)計(jì)意圖］給出定義，強(qiáng)調(diào)定義的作用，讓學(xué)生結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)‘‘對(duì)角"''對(duì)

邊”，為學(xué)習(xí)性質(zhì)做好準(zhǔn)備.

思路二

請(qǐng)舉出你身邊存在的平行四邊形的例子.

學(xué)生舉出生活中常見的例子.如小區(qū)的伸縮門，庭院的竹籬笆和載重汽車的防

護(hù)欄……

教師點(diǎn)評(píng),畫出圖形，如右圖所示.

提問：(1)你能說出平行四邊形的定義嗎？

(2)你能表示平行四邊形嗎？

(3)你能用符號(hào)語言來描述平行四邊形的定義嗎？

學(xué)生閱讀教材第41頁，點(diǎn)名學(xué)生回答以上問題,教師進(jìn)一步講解：

(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.概念中有兩個(gè)條件:①是一

個(gè)四邊形;②兩組對(duì)邊分別平行.

(2)指出表示平行四邊形錯(cuò)誤的情況,如口ACDB.

(3)作為性質(zhì)：,/四邊形/時(shí)是平行四邊形，.?./〃〃a;AB〃CD.

作為判定：:AD〃BC,AB//CD,：.四邊形ABCD是平行四邊形.

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)生結(jié)合實(shí)例和教材中的圖片，師引導(dǎo)學(xué)生歸納這些四邊形的

共同特征，即：兩組對(duì)邊分別平行.

2.平行四邊形邊、角的性質(zhì)

思路一

［過渡語］同學(xué)們回憶我們的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,研究幾何圖形的一般思路是什么？

一起回顧全等三角形的學(xué)習(xí)過程,得出研究的一般過程:先給出定義,再研究

性質(zhì)和判定.教師進(jìn)一步指出：性質(zhì)的研究，其實(shí)就是對(duì)邊、角等基本要素的研

究.

提問：平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對(duì)邊分

別平行外,還有什么特殊的性質(zhì)呢？

教師畫出圖形,如右圖所示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、度量,提出猜想.

猜想1:四邊形⑦是平行四邊形,那么AB=CD,AD=BC.

猜想2:四邊形⑦是平行四邊形,那么/比

追問：你能證明這些結(jié)論嗎？

學(xué)生討論,發(fā)現(xiàn)不添加輔助線可以證明猜想2.

NZM80°,

,:AD〃BC,...NZ+N廬180°,

:.乙44D.

同理可得N/=N6

在學(xué)生遇到困難時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明.

［過渡語］我們知道,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角都相等是證明線

段相等、角相等的一種重要方法.

學(xué)生嘗試,連接平行四邊形的對(duì)角線,并證明猜想,如右圖所示.

證明：連接/C

?:AD〃BC,AB〃CD,

.,.Z1=Z2,Z3=Z4.

又力。是△/阿和△物的公共邊，

：./\ABC^/\CDA.

:.AD=CB,AB=CD.

N氏/〃

?.,/胡氏N1+/4,/ZO=N2+N3,

Z1+Z4=Z2+Z3,

:./BAD=2DCB.

引導(dǎo)學(xué)生歸納平行四邊形的性質(zhì)：

平行四邊形的對(duì)邊相等；

平行四邊形的對(duì)角相等.

追問：通過證明，發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)猜想正確.這樣得到平行四邊形的兩個(gè)重要性

質(zhì).你能說出這兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論,并運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行推理嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生辨析定理的題設(shè)和結(jié)論，明確應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行推理的基本模式：

???四邊形46口是平行四邊形（已知），

：.AB=CD,力分比'（平行四邊形的對(duì)邊相等），

ZA=ZC,N氏N〃（平行四邊形的對(duì)角相等）.

［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生領(lǐng)悟證明線段相等或角相等通常采用證明三角形全等的

方法,而圖形中沒有三角形，只有四邊形,我們需要添加輔助線,構(gòu)造全等三角形,

將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決,突破難點(diǎn).進(jìn)而總結(jié)、提煉出將四邊形

問題化為三角形問題的基本思路.

［知識(shí)拓展］（1）運(yùn)用平行四邊形的這兩條性質(zhì)可以直接證明線段相等和角

相等.（2）四邊形的問題,常常通過連接對(duì)角線轉(zhuǎn)化成三角形的問題解決.

例1（教材例1）如圖所示,在口ABCD中，DELAB,BF1CD,垂足分別為￡五求

證/田介:

引導(dǎo)學(xué)生分析:要證明線段4層/它不是平行四邊形的對(duì)邊，無法直接用平行

四邊形的性質(zhì)證明，考慮證明△/〃隹△物:由題意容易得到N/吠NO/90°,

再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得出/左NC/氏四在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生寫出

證明過程,并組織學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

證明：；四邊形/靦是平行四邊形，

：.ZA=ZC,AD=CB.

又4AED=/CFS

:.△AD%XCBF.

：.A^CF.

［設(shè)計(jì)意圖］應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行推理,體會(huì)得到證明思路的方法.

思路二

1.提問：根據(jù)定義畫一個(gè)平行四邊形ABCD,并觀察這個(gè)四邊形除了“兩組對(duì)邊

分別平行”外，它的邊、角之間還有哪些關(guān)系?度量一下,是不是和你的猜想一

致？

AB=BOCD=AD=

猜想:______

ZZZZ

猜想:______

A=B=C=D=

小組合作完成,交流自己的猜想.

教師強(qiáng)調(diào)平行四邊形的對(duì)邊、鄰邊、對(duì)角、鄰角等概念，再引導(dǎo)學(xué)生歸納:

平行四邊形的對(duì)邊相等；

平行四邊形的對(duì)角相等.

2.你能證明你發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論嗎？

己知：如圖⑴所示，四邊形ABCD^,AB//CD,AD〃BC.

求證：（1）4加式;力作⑦；

（2）N氏/〃/BA2匕DCB.

(1)(2)

小組討論,發(fā)現(xiàn):需要連接對(duì)角線,將平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形全

等的問題來解決.

證明：（1）連接4c如圖⑵所示.

■:AD〃BC,AB〃CD,

.*.Z1=Z2,Z3=Z4.

又/C是△48。和△物的公共邊，

.?.△4?恒△物.

：.AD^CB,AB=CD.

⑵比絲△物（已證），

：.4%4D.

YN為決N1+N4,華N2+N3,

Z1+Z4=Z2+Z3,

:.NBAANDCB.

一組代表發(fā)言后，另一小組補(bǔ)充,我們發(fā)現(xiàn)不作輔助線也可以證明平行四邊形

的對(duì)角相等.

'：AB^CD,：.ZBA^ZD=18Q°,

?:AD〃BC,：.4BAA/B=I80°,

：.ZB=AD.

同理可得/胡氏N。％.

教師根據(jù)學(xué)生的證明情況進(jìn)行評(píng)價(jià)、總結(jié).

證明線段相等或角相等時(shí),通常證明三角形全等，圖中沒有三角形怎么辦?一

般是連接對(duì)角線將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題.

引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言表述,并進(jìn)行筆記.

?.?四邊形/時(shí)是平行四邊形（己知），

（平行四邊形的對(duì)邊相等），

N/=NCN氏N〃（平行四邊形的對(duì)角相等）.

例2(補(bǔ)充)如圖,在口45⑦中,“'是平行四邊形力靦的對(duì)角線.

(1)請(qǐng)你說出圖中的相等的角、相等的線段；

(2)對(duì)角線力。需添加一個(gè)什么條件,能使平行四邊形力時(shí)的四條邊相等？

學(xué)生認(rèn)真讀題、思考、分析、討論，得出有關(guān)結(jié)論.

因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等,對(duì)角相等.所以A件CD,AD=BC,ADAB-ABCD,N比

又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬山M對(duì)邊分別平行,所以N的信/以以ZDCA=ZBAC.

教師根據(jù)學(xué)生回答,板書有關(guān)正確的結(jié)論.

解決第⑵個(gè)問題時(shí)，學(xué)生思考、交流、討論得出：只要添加/。平分N的8即

可.

說明理由：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬山M對(duì)邊分別平行,所以而N的仁

ABAC,所以N〃O=N的C所以AADC,又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等,所以

AB=DOAD^BC.

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)生通過親自動(dòng)手,提出猜想,驗(yàn)證猜想,得出結(jié)論,并初步應(yīng)用.

3.平行線間的距離

［過渡語］距離是幾何中的重要度量之一.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)與點(diǎn)之

間的距離、點(diǎn)到直線的距離,那么平行線間的距離又是怎樣的呢？

思路一

提問：在教材的例1中，游跖嗎？

學(xué)生思考,都容易發(fā)現(xiàn)：由△/應(yīng)必△物;容易得到DFBF.

AD

b

h

追問：如圖所示,直線a〃b,A,〃為直線a上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)A到直線b的距離AB

和點(diǎn)。到直線b的距離加相等嗎?為什么？

學(xué)生討論,發(fā)現(xiàn)容易證明AB//CD,由已知得AD//BC,所以四邊形4頗是平行

四邊形，所以力廬⑦

教師引導(dǎo)歸納:如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的

距離都相等.此時(shí)教師適時(shí)介紹兩條平行線間的距離的概念及性質(zhì).

兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線

之間的距離,平行線間的距離相等.

學(xué)生結(jié)合圖指出：點(diǎn)/是a上的任意一點(diǎn),A,6是垂足,線段的長

就是a,6之間的距離.

教師點(diǎn)評(píng),并強(qiáng)調(diào):任意兩條平行線之間的距離都是存在的、唯一的,都是夾

在兩條平行線之間的最短的線段的長度.

［設(shè)計(jì)意圖］結(jié)合例1的進(jìn)一步追問，自然引出平行線間距離的概念.

思路二

請(qǐng)同學(xué)們拿出方格紙,在方格紙上畫兩條互相平行的直線,在其中一條直線上

任取若干點(diǎn),過這些點(diǎn)作另一條直線的垂線.

老師邊看邊指導(dǎo)學(xué)生畫圖.

追問：請(qǐng)同學(xué)們用刻度尺量一下方格紙上兩平行線間的所有垂線段的長度，你

發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象？

學(xué)生發(fā)現(xiàn):平行線間的所有垂線段的長度相等.

教師引導(dǎo)歸納:如果兩條直線平行，那么一條直線上所有點(diǎn)到另一條直線的距

離都相等.此時(shí)教師適時(shí)介紹兩條平行線間的距離的概念及性質(zhì).

兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線

之間的距離,平行線間的距離相等.

如右圖所示,用符號(hào)語言表述為：

V7,〃h,ABLh,CDLk,

J.AB=CD.

教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào):兩平行線Z,A之間的距離是指什么？指在一條直線7,±

任取一點(diǎn)4過4作/由LL于點(diǎn)B,線段46的長度叫做兩平行線/,乙間的距離.

引導(dǎo)學(xué)生歸納:兩平行線之間的距離、點(diǎn)與直線的距離、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離

的區(qū)別與聯(lián)系.

兩平行線間的距離n點(diǎn)到直線的距離n點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.

為，4間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)力到A間的距離,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)/到點(diǎn)6的距離.

追問：如果AB,⑦是夾在兩平行線人心之間的兩條平行線段,那么和CD

仍相等嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：（出示教材第43頁圖18.1-5）如圖所示,a〃b,c〃d,c,d

與a"分別相交于A,B,C〃四點(diǎn).由平行四邊形的概念和性質(zhì)可知，四邊形ABDC

是平行四邊形,4比⑦說明：兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等.

［設(shè)計(jì)意圖］借助學(xué)生熟悉的方格紙引出平行線間距離的概念,淺顯易懂,并

注重兩平行線間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)與點(diǎn)間的距離之間的知識(shí)整合.

［知識(shí)拓展］(1)當(dāng)兩條平行線確定后,兩條平行線之間的距離是一定值,不

隨垂線段位置的變化而改變.(2)平行線之間的距離處處相等，因此在作平行四

邊形的高時(shí),可以靈活選擇位置.

4.例題講解

例3(補(bǔ)充)在口48。中,6。邊上的高為4,AB=5,AO2,試求D/時(shí)的周長.

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作圖分析,教師根據(jù)學(xué)生考慮不周全的問題進(jìn)行引導(dǎo)，明確

思路后學(xué)生寫解答過程.

(解析)本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

分別畫出符合題意的圖形.設(shè)8。邊上的高為AE,分熊在的內(nèi)部和在口

力靦的外部兩種情況計(jì)算.

解：在口ABCD中，A土CD=5,AD=BC.

設(shè)8。邊上的高為/￡

⑴若AE在口ABCD的內(nèi)部，如圖①所示，

在RtzM龐中，45=52后4,

根據(jù)勾股定理，得：

嬌===3;

在口△/位中，4片2,1田4,

根據(jù)勾股定理，得：

CX==2.

：.BOBE+CE=3+2=5.

.?.口46口的周長為2X(5+5)=20.

D

(2)若力后在口4比。的夕卜部,如圖②所示，

同理可得除3,C&2,

...除此?3-2=1,

.”4?切的周長為2X(5+1)=12,

綜上,口力頗的周長為20或12.

［解題策略］本題相當(dāng)于已知一個(gè)三角形的兩條邊以及第三條邊上的高,求

第三條邊的長度，因?yàn)槿切蔚母呖赡茉谌切蔚膬?nèi)部、也可能在三角形的外

部,所以作圖時(shí)應(yīng)分兩種情況討論,如下圖所示.

叵課堂小結(jié)

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平行四邊形的定義,探索了平行四邊形的兩個(gè)特征，同

時(shí)還學(xué)習(xí)了平行線間的距離,平行線的一些特征.

平行四邊形的定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等;平行四邊形的對(duì)角相等.

平行線間的距離:兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，

叫做這兩條平行線之間的距離.

平行線間的距離相等，兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等.

區(qū)檢測反饋

1.已知中，N/+Ne200°,則N3的度數(shù)是（）

A.100°B.160°C.80°D.60°

解析：；Z/+Z6t200°,，ZA=100°,又AD〃BC,：./Z+N

企180°,企180°-4=80°.故選C.

2.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,EF〃BC,GH〃AB,EF,陽相交于點(diǎn)0,則圖

中共有平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

解析：圖中的平行四邊形有:平行四邊形/￡①、平行四邊形掰定、平行四邊

形CHOF、平行四邊形。物G、平行四邊形4掰7、平行四邊形?傷〃、平行四邊形

AEFD、平行四邊形應(yīng)尸C、平行四邊形/用力.故選D.

3.如圖所示,在口力靦中,AD=2AB,CE平分/BCD交AD邊干點(diǎn)、E,且/斤3,則AB

的長為（）

A.4B.3C.D.2

解析：：四邊形0是平行四邊形，."反/AD〃BC,：./DEO/BCE,?2平

分/。伽.../"令N8笫"DEC-/

DCE,J.D^DOAB,'：AD=2AB=2CD,CD^DE,：.AD=2DE,:.A舁D序3,：.DOA土D后3故

選B.

4.如圖所示,在口力靦中，△/笈和的面積的大小關(guān)系是.

解析：???兩平行線寬間的距離相等，.??△48。與△質(zhì)是同底等高的兩個(gè)

三角形，，它們的面積相等.故填相等.

Il

7F

H

5.如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中,/俏60°,于E,DFLBC于F.

(1)求N及方的度數(shù)；

(2)若力?4,華7,求平行四邊形力時(shí)的周長.

解：⑴?.?四邊形/戊刀是平行四邊形，ZA=ZO(50°,：.ZC+Z

5=180°.,，N比180°-Z^120°J：DELAB,DF1BC,：.4DEB=4

DFS,.,.Z^Z^360°-ZDEB-ZDFB-ZB=&Q°.(2)在Rt4/f龐和Rt△加

中，N4=N俏60°,.?./［婷N6?佇30°,仄24后8,繆=267M4,...平行四邊形

/四的周長為2X(8+14)=44.

區(qū)板書設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.平行四邊形的定義

2.平行四邊形邊、角的性質(zhì)

例1例2

3.平行線間的距離

4.例題講解

例3

叵布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第43頁練習(xí)第1,2題;教材第49頁習(xí)題18.1第1,2題.

【選做題】

教材第50頁習(xí)題18.1第8題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.如圖所示，在平行四邊形48繆中，/是110°,延長4?至K延長切至上連接

頌則N屏/尸等于()

A.110°B.30°C.50°D.70°

2.如圖所示，1、〃k,BE〃CF,BAVh于點(diǎn)A,DULL于點(diǎn)C,有下面的四個(gè)結(jié)

論；(1)AB=DC;(2)BE^CF\(3)S△屣3心獷,(4)S四邊形他?產(chǎn)S四邊形ZOF，其中正確的有

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

h

HC1

3.如圖所示，點(diǎn)少是口力靦的邊⑦的中點(diǎn),AD,龐的延長線相交于點(diǎn)

F,小3,D方2,則口4靦的周長為()

A.5B.7C.10D.14

4.如圖所示,在平行四邊形ABCD中，止4,N物〃的平分線與寬的延長線交于點(diǎn)

E,與〃。交于點(diǎn)F,且點(diǎn)F為邊國的中點(diǎn),DGLAE,垂足為G,若D”,則四的長

為()

A.2B.4C.4D.8

5.如圖所示,。/頗與口〃67石的周長相等，且二胡場60°,N/M10°,則/的￡的

度數(shù)為.

【能力提升】

6.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形力也的頂點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo)分別

是(0,0),(3,0),(4,2),則頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)為.

7.如圖所示,在口/灰力中,DE平■分/ADC,AD=Q,小2,則口/靦的周長

是.

8.(2015?自貢中考)在。陽切中，/靦的平分線與BA的延長線相交于點(diǎn)E,BH

_L用于點(diǎn)H.求證C4EH.

9.如圖所示，四邊形4比》是一個(gè)平行四邊形,質(zhì)1切于點(diǎn)E,BFLAD于點(diǎn)F.

⑴請(qǐng)用圖中的字母表示出平行線AD與a'之間的距離；

(2)若此2cm,求平行線AB與⑺之間的距離.

10.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AELBC,交其延長線于點(diǎn)E,切于點(diǎn)F,

Z￡4/^30°"后4cm,A/^3cm,求平行四邊形/時(shí)的周長.

11.如圖所示，已知四邊形/反應(yīng)是平行四邊形，。為邊劭延長線上一點(diǎn)，連接

AC,CE,AB-AC.

⑴求證△物屋△力方；

(2)若/比30°,//麻45°,初=10,求平行四邊形力應(yīng)應(yīng)的面積.

【拓展探究】

12.如圖所示，點(diǎn)￡廠分別在平行四邊形48口的邊DC,CB上,且A^AF,DGL

AF,BHLAE,G,，是垂足.求證DG=BH.

【答案與解析】

LD(解析：由平行四邊形的對(duì)角相等可得/月將110°,再由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出

仁70°，所以/E+/六NFDO70。.)

2.A(解析:27,〃ABAL7,于點(diǎn)A,DC12于點(diǎn)C：.AB=CD,故⑴正確；22〃

lz,BE//CF,J.B^CF,故⑵正確；根據(jù)HL可以證明Rt△ABE^tXDCF,因此S4

傳S△酢,故⑶正確；四邊形力頷與四邊形加叨是同底等高的兩個(gè)平行四邊

形，，S四邊形被kS四邊形死陷故⑷正確.故選A.)

3.D(解析：四邊形48口為平行四邊形，8c；.乙百/CBF,4FD后乙

C.W為繆的中點(diǎn)，，婷紹:.△勿叫匕

M(AAS),：.B(=AD^FD,V/^3,止2,.?.仍3,小〃信4,.”/以力的周長為

2apM而=14.故選D.)

4.B(解析：?.3￡為/的6的平分線，，/DA&/BAE.由題意知DC//AB,：.乙BA方

乙DFA,：."A方/DFA、：,A2FD.又F為ZT的中點(diǎn)，...爐〃：:.AD=D六DOAB=2,

在口△〃安中，根據(jù)勾股定理得AG=,則4月2/伍2,由題意知AD//BC,：.4DA廣4

fNDAF=NE.

￡在△/必和△￡CF中，1DF=CF.:.AAD乂△ECF(kAS),："六EF網(wǎng)

4后24片4.故選B.)

5.25°(解析：與口比此'的周長相等，且CD=CD,：.AD=DE,，4DA男乙

DEA,'：ZBAD=60°，/片110°,二N4叱120°,NCZ^N產(chǎn)110°,AZ

/婷360°-120°-110°=130°，，/如斤=25°.故填25°.)

6.(1,2)(解析:4,8的坐標(biāo)分別是(0,0),(3,0),則止3,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相

等，得分心3,?.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,2),.,.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,的坐

7.20(解析:在口ABCD中，AB=CD,AD〃BC,且AD=B(^6.?:B序2,：.編冊(cè)除6-2=4.

如圖所示，8c又由題意知N1=N2,，/2=/3,，。。廬4

口/時(shí)的周長為2(/6切=2X(6+4)=2X10=20.故填20.)

K"

8.證明：如圖所示，?.?在n4及勿中，班1〃以斤N2.?.?四平分N6(勿,，N1=N

2..\Z1=Z￡：：.B^BC.又,：BH1EC,：.CH=EH.

9.解：⑴Y四邊形的?是平行四邊形，陽,:BFLAD,：.BFLBC,二平行

線/〃與6。之間的距離是線段跖的長度.(2)?；四邊形4時(shí)是平行四邊

J.AB^CD,'.'BELCD,：.施，平行線四與切之間的距離是線段龐的

長度,是2cm.

10.解：,/四邊形力靦是平行四邊形，，48〃內(nèi)乙土匕DJ：AE工BC,AFLCD,Z

￡4430°,比/加30°.；4斤4cm,^3cm,：.AB=8cm,AD=6

cm,.?.平行四邊形4犯9的周長為8+8+6+6=28(cm).

11.⑴證明：'.3后”;：.ZB=ZACB.又?四邊形四必是平行四邊形，."￡〃

AB=AC.

NB=NEAC.

BD,A芹BD,1/ACB=/CAF/B.在4DBA和4AEC中,IBD=AE,二△颯0△

歷IC(SAS).(2)解:過/作力G_L比;垂足為G,如圖所示.設(shè)在

中，：N力叱45°,：.AODG^x.在山△出右中，由N斤30°,易得BG=x.又

YBD=10,：.BG-DG=BD=10,即矛-尸10,解得產(chǎn)=5+5,，S平行四邊形

WBD?AG=10X(5+5)=50+50.

12.證明：連接BE,DF.設(shè)平行四邊形46口的面積為S,AB,4〃邊上的高分別為a

和b,依題意：S^ABX否ADXb,8加=XABXa=S,8加=XADXb=S,5klM=5k

MF.'：DGLAF,BHLAE,：.S△陣XAEXBH,五

加=XAFXDG,：.AEXB/^AFXDG,'：A^AF,：.DG=BH.

s教學(xué)反思

Q'成功之處

本節(jié)以探究活動(dòng)的形式,讓學(xué)生通過自主探索、合作交流去發(fā)現(xiàn)和體驗(yàn)新知

識(shí).整個(gè)過程充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、模擬、推斷等探索性與挑戰(zhàn)性活動(dòng).改變了以

例題、示范、講解為主的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生投入到探索與交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)中

去.這一節(jié)課學(xué)生已通過畫圖,測量,猜想的探究方式發(fā)現(xiàn)“平行四邊形的對(duì)邊

相等,對(duì)角相等”等特征.學(xué)生參與度高,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和實(shí)際操作能力,

取得較好的學(xué)習(xí)效果.

不足之處

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考的語言不夠精練,時(shí)間把握得不夠好,課堂不夠緊湊.由于

性質(zhì)探索部分花了較多時(shí)間，導(dǎo)致練習(xí)的時(shí)間不夠多.應(yīng)該讓學(xué)生在練習(xí)的時(shí)候

有更多的時(shí)間討論,說得更多.

再教設(shè)計(jì)

最后的小結(jié)部分留足時(shí)間，由學(xué)生自己歸納本節(jié)課的內(nèi)容,把性質(zhì)按邊、角進(jìn)

行歸納，配以圖表方便記憶.補(bǔ)充的例題在教學(xué)中側(cè)重對(duì)學(xué)生思路的引導(dǎo),開闊

學(xué)生的視野.

S教材習(xí)題解答

練習(xí)（教材第43頁）

1.解：（1）在口/8（4中，力比繆=5,BOAga,：.口ABCD的周長=/4辦8（34女16.（2）

在O46口中，/力=/信38°，/廬N/M80°-38°=142°.

2.解:AD=BC.理由如下：；AD/7BC,AB〃CD,：.四邊形ABCD是平行四邊

形，："ABC.

一備課資源

0）教學(xué)建議

本課時(shí)教材設(shè)計(jì)理念

平行四邊形是生活中常見的幾何圖形,是基本的幾何圖形之一,它具有豐富的

幾何性質(zhì),對(duì)于平行四邊形,按照?qǐng)D形概念的從屬關(guān)系,平行四邊形首先是四邊

形,具有四邊形的一般性質(zhì)，又是兩組對(duì)邊分別平行的特殊四邊形,是四邊形中

的一類特殊圖形，有它特殊的性質(zhì)，同時(shí)它又包括矩形、菱形、正方形，具有它

們的共性.

平行四邊形性質(zhì)的探究，經(jīng)歷了感知（觀察）、猜想、證明等過程，本節(jié)主要研

究邊、角的性質(zhì).平行四邊形性質(zhì)的證明，應(yīng)用了四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題

的思想,是平行線的性質(zhì)、全等三角形等知識(shí)的延續(xù)和深化,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生演繹

推理,訓(xùn)練學(xué)生思維，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維規(guī)律等方面起著重要的作用.平行四邊形的

性質(zhì)也是后續(xù)學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形等知識(shí)的基礎(chǔ)，在教材中起著承上啟下

的作用.平行四邊形的性質(zhì)還為證明兩條線段相等、兩角相等、兩直線平行提

供了新的方法和依據(jù).

在研究了平行四邊形的性質(zhì)后，教材引進(jìn)了平行線間距離的概念,距離是幾何

中的重要概念,是幾何學(xué)習(xí)的重要起點(diǎn).點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是點(diǎn)到直線的距離、

兩條平行線之間距離的基礎(chǔ).它們?cè)诒举|(zhì)上都是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.任何兩條平

行線之間的距離都是存在的、唯一的,都是夾在這兩條平行線間最短的線段的

長度.兩條平行線之間距離的給出，是平行四邊形概念和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

⑨趣味數(shù)學(xué)

如何分田地面積相等

從前,一位農(nóng)場主有一大塊田地，其形狀是一個(gè)平行四邊形（圖中的。［8N）.田

地內(nèi)有一口井，位于圖中的點(diǎn)。處.井所占的面積非常有限，與整片田地比起來

簡直可以看成“一點(diǎn)”（面積可忽略不計(jì)一），農(nóng)場主臨死前留下了遺囑，把兩塊三

角形的田地（圖中的必和△BOC）給大兒子,剩下的（△/如和△COD）全部給小

兒子,至于這口井,兩家可以共用.由于平行四邊形不比正方形或菱形,相鄰兩邊

AD,48不相等向，所以遺囑公布之后,親友們七嘴八舌,議論紛紛.有人埋怨

農(nóng)場主偏心,分配不公平;也有人替小兒子抱不平.同學(xué)們,你們覺得呢?我們可

以利用什么數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證呢？

我們不妨設(shè)大兒子得到的田地(△［如和△60。面積之和為5過點(diǎn)。作EF工

AD,交助于F,交BC于E,由題意易得AD〃BC,J.EFLBC.貸8加+8

B^AD?OF+BO0E,?.?四邊形力靦是平行四邊形，."仄6。

S=AD*(0F+0E)-AD,EF^S平行四邊形械

由此可以看出，無論井在什么位置,甚至是在這塊地的邊上,兩個(gè)兒子分得的

土地大小都是一樣的.我們不得不佩服這位農(nóng)場主的智慧過人.

第②課時(shí)

一_整體設(shè)計(jì)

①)教學(xué)目標(biāo)

產(chǎn)知識(shí)W技能」

1.理解并掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì).

2.能綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決平行四邊形的有關(guān)計(jì)算問題和簡單的證

明題.

償程寫方卻

在觀察、操作、推理、歸納的探索活動(dòng)中，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)說理能力

與習(xí)慣.

「情感悉度身裾曬

通過小組合作探究學(xué)習(xí)，促進(jìn)同學(xué)間的情感交流，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣，在自我評(píng)

價(jià)中學(xué)會(huì)自我肯定,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心.

①教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用.

【難點(diǎn)】綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

①教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】教學(xué)中出示的教學(xué)插圖和例題.

【學(xué)生準(zhǔn)備】兩張方格紙,鉛筆，圖釘.

S教學(xué)過程

E新課導(dǎo)入

一位飽經(jīng)滄桑的老人,經(jīng)過一輩子的辛勤勞動(dòng),到晚年的時(shí)候,終于擁有了一

塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，

他決定把這塊土地分給他的四個(gè)孩子,他是這樣分的：(如右圖所示)

當(dāng)四個(gè)孩子看到時(shí),爭論不休,都認(rèn)為自己的地少，同學(xué)們，你認(rèn)為老人這樣分

合理嗎?為什么？

本節(jié)課,我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)與平行四邊形的對(duì)角線有關(guān)的性質(zhì)，你將會(huì)明白老人

的分法是否合理

［設(shè)計(jì)意圖］把知識(shí)融入到故事情境中,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

導(dǎo)入二：

1.復(fù)習(xí)提問：

(1)什么樣的四邊形是平行四邊形？

(2)前面我們學(xué)習(xí)過平行四邊形的什么性質(zhì)？

學(xué)生自由說,教師根據(jù)學(xué)生回顧情況梳理知識(shí).

①具有一般四邊形的性質(zhì)(內(nèi)角和是360°).

②角：平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ).

邊:平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.

2.回顧思考：

⑴平行四邊形/靦中，N4比N8大20°,則NC的度數(shù)為()

A.60°B.80°C.100°D.120°

(2)平行四邊形48。的周長為40cm,三角形力回的周長為25cm,則對(duì)角線

力。的長為()

A.5cmB.15cmC.6cmD.16cm

⑶平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,初交于0,則全等三角形的對(duì)數(shù)

有.

學(xué)生獨(dú)自思考,交流解答情況.教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng).

(DC(2)A(3)4對(duì)

畫出圖形，針對(duì)(3)小題學(xué)生的錯(cuò)誤提問：為什么⑶小題中全等三角形的對(duì)數(shù)

不是2對(duì)，而是4對(duì)呢?通過今天的學(xué)習(xí)，你會(huì)明白其中的原因.

［設(shè)計(jì)意圖］以問題串形式回顧平行四邊形的概念和平行四邊形的性質(zhì)，溫

故知新.通過⑴、(3)的問題串，反饋學(xué)生對(duì)平行四邊形的對(duì)邊、對(duì)角性質(zhì)的理

解和簡單應(yīng)用.希望真實(shí)、客觀地反饋學(xué)生對(duì)上節(jié)“平行四邊形性質(zhì)”的掌握

情況,并有針對(duì)性地在本節(jié)補(bǔ)救強(qiáng)化.

陷新知構(gòu)建

［過渡語］上節(jié)課我們研究了平行四邊形的邊和角的關(guān)系,平行四邊形中

還有一種重要的線段,這就是對(duì)角線,平行四邊形對(duì)角線之間有什么關(guān)系呢？

1-平行四邊形的對(duì)角線互相平分

思路一

【探究】請(qǐng)大家在方格紙上畫兩個(gè)全等的口/靦和。比7力并連接對(duì)角線

AC,劭和EG,HF,設(shè)它們分別交于點(diǎn)0.把這兩個(gè)平行四邊形放在一起,讓它們重

合,在點(diǎn)。處釘一個(gè)圖釘,將閱9繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,觀察它還和口〃67萬重合嗎？

你能從中看出前面所得到的平行四邊形的邊、角關(guān)系嗎?進(jìn)一步,你還能發(fā)現(xiàn)平

行四邊形的什么性質(zhì)嗎？

學(xué)生按照要求操作，圍繞問題討論,發(fā)現(xiàn):

是否重合邊角對(duì)角線

/ABC與/HGF,Z.ADC0歸OH,

AB與GH,CD與EF互

旋轉(zhuǎn)口/8繆和口與4HEF,/BAD與/0(^OF,

相重合;/〃與外究

前HGFE童合GHE,乙BCD與4GFE互OB=OG,

與6F互相重合

相重合02OE

4ABC與4HEF,4ADC0歸OF,

口和口M與FE,CD與HG互

旋轉(zhuǎn)與/HGF,/BAD與/0(^OH,

HGFE仍然重相重合;/〃與內(nèi)G,8。

后GFE,/BCD與4GHE互OB=OE,

合與"互相重合

相重合OD=OG

4HG廣/HEF,/GF芹/

結(jié)論GH-EF,EtGF04OF,OG=OE

GHE

教師引導(dǎo)學(xué)生交流:旋轉(zhuǎn)后，口/頷與口〃。石還是完全重合的.平行四邊形的對(duì)

邊相等,對(duì)角也是相等的,對(duì)角線互相平分.

［過渡語］上節(jié)課我們證明了平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角也相等.你能嘗

試證明平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一結(jié)論嗎？

已知：如圖所示,平行四邊形/靦的對(duì)角線AC,劭相交于點(diǎn)a

求證：/=/OB=OD.

證明：?；四邊形力靦是平行四邊形，

：.AB=CD,AB/7DC,

：.4BAW4DC0,4AB0=/CD0,

：./\AOB^/\COD,

：.OA=OC,OB-OD.

你還有其他的證明方法嗎?與同伴交流.

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié),并板書:平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

用符號(hào)語言表述為：

?.?平行四邊形48繆的對(duì)角線AC,劭相交于點(diǎn)0,：.OA=OC,OB=OD.

引導(dǎo)學(xué)生思考:平行四邊形4時(shí)中,對(duì)角線AC,物交于0,則全等三角形的對(duì)

數(shù)有幾對(duì)？

學(xué)生相互補(bǔ)充說出：仍與△屐△8%與△〃%,XABC與XCDA,△/劭與

△儀應(yīng)分別全等,共有4對(duì).

［設(shè)計(jì)意圖］利用活動(dòng)的形式,讓學(xué)生在活動(dòng)中提煉出平行四邊形的對(duì)角線

的性質(zhì)，并加以驗(yàn)證.

思路二

［過渡語］在上節(jié)課中，我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊、角有特殊的關(guān)系,那么平

行四邊形的對(duì)角線有怎樣的特殊關(guān)系呢？

【探究】如圖所示，在口力靦中，連接對(duì)角線〃；能相交于點(diǎn)0,0B與必有

什么關(guān)系？的與少呢？

學(xué)生畫圖,測量后填表,交流.

0A=00=關(guān)系

__為:________

0B=⑺=關(guān)系

__為:________

學(xué)生思考、交流得出：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

追問：互相平分如何理解？

一生回答,其余補(bǔ)充.力。與劭互相平分,指〃'平分BD,即OB=OD,初平分AC,

即OA=OC.

（出示問題）已知。48⑦中，對(duì)角線AC,8〃相交于點(diǎn)0,圖中有哪些三角形全等?

哪些線段相等?請(qǐng)同學(xué)們用多種方法加以驗(yàn)證.

學(xué)生互相討論自己的思維,并交流不同的驗(yàn)證思路.

用“AAS”或“ASA”可以證明圖中共有四對(duì)三角形全等，分別是△4年4

COD,a會(huì)△〃應(yīng)I,△48恒△物,^ABD^/XCDB.相等的線段

有：%=/OB=OD,AB=CD,AD^CB.

師生歸納:平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

學(xué)生說出定理的題設(shè)和結(jié)論,用符號(hào)語言表述為：

：平行四邊形力靦的對(duì)角線AC,如相交于點(diǎn)0,：.OA=OC,OB=OD.

教師提醒:定理的證明只是讓學(xué)生進(jìn)一步理解定理,而在定理的運(yùn)用時(shí)則沒必

要這么麻煩，直接由四邊形是平行四邊形得出其對(duì)角線互相平分,這是證明線段

相等的常用方法.

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)生通過操作感知，輔以三角形全等知識(shí)的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證了

所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,解決了重點(diǎn),突破了難點(diǎn).

2.例題講解

例1（補(bǔ)充）如圖所示,。/比9的對(duì)角線力C成相交于點(diǎn)0,EF過點(diǎn)、。與

AB,勿分別相交于點(diǎn)E,F.

求證0片OF,A芹CF,BE=DF.

學(xué)生討論：由剛剛得出的結(jié)論“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”，得到OA=OC,

繼而得到△/的△物'（AAS）,從而得證.

證明：在口ABCD中,AB〃CD,

.,.Z1=Z2,Z3=Z4.

又見=宓（平行四邊形的對(duì)角線互相平分），

/.龐必△CMAAS）.

...0氏OF,/后⑦（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

?.?四邊形/靦是平行四邊形，

4是繆（平行四邊形對(duì)邊相等）.

二AB-A^CD-CF,

即B^FD.

引申提問：若例1中的條件都不變，將"轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖①所示的位置，那么例1

中的結(jié)論是否成立?若將如向兩方延長,與平行四邊形的兩對(duì)邊的延長線分別

相交（如圖②和圖③所示），例1中的結(jié)論是否成立?說明你的理由.

￡

D

BFC

分別由一名學(xué)生說說自己分析的結(jié)果,證明過程留在課后完成.

例2（教材例2）如圖所示,在口ABCD中,刖=10,/介8,ACLBC,求BC,CD,AC,0A

的長，以及口力靦的面積.

引導(dǎo)學(xué)生讀題，強(qiáng)調(diào)“底”是對(duì)應(yīng)著高說的,平行四邊形中，任一邊都可以作

為“底”，“底”確定后，高也就隨之確定了.

學(xué)生共同分析：由平行四邊形的對(duì)邊相等,可得BC,5的長,在口△/勿中，由

勾股定理可得4C的長.再由平行四邊形的對(duì)角線互相平分可求得0A的長,根據(jù)

平行四邊形的面積計(jì)算公式:平行四邊形的面積=底X高（高為此底上的高），可

求得。力"9的面積.

解：,/四邊形/四是平行四邊形，

：.BOAD=8,CD=AB=10.

,：ACLBC,

.?.△/比'是直角三角形.

根據(jù)勾股定理，

AC=-=6.

又OA=OC,

，0A=A（=3,

SaMc肝BC?^6^8X6=48.

師生共同完成解答過程,并說明用S表示面積時(shí),常在它的下腳注上圖形標(biāo)記,

例如二皿表示口的面積.

［設(shè)計(jì)意圖］本節(jié)課安排了兩個(gè)例題,例1是一道補(bǔ)充題,它是平行四邊形對(duì)

角線的性質(zhì)的直接運(yùn)用，然后對(duì)