專題02平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（鉛筆頭模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023下·浙江七年級期中）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為()A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【分析】首先過點A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，即可求得∠4與∠5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得∠3的度數(shù)．【詳解】解：過點A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，∵∠1=105,∠2=140，∴∠4=75,∠5=40，∵∠4+∠5+∠3=180，∴∠3=65.故選：C.【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質，解題的關鍵是熟練的掌握平行線的性質.例2．（2023下·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）如圖是路燈維護工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】過頂點做直線支撐平臺，直線將分成兩個角，根據(jù)平行的性質即可求解．【詳解】解：過頂點做直線支撐平臺，支撐平臺工作籃底部，、，，，．

【點睛】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．例3．（2023下·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關系為（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】過點E作EF∥AB，則EF∥CD，然后通過平行線的性質求解即可．【詳解】解：過點E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖，

∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．例4．（2023下·廣東汕頭·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作的平行線，過點作的平行線，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補求出，然后計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點作的平行線，過點作的平行線，則，，，，，，，．故選：B．

【點睛】本題考查了平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．熟記性質并作輔助線是解題的關鍵．例5．（2023下·陜西西安·七年級校考期中）如圖，已知，和的平分線相交于F，，則的度數(shù)為．【答案】/140度【分析】連接，因為，所以，又由三角形內角和為，可得，可得，根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)四邊形的內角和為可得答案．【詳解】解：連接，∵，，，，，又平分和，，．故答案為：．【點睛】此題考查了平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，還考查了三角形內角和定理，解題的關鍵是作出這條輔助線．例6．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】過點E作，點F作，根據(jù)平行公理得，根據(jù)平行線的性質逐一計算解題即可．【詳解】解：如圖，過點E作，∵，∴，

∴，，∴，故①正確；如圖，過點F作，∵，∴，∴，，∴，即，故②不正確；又∵，∴，即，故③不正確；∵，∴，∵，∴，，故④正確；∴正確的為①④，故選D．【點睛】本題考查平行線的性質，能作輔助線構造平行線轉化角是解題的關鍵．例7．（2023上·廣東廣州·八年級校考開學考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則（度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則（度）；（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是（度）．【答案】360540720180n【分析】過點作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等于的倍；（1）分別過、分別作的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的三倍；（2）分別過、、分別作的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的四倍；（3）根據(jù)前三問個的剪法，剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．【詳解】過作（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴，又∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補）．∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補）．∴，又∵，∴；

（）分別過、分別作的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得；（）分別過、、分別作的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得；（）由此可得一般規(guī)律：剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．故答案為：；；；．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵，總結規(guī)律求解是本題的難點．例8．（2023下·廣東深圳·七年級?？计谥校緦W習新知】：射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．（1）【初步應用】：生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖2當一束“激光”射入到平面鏡上、被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線．回答下列問題：①當，（即）時，求的度數(shù)．②當時，任何射入平面鏡上的光線經過平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據(jù)所學過的知識及新知說明．（提示：三角形的內角和等于）（2）【拓展探究】：如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經過三次反射，得到反射光線，已知，，若要使，求的度數(shù)．【答案】（1）①；②見解析；（2）【分析】（1）①先求出的度數(shù)，再利用平行線的性質求解即可；②由求出，結合題意可得，，可求，進而求出，最后利用平行線的判定即可得證；（2）過點作，則，利用平行線的性質、三角形內角和等于可求，，，，，，最后在中求解即可．【詳解】解：（1）①∵，，∴，∴，又，∴；②由題意知，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）過點作，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關鍵．例9．（2023下·重慶銅梁·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知點A是外一點，連接．求的度數(shù)．(1)閱讀并補充下面推理過程：解：過點A作，所以，．又因為，所以．(2)從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．如圖2，已知，試說明(3)如圖3，已知，平分，平分，若，則的度數(shù)為°；(4)如圖4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分…，若，則的度數(shù)為；(用含a的代數(shù)式表示)

【答案】(1)(2)見解析(3)130(4)【分析】（1）利用平行線的性質解答即可；（2）過點B作，得到，利用兩直線平行內錯角相等得到，由此得到結論；（3）過點B作，則，根據(jù)平行線的性質推出，再根據(jù)角平分線求出的度數(shù)；（4）依據(jù)（2）（3）的結論推理計算可得答案．【詳解】（1）解：過點A作，所以．又因為，所以．故答案為：；

（2）解：過點B作，如圖，∵，，∴，∴，∴；（3）解：過點B作，則，∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，根據(jù)（2）的結論可得：，故答案為：130；（4）由（3）得，

，∵平分，平分，∴，∵平分，平分，∴，∵平分，平分，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了平行線的性質的應用，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線，，垂足為，與相交于點，若，則（

）.

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，根據(jù)平行線的性質可得，根據(jù)垂線的定義和平行線的性質，推出，，再根據(jù)角的和差關系求出即可求解．【詳解】解：過點作，

∵，∴，，，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查對平行線的性質，平行公理的推論，垂線的定義等知識點的理解和掌握，正確作輔助線并能熟練地運用平行線的性質進行計算是解此題的關鍵．2．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線，點為直線上一點，為射線上一點，若，，交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，，得到，，根據(jù)平行線的性質得到，求得，根據(jù)三角形的內角和即可得到結論．【詳解】解：，，設，，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，三角形的內角和，平角的定義是解題的關鍵．3．（2023·河南三門峽·校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示的數(shù)學圖形．已知垂直地面上的直線于點，當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段將繞點緩慢向上抬高，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即始終平行于）．在該運動過程中，當時，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點C作，利用平行線的性質得到，進而求出，則．【詳解】解：如圖所示，過點C作，∵，∴，∴，∵，即，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．4．（2023下·山東泰安·七年級校考期末）如圖，已知直線，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作直線，，根據(jù)平行線的性質可得，，，進而即可求得．【詳解】解：如下圖，分別過點、作直線，，，，（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），，，（兩直線平行，內錯角相等、同旁內角互補），，，，，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．5．（2023下·重慶七年級課時練習）如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別過E點,F點,G點,H點作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內角，則故選D【點睛】本題考查了平行線的性質，添加輔助線是解題的關鍵6．（2023上·廣東八年級月考）如圖所示，已知，那么（

）

A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質得出，進而可得出結論．【詳解】過點C作，

，，∴由得，，即．故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同旁內角互補．7．（2023下·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谀┤鐖D，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使，，，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作長方形邊的平行線，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補得出，再解答即可．【詳解】解：過點作，

∵，∴，∴，即，∵，，∴的度數(shù)為．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，此題的關鍵是加輔助線，然后利用平行線的性質求解．8．（2023下·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）圖1是男子競技體操項目雙杠的靜止動作，圖2是其俯視示意圖，已知，若與的夾角為，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點B作，則，利用平行線的性質，進行求解即可．【詳解】解：如圖，過點B作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查平行線的判定和性質．解題的關鍵是構造平行線．9．（2022下·西藏那曲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，則的度數(shù)是（

）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作直線，根據(jù)平行的性質得到，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：過點作直線，，，，，，，，故選：C．

【點睛】本題主要考查平行的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．10．（2023上·安徽馬鞍山·八年級校考期中）如圖，將三角形紙片沿虛線剪掉兩角得五邊形，若，，根據(jù)所標數(shù)據(jù)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線的性質，領補角互補及三角形內角和定理，根據(jù)領補角互補得到及，結合平行線的性質得到，最后根據(jù)三角形內角和即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，

，，，∵，，∴，∴，故選：A．11．（2023下·上?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，已知，，和的平分線交于點F，的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點C作，根據(jù)平行公理得出，根據(jù)平行線的性質得出，，求出，根據(jù)，求出，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，最后根據(jù)四邊形內角和求出結果即可．【詳解】解：過點C作，如圖所示：∵，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵和的平分線交于點F，∴，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平行公理的應用，角平分線的定義，四邊形內角和，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質和定義，求出．12．（2023下·浙江寧波·七年級?？计谥校┤鐖D所示，五邊形中，，，，分別是，，的補角，若，，則等于．

【答案】【分析】過點E作，根據(jù)兩直線平行，內錯角、同位角相等，可得到，，即．【詳解】解：過點E作，此時為，為，如圖所示：

∵，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，與補角有關的計算，理清思路是解題的關鍵．13．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，，則．

【答案】【分析】根據(jù)，，，找出規(guī)律，得出．【詳解】解：當與之間有2個角時，如圖所示：

∵，∴；當與之間有3個角時，過點E作，

∵，∴，∴，，∴，即，同理可得：當與之間有4個角時，，∴當與之間有n個角時，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，平行線的性質，平行公理的應用，解題的關鍵是根據(jù)已知圖形找出規(guī)律，熟練掌握兩直線平行，同旁內角互補．14．（2023下·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線a與∠AOB的一邊射線OA相交，∠1＝130°，向下平移直線a得到直線b，與∠AOB的另一邊射線OB相交，則∠2+∠3＝．【答案】【分析】過點O作，利用平移的性質得到，可得判斷，根據(jù)平行線的性質得，，可得到，從而得出的度數(shù)．【詳解】解：過點O作，∵直線a向下平移得到直線b，∴，∴，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平移的性質，平行線的性質，過拐點作已知直線的平行線是解題的關鍵．15．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級統(tǒng)考期末）如圖已知：，，平分，，有下列結論：①；②③；④，其中，正確的結論有．（填序號）

【答案】①③④【分析】根據(jù)平行公理判斷①；延長、交于點G，根據(jù)，，得出，根據(jù)，，得出，即可得出，判斷②；根據(jù)平行線的性質得出，根據(jù)平行線的性質得出，從而得出，根據(jù)，得出，判斷③；根據(jù)平行線的性質得出，根據(jù)角平分線的性質得出，即可得出，根據(jù)，得出，即可判斷④．【詳解】解：，，，故①正確；延長、交于點G，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，即，故②錯誤；平分，，，，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練應用判定定理和性質定理是解題的關鍵，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數(shù)量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．16．（2023下·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）七（2）班同學以“三角尺和平行線”為背景開展數(shù)學探究活動．如圖1，直線，直角三角尺的銳角頂點A，C分別在直線上，點B在直線，之間，

（1）當時，°．（2）如圖2，在線段上取一點D，過點D作直線，若射線平分，且滿足，則°．【答案】5540【分析】（1）易得，根據(jù)平行線的性質求得，則；（2）設，則，由角平分線的定義可得，由平行線的性質得，于是求得，在三角形中，利用三角形內角和定求解即可．【詳解】解：（1）由題意可知，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：55；（2）設，則，∵射線平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案為：40．【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，熟知平行線的性質是解題關鍵．17．（2023下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，F(xiàn)為上一點，且平分，過點F作于點G，作交于點P，．

(1)求證：．(2)若平分，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由，得，利用平行線的性質及垂直的性質，結合平角可得，，進而可得結論；（2）利用角平分線的定義求得，，進而求得，即可得，進而證得結論．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵平分，∴，∴，∵平分，∴∴，∴．

【點睛】本題考查平行線的性質，垂直的定義，角平分線的定義，理解相關性質及定義是解決問題的關鍵．18．（2023下·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，P是直線間的一點，于點F，交于點E，．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞P點按逆時針方向旋轉，當垂直時，立刻按原速返回至后停止運動；射線從出發(fā)，以每秒的速度繞E點按逆時針方向旋轉至后停止運動．若射線，射線同時開始運動，設運動時間為t秒．①當為角平分線時，求的度數(shù)；②當時，求t的值．

【答案】(1)(2)①的度數(shù)為或；②或【分析】（1）過點P作，則，根據(jù)平行線的判定和性質以及垂直的定義可得，再利用角的和差即可求解；（2）①當為角平分線時，則，再分兩種情況：當和時，分別求解即可；②分四種情況：當、、與，根據(jù)平行線的性質列出方程求解即可．【詳解】（1）過點P作，則，∵，，∴，∴，∵，∴；

（2）當為角平分線時，則，分兩種情況：當時，此時的運動時間秒，∴，這時；當時，此時的運動時間秒，∴，這時；∴的度數(shù)為或；②當即時，若，如圖，則，即，解得：，不合題意，舍去；當時，若，如圖，則，即，解得：；

當時，若，如圖，則，即，解得：；當時，不存在互相平行的情況；綜上，當時，t的值是或．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質以及一元一次方程的應用，正確理解題意、熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．19．（2023下·浙江杭州·七年級?？计谥校┮阎本€，點為直線，間的動點，和的角平分線相交于點．(1)如圖1，當，，求的度數(shù)；(2)如圖1，當時，直接寫出的度數(shù)；（用含的代數(shù)式表示）(3)如圖2，點在直線，間運動到某一處，此時恰好，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖所示，過點F作，則，由平行線的性質得到，由平角的定義求出，，再根據(jù)角平分線的定義求出，由此求出的度數(shù)即可求出的度數(shù)；（2）如圖所示，過點C作，則，由平行線的性質得到，進而得到，再仿照（1）求出，則；（3）根據(jù)平行線的性質推出，再由（2）的結論得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，過點F作，∵，，∴．∴，∵，，∴，，∵和的角平分線相交于點，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，過點C作，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，由（1）可知，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∴，由（2）可得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟知角平分線的性質，添加平行線探究角的關系是解題的關鍵．20．（2023下·浙江·七年級期中）如圖所示的格線彼此平行，在格線中作，記與格線形成的銳角為（位于格線上方），記與格線形成的銳角為（位于格線下方）．(1)①如圖1，若點在一條格線上，當時，________；②如圖2，分別作與的鄰補角的角平分線，兩線交于點（在內部），求的度數(shù)；(2)在圖3中，當時，作射線，使得．與格線形成的銳角為，請直接用等式表示與之間的數(shù)量關系．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質進行分析即可得到答案；②根據(jù)鄰補角和角平分線的性質，得到，，過點P作平行于格線，再根據(jù)平行線的性質，得到，，即可求出的度數(shù)；（2）過點O作平行于格線，根據(jù)平行線的性質，得到，進而得到，再根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：①如圖，過點O為頂點在點O所在的格線上作線段，由題意可知，，，，，，，故答案為：；②由題意可知，，，過點P作平行于格線，，，；（2）解：過點O作平行于格線，，，，，，，與格線形成的銳角為，．【點睛】本題考查了平行線的性質，鄰補角，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的性質，找準角度之間的數(shù)量關系是解題關鍵．21．（2023下·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點E在的延長線上，，平分.

(1)若與互補，，求的度數(shù)；(2)若，探究并寫出與的數(shù)量關系；(3)若，，求的值.【答案】(1)(2)結論：(3)【分析】（1）先求得，再根據(jù)平行線的性質求出，然后根據(jù)角平分線的定義即可解答；（2）根據(jù)平行線的性質可得，即為，再結合已知條件即得結論；（3）同（2）可得，結合已知條件以及角的代換即可求得結果.【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴.∵平分∴；（2）結論：理由：∵，∴，∵，∴，∵，∴.∴；解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴.【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的性質、正確進行角的代換是解題的關鍵.22．（2023下·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期末）（課本再現(xiàn)）（1）在一次數(shù)學課上，李老師讓同學們獨立完成課本第23頁第7題的第（2）小題：如圖1，已知，則有，已知，則有，那么__________．（類比探究）（2）在同學們都正確解答這道題后，李老師對這道題進行了改編：如圖2，不變，當將點移動到點的位置時，請寫出，，之間的數(shù)量關系．并說明理由．（拓展應用）（3）善于思考的南南同學猜想：將圖1的部分與圖2重合（如圖3），不變，當，分別平分和時，請寫出與之間的數(shù)量關系．并說明理由．

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）．理由見解析【分析】（1）利用平行線的可得，，進而得出；（2）過點D作，利用平行線的可得進而得出；（3）充分利用（1）（2）中的結論，即可得到．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（2）過點D作，如圖，

則有∵∴∴∴∴；（3）由（1）得，由（2）得，，∵分別是的平分線，∴∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．23．（2023下·浙江寧波·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知C為兩條相互平行的直線，之間一點，和的角平分線相交于F．．(1)求證：．(2)連接，當，時，求的度數(shù)．(3)若時，將線段沿射線方向平移，記平移后的線段為，B，C分別對應P，Q，當時，求的度數(shù)．

【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）平行線的性質和角平分線平分角，推出，進而得到，即可得證；（2）設，則，根據(jù)平行線的性質和角平分線平分角，求出，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，得到，進行求解即可；（3），得到，進而得到，根據(jù)平行線的性質和角平分線平分角，推出，根據(jù)，求出的度數(shù)，根據(jù)平移的性質，以及兩直線平行同旁內角互補，得到，進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵平分，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，設，則，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵分別平分，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，∵線段沿直線方向平移得到線段，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，與角平分線有關的計算．熟練掌握平行線的性質和判定定理，是解題的關鍵．24．（2023下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一個動點，滿足．（1）試問：，，滿足怎樣的數(shù)量關系？解：由于點是平行線，之間一動點，因此需對點的位置進行分類討論．如圖1，當點在的左側時，易得，，滿足的數(shù)量關系為；如圖2，當點在的右側時，寫出，，滿足的數(shù)量關系_________．（2）如圖3，，分別平分和，且點在左側．①若，則的度數(shù)為______；②猜想與的數(shù)量關系，并說明理由；③如圖4，若與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平