第06講5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象掌握

正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。

②會求正、余弦函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間、對會求正、余弦函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，對稱點(diǎn)，

稱點(diǎn)、對稱軸及最值，及結(jié)合函數(shù)的圖象會對稱區(qū)間，會求兩類函數(shù)的最值.

求函數(shù)的解析式，并能求出相關(guān)的基本量。

知識點(diǎn)01：函數(shù)的周期性

1.周期函數(shù)的定義

一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個xD,都有xTD,且

f(xT)f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期的定義

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

π

【即學(xué)即練1】（2023春·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)fx3sinx0的最小正周期為π，則

6

.

【答案】2

2π

【詳解】fx的最小正周期Tπ，2.

故答案為：2.

知識點(diǎn)02：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性

函數(shù)奇偶性

f(x)sinx奇函數(shù)

f(x)cosx偶函數(shù)

f(x)Asin(x)當(dāng)xk時，f(x)Asin(x)為奇函數(shù)；

當(dāng)xk時，f(x)Asin(x)為偶函數(shù)；

2

f(x)Acos(x)

當(dāng)xk時，f(x)Acos(x)為奇函數(shù)；

2

當(dāng)xk時，f(x)Acos(x)為偶函數(shù)；

ππ

【即學(xué)即練2】（2023秋·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)fxcosx0的最小正周期為，則

66

.

【答案】12

2π2ππ

【詳解】由于0，依題意可知T12.

6

故答案為：12

知識點(diǎn)03：正弦、余弦型函數(shù)的常用周期

函數(shù)最小正周期

f(x)Asin(x)b或g(x)Acos(x)b（bR）2

T

||

f(x)|Asin(x)|或g(x)|Acos(x)|

T

||

f(x)|Asin(x)b|或g(x)|Acos(x)b|2

T

（b0）||

f(x)sin|x|無周期

g(x)cos|x|T2

【即學(xué)即練3】（2023秋·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f(x)|sinx||cosx|的最小正周期

為.

1

【答案】/

22

πππ

【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，f(x)|sin(x)||cos(x)||cosx||sinx|f(x)，

222

ππ

當(dāng)0時，f(x)|sin(x)||cos(x)|與f(x)不恒相等，故f(x)的最小正周期為，

22

π

故答案為：

2

知識點(diǎn)04：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)f(x)sinxg(x)cosx

圖象

定義域

定義域RR

值域[1,1][1,1]

周期性T2T2

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

單調(diào)性在每一個閉區(qū)間[2k,2k]

在每一個閉區(qū)間[2k,2k](kZ)上都

22(kZ)上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)

單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間

間[2k,2k](kZ)上都單調(diào)遞

3

[2k,2k](kZ上都單調(diào)遞減減

22

最值當(dāng)x2k(kZ)時，y1;

當(dāng)x2k(kZ)時，y1;max

2max

當(dāng)x2k(kZ)時，

當(dāng)x2k(kZ)時，ymin1;y1;

2min

圖象的對稱對稱中心為(k,0)(kZ),

對稱中心為(k,0)(kZ),

性2

對稱軸為直線xk(kZ)

2對稱軸為直線xk(kZ)

π

【即學(xué)即練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）y＝cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間為.

3

π2π

【答案】kπ，kπkZ

63

ππ

【詳解】因?yàn)閥cos2xcos2x，

33

ππ2π

所以由2kπ2xπ2kπ得，kπxkπ，kZ，

363

π2π

即所求單調(diào)遞減區(qū)間為kπ,kπkZ.

63

π2π

故答案為：kπ,kπkZ.

63

題型01三角函數(shù)的周期問題及簡單應(yīng)用

【典例1】（2023秋·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)，最小正周期為2π的是（）

x

A．ysinB．ysin2x

2

x

C．ysinD．ysin2x

2

【答案】C

2π

xT4π

【詳解】函數(shù)ysin的最小正周期為1，故A不符合；

2

2

2π

函數(shù)ysin2x，其最小正周期為Tπ，故B不符合；

2

xx

因?yàn)楹瘮?shù)ysin的最小正周期為T4π，所以函數(shù)ysin的最小正周期為2π，故C符合；

22

2ππ

因?yàn)楹瘮?shù)ysin2x的最小正周期為Tπ，所以函數(shù)ysin2x的最小正周期為，故D不符合.

22

故選：C.

【典例2】（多選）（2023秋·河北秦皇島·高二?？奸_學(xué)考試）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的

函數(shù)是（）

A．ysin2xB．ysinx

3ππ

C．ycos2xD．ysin2x

22

【答案】AC

【詳解】對于A，函數(shù)yfx=sin2x滿足yfx=sin2xsin2xfx，

且yfx2sinx的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，即yfx2sinx是奇函數(shù)，

2π2π

且注意到其周期為Tπ，故A正確；

2

對于B：函數(shù)yfxsinx滿足yfxsinxsinxfx，

且yfxsinx的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以yfxsinx是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B錯誤；

3ππ

對于C：ycos2xcos2xsin2x，

22

由A選項(xiàng)分析易知yfx=sin2x是奇函數(shù)，

同時也是最小正周期是π的周期函數(shù)，故C正確；

π

對于D：函數(shù)yfx=sin2xcos2x滿足fx=cos2xcos2xfx，

2

且yfx=cos2x的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以yfx=cos2x是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故D錯誤．

故選：AC．

【典例3】（2023秋·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的最小正周期．

π

(1)ysin3x；

3

π

(2)ycos2x.

6

2π

【答案】(1)

3

π

(2).

2

2ππππ

【詳解】（1）因?yàn)閟in3xsin3x2πsin3x，

3333

2ππ

所以自變量x至少要增加到x，函數(shù)ysin3x，xR的值才能重復(fù)出現(xiàn)，

33

π2π

所以函數(shù)ysin3x的最小正周期是.

33

πππ

（2）因?yàn)閥cos2x的最小正周期為π，且函數(shù)ycos2x的圖象是將函數(shù)ycos2x的圖象

666

在x軸下方的部分對折到x軸上方，

并且保留在x軸上方圖象而得到的．

π

由此可知所求函數(shù)的最小正周期為T.

2

【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（）

A．ysinxB．ycosx

C．ycosxD．ysinx

【答案】B

【詳解】對于A，函數(shù)ysinx的最小正周期為2π，故A不符合題意；

對于B，作出函數(shù)ycosx的圖象，

由圖可知，函數(shù)ycosx的最小正周期為π，故B符合題意；

對于C，函數(shù)ycosx的最小正周期為2π，故C不符合題意；

sinx,x0

對于D，函數(shù)ysinx，其圖象如圖，

sinx,x0

由圖可知，函數(shù)ysinx不是周期函數(shù)，故D不符合題意.

故選：B.

【變式2】（多選）（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的是（）

A．ycosxB．ycosx

C．ysinxD．ysinx

【答案】ABC

【詳解】對于A，cosxπcosxcosx，y＝cosx的最小正周期為π；

對于B，cosxcosxcosx，ycosx的最小正周期為2π；

對于C，sinxπsinxsinx，ysinx的最小正周期為π；

sinx,x0

對于D，∵ysinx，∴函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，不具有奇偶性，故錯誤.

sinx,x0

故選：ABC

【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的最小正周期．

1π

(1)fxcos2x；

23

(2)f(x)|sinx|．

【答案】(1)最小正周期為π．

(2)最小正周期為π．

1π

【詳解】（1）∵fxcos2x，∴2．

23

2π2π

又最小正周期Tπ，

2

1π

∴函數(shù)fxcos2x的最小正周期為π．

23

（2）畫出函數(shù)y|sinx|的圖象，如圖所示，

由圖象可知，函數(shù)f(x)|sinx|的最小正周期為π．

題型02三角函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用

【典例1】（2023春·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fxcosx，則

是fx為奇函數(shù)的（）

2

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

π

【詳解】時，可得fxcosxsinx，定義域?yàn)镽，

22

此時fxsinxsinxfx，

故fx為奇函數(shù)，故充分性成立，

π

而當(dāng)fx為奇函數(shù)時，得kπ,kZ，故不一定為，故必要性不成立，

22

是fx為奇函數(shù)的充分不必要條件.

2

故選：B

【典例2】（多選）（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fxsinx0

為偶函數(shù)，則的取值可以為（）

π3π2023π

A．B．πC．D．

222

【答案】ACD

π

【詳解】fxsinx0為偶函數(shù)，因此f(x)cosx或f(x)cosx．所以kπ,kZ，

2

故A,C,D正確，

故選：ACD.

2π

【典例3】（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fxxcos2x，0,π是奇函數(shù)，

3

則的值為．

55

【答案】/

66

π

【詳解】∵y=x2為偶函數(shù)，所以gxcos2x，0,π為奇函數(shù)，

3

ππ5π

∴kπ,kπ，kZ，

326

5π

∵0,π，∴．

6

5π

故答案為：

6

πxx

【典例4】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)fxsinxmee為偶函數(shù)，則m的最小正值

6

為.

22

【答案】/

33

πxx

【詳解】函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fxsinxmee為偶函數(shù)，

6

πxxπxx

則fxfx，即sinxmeesinxmee，

66

πππ

則sinxmsinxm，即ysinxm是偶函數(shù)，

666

ππ2π2π

可知mkπ，kZ，即mkπ，kZ，故m取最小正值為.

6233

2π

故答案為：.

3

【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）使函數(shù)fx3sin2xcos2x為奇函數(shù)，則的一個值

可以是（）

ππππ

A．B．C．D．

3636

【答案】D

π

【詳解】由函數(shù)fx3sin2xcos2x2sin(2x)，

6

ππ

因?yàn)閒x為奇函數(shù)，可得kπ,kZ，所以kπ,kZ，

66

π

令k0，可得－.

6

故選：D.

【變式2】（多選）（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)

π

fx3sin2x是偶函數(shù)，則的值不可能為（）

6

ππ2π5π

A．B．C．D．

6236

【答案】ABD

π

【詳解】由函數(shù)fx3sin2x是偶函數(shù)，可得f03，即sin1，

66

ππ2π

則k,kZ，解得kπ,kZ，

623

2πππ5π

當(dāng)k0時，可得，無論k取何值，都不可能等于或或．

3626

故選：ABD．

2

x1sinx

【變式3】（2023秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx的最大值為a，最小值為b，

x21

則ab.

【答案】2

x212xsinx2xsinx

【詳解】fx1，

x21x21

2xsinx2xsinx

令gx1fx，易知xR，gxgxgx0，即gx為奇函數(shù)，

x21x21

所以

gxmax1fxmin1b,gxmin1fxmax1a,

結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)有

gxmaxgxmin01a1bab2.

故答案為：2

π

【變式4】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）若函數(shù)fxcos2x0為奇函數(shù)，則的最小值

6

為.

π

【答案】

3

π

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxcos2x0為R上的奇函數(shù)，

6

ππππ

所以f0cos0，所以kπ,kZ，所以kπ,kZ，

6623

π

又0，所以的最小值為.

3

π

故答案為：

3

題型03函數(shù)奇偶性與周期性、單調(diào)性，對稱性的綜合問題

【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知fxsinxN*,0π是R

ππ

上的奇函數(shù)，且fx在區(qū)間,上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值為（）

2211

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【詳解】函數(shù)fxsinxN*,0π是R上的奇函數(shù)，

則sin0，所以kπ，kZ，又0π，所以π，

ππππ

則fxsinxπsinx，當(dāng)x,，則x,，

22112211

ππ

ππ22211

又fx在區(qū)間,上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，又N*，

2211ππ

2

112

所以則的最大值為5.

故選：C.

π

【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知fxcosx0,，且yfx的最小正周期

2

為2.若存在m0，使得對于任意xR，都有fxmmfx，則為（）

ππππ

A．B．C．D．

4433

【答案】A

2ππ

【詳解】由已知條件可得fx的最小正周期為4，所以.

42

由fxmmfx,得cosxmmcosx，

因?yàn)榇嬖趍0，使得對于任意xR，都有fxmmfx，所以m1，

1

所以fx1fx，得到函數(shù)fx關(guān)于直線x對稱，

2

ππ

故kπkπkZ，

44

ππ

又，所以.

24

故選:A.

【典例3】（2023秋·山西·高三統(tǒng)考期末）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數(shù)fx的解析式.

33

①f1xf1x；②fxfx；③fx在0,1上單調(diào)遞增.

22

【答案】fxcosπx（答案不唯一，滿足條件即可）

【詳解】解：由①f1xf1x可知，函數(shù)fx圖像關(guān)于直線x1對稱；

333

由②fxfx可知函數(shù)fx圖像關(guān)于點(diǎn),0對稱；

222

所以，f2xf1xf1x，即f1xfx，

所以f2xfx1fx，即函數(shù)fx的周期為2，

故考慮余弦型函數(shù)，不妨令fxAcosx，

2π

所以，π，即fxAcosπx，滿足性質(zhì)①②，

T

由③fx在0,1上單調(diào)遞增可得A0，

故不妨取A1，即fxcosπx，此時滿足已知三個條件.

故答案為：fxcosπx

【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）已知fxsinx0,0是R上的奇函數(shù)，若fx的圖象

關(guān)于直線x對稱，且fx在區(qū)間,內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f（）

422116

3113

A．B．C．D．

2222

【答案】A

【詳解】因?yàn)閒xsinx0,0是R上的奇函數(shù)，則，

所以，fxsinxsinx，

因?yàn)閒x的圖象關(guān)于直線x對稱，則kkZ，可得4k2，

442

當(dāng)x,時，x，

22112211

11211

因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間,內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則，解得0，

2211

2

222

3

所以，k0，2，故fxsin2x，因此，fsin.

632

故選：A.

【變式2】2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)2cos(x)b(0)滿足

πππ

fxfx，且f(0)7,f5，則b（）

888

A．3B．3或7C．5D．7

【答案】D

πππ

【詳解】由題意，函數(shù)fx滿足fxfx，可得x是函數(shù)fx的一條對稱軸，

888

ππ

所以2cos()2，即cos()1，

88

ππππ

即kπ,kZ，所以kπ,kZ

822811

π

又由f5，可得2b5或2b5，即b3或b7，

8

因?yàn)閒(0)7，可得f(0)2cosb7，所以2cos7b，

當(dāng)b3時，可得2cos4，即cos21，（不符合題意，舍去）；

π

當(dāng)b7時，可得2cos0，即cos0，解得kπ,kZ，

222

πππ

如：k0,k1時，可得，解得8，符合題意，

12282

所以b7.

故選：D.

【變式3】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足f1xf1x0，

函數(shù)gxfxsinx0，若函數(shù)ygx1為奇函數(shù)，則的值可以為（）

3

A．B．C．D．

422

【答案】BD

【詳解】解：因?yàn)閒1xf1x0，所以fx關(guān)于點(diǎn)1,0對稱，

要使gx1fx1sinx1為奇函數(shù)，因?yàn)閒x1關(guān)于點(diǎn)0,0對稱，為奇函數(shù)，

所以只需使ysinx1sinx為偶函數(shù)即可，所以k,kZ，

2

故符合題意的有B、D；

故選：BD

【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某函數(shù)f(x)滿足以下三個條件：

①g(x)f(x)1是偶函數(shù)；②g(2x)g(x)0；③f(x)的最大值為4．

請寫出一個滿足上述條件的函數(shù)f(x)的解析式．

π

【答案】fx3cosx1（答案不唯一）

2

【詳解】因?yàn)間(x)f(x)1是偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，

因?yàn)間(2x)g(x)0，所以f(2x)1f(x)10，即f(2x)f(x)2

所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，所以4為f(x)的一個周期，

π

又f(x)的最大值為4，所以fx3cosx1滿足條件.

2

π

故答案為：fx3cosx1（答案不唯一）

2

題型04求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

πππ

【典例1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx2cos3x，x,，則fx的單調(diào)遞

422

增區(qū)間是（）

πππ

A．,0B．,

2412

πππ5πππ5ππ

C．,，,D．,，,

241212412122

【答案】D

ππ

【詳解】fx2cos3x可化為fx2cos3x，故單調(diào)增區(qū)間：

44

π

2kππ3x2kπ，kZ，

4

2π2π

解得kπxkπ，kZ.

34312

ππ53

令k0，x，令k1，πxπ.

412124

ππ

x,，

22

ππ5ππ

所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間是,,,.

412122

故選：D

【典例2】（2023·高一單元測試）函數(shù)y2sin2x,x[,0]單調(diào)減區(qū)間為

6

5

【答案】,

63

3

【詳解】正弦函數(shù)ysinu的單調(diào)遞減區(qū)間為2k,2kkZ，

22

32

由2k2x2kkZ，得kxkkZ，

26263

25

記Ak,kkZ，則AI,0,，

6363

5

故答案為：,.

63

π

【典例3】（2023·全國·高一課堂例題）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y2sinx3的圖象，并指出它的最小正

3

周期、最值及單調(diào)區(qū)間.

511

【答案】圖象見解析，最小正周期為2π，最大值為5，最小值為1，減區(qū)間為2kππ,2kππ，kZ，

66

π5

增區(qū)間為2kπ,2kππ，kZ

66

【詳解】①列表如下：

π54117

xππππ

36363

π3

x0ππ2π

322

y35313

②描點(diǎn).

π

③連線成圖，將這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象向左、右兩邊擴(kuò)展即得y2sinx3的圖象.如圖所示.

3

函數(shù)的最小正周期T2π，最大值為5，最小值為1，

511π5

函數(shù)的減區(qū)間為2kππ,2kππ，kZ，增區(qū)間為2kπ,2kππ，kZ.

6666

π

【變式1】（2023秋·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fxsin2x，

3

π

則fx在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

2

π5π

A．0,B．0,

212

5ππππ

C．,D．,

12232

【答案】B

πππ2π

【詳解】當(dāng)x0,時，2x,，

2333

πππ5π

所以當(dāng)2x,，即x0,時，函數(shù)fx單調(diào)遞增．

33212

故選：B.

π

【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）y＝cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間為.

3

π2π

【答案】kπ，kπkZ

63

ππ

【詳解】因?yàn)閥cos2xcos2x，

33

ππ2π

所以由2kπ2xπ2kπ得，