第10講5.5.2簡單的三角恒等變換

課程標準學習目標

①會運用三角函數(shù)的正弦、余弦、正切的

和與差、二倍角公式進行三角函數(shù)式的化簡

會運用三角函數(shù)的相關公式進行簡單的三角恒等變換，

與求值。

并能解決與三角函數(shù)有關的計算、化簡、證明等問題.

②會運用相應的三角函數(shù)公式進行三角函

數(shù)式的證明。

知識點01：半角公式

1cos

①sin

22

1cos

②cos

22

1cos1cossin

③tan

21cossin1cos

知識點02：輔助角公式：

b

asinxbcosxa2b2sin(x)(其中tan)

a

知識點03：萬能公式

2tan

①sin2

1tan2

2

1tan2

②cos2

1tan2

2

2tan

③tan2

1tan2

2

題型01降冪公式

2π4

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知cos，則sin2（）

45

3311

A．B．-C．D．

5555

【答案】B

π

1cos23

【詳解】2π21sin24，解得：sin2.

cos5

4225

故選：B

8

【典例2】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知2sin2sin，則sin2的值是.

25

16

【答案】/0.64

25

83

【詳解】由題得1cossin，則sincos，

55

916

兩邊同時平方可得1sin2，故sin2.

2525

16

故答案為：.

25

3

【變式1】（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）已知0,，cos，則

5

2

cos．

24

1

【答案】/0.1

10

394

【詳解】解：由0,，cos，得sin1cos21，

5255

4

1cos1

所以221sin51．

cos

2422210

1

故答案為：

10

【變式2】（2023春·湖北恩施·高二?？茧A段練習）函數(shù)fx1cos2xsin2x的最小正周期是．

1

【答案】/

22

1cos2x1cos2x1cos22xsin22x1cos4x

【詳解】因為fx，

2224

2ππ

所以，函數(shù)fx的最小正周期為T.

42

π

故答案為：.

2

題型02利用半角公式、萬能公式求值

4

【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）已知sin，則tan．

52

1

【答案】或2

2

43

【詳解】方法一：因為sin，所以cos．

55

45π7π

由sin，可得2kπ2kπ，kZ，

544

5π7π

則kπkπ，kZ，所以tan0．

8282

1cos

故tan，

21cos

3

1

31

將cos代入可得tan5，

53

212

5

3

31

將cos代入可得tan522，

53

21

5

1

故tan或2；

22

43

方法二：因為sin，所以cos．

55

3

1

31cos1

若cos，則tan5；

4

52sin2

5

3

1

31cos5

若cos，則tan2．

4

52sin

5

1

故答案為：或2

2

8

【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知,tancot

23

(1)求tan的值；

(2)求sin2的值．

2

4

【答案】（1）3（2）

5

818

【詳解】（1）由tancot可得tan，整理得到：3tan28tan30，

3tan3

1

故tan3或tan，因，故tan0，所以tan3．

32

1tan2194

（2）sin2cos2．

21tan2195

15

【變式1】（2023·全國·高二專題練習）已知為銳角，cos，則sin（）．

42

35153515

A．B．C．D．

8844

【答案】D

15

【詳解】因為cos12sin2，而為銳角，

24

2

解得：sin355151．

2

8164

故選：D．

5

【變式2】（2023春·高一單元測試）已知sincos，450540，則tan的值為.

2252

【答案】2

2

11

【詳解】由題意得sincos，即1sin，

2255

43

sin，450540，cos，

55

3

1

1cos5

tan2.

2sin4

5

故答案為：2

1

【變式3】（2023秋·高一課時練習）已知cos，α為第四象限角，求sin，cos，tan.

3222

【答案】答案見解析

1

1

【詳解】1cos3，

sin3

2223

1

1

1cos6，

cos3

2223

1

1

1cos2

tan3.

1

21cos12

3

∵為第四象限角，∴為第二、四象限角．

2

當為第二象限角時，

2

362

sin,cos,tan；

232322

當為第四象限角時，

2

362

sin,cos,tan.

232322

題型03簡單的三角恒等變換

2π2π2

【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）化簡sinsinsin．

66

【答案】1

2

21cos2

【詳解】法1：由倍角公式cos212sin2，得sin．

2

ππ

1cos21cos2

原式1cos2

33

222

11ππ

cos2cos2cos2

2233

11π1

2cos2coscos2．

2232

2π2π2

法2：sinsinsin

66

22

31312

sincossincossin

2222

311

sin2cos2sin2．

222

【典例2】（2023春·四川瀘州·高一瀘縣五中?？茧A段練習）已知函數(shù)fx2sinx3cosxsinx1.

(1)求函數(shù)fx的最小正周期及fx的單調(diào)遞增區(qū)間；

8π

(2)若f()，0，，求cos2的值；

53

ππ

【答案】(1)最小正周期為π，單調(diào)遞增區(qū)間為kπ,kπ,kZ

63

334

(2)

10

【詳解】（1）fx2sinx3cosxsinx13sin2x2sin2x13sin2xcos2x

π

2sin2x，

6

2π

故fx的最小正周期為π，

2

πππππ

令2kπ2x2kπ,kZ，解得kπxkπ,kZ，

26263

ππ

故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ,kπ,kZ；

63

π8π4

（2）f()2sin2，解得sin2，

6565

ππππ

因為0，，所以2，，

3662

ππ2π3

故cos20，故cos21sin2，

6665

ππ2π

所以cos2sin2sin2

263

π2ππ2π4133334

sin2coscos2sin.

6363525210

【變式1】（2023秋·河南鄭州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fxcos2x3sinxcosx1，xR.

(1)求函數(shù)yfx的最小正周期和對稱軸方程；

π

(2)求x0,時，函數(shù)yfx的值域.

2

kππ

【答案】(1)最小正周期為π，對稱軸為x,kZ

26

5

(2)1,

2

【詳解】（1）fxcos2x3sinxcosx1

313π3

sin2xcos2xsin2x.

22262

2π

所以fx的最小正周期為π，

2

ππkππ

由2xkπ解得x，

6226

kππ

所以fx的對稱軸為x,kZ.

26

πππ7π

（2）由于x0,，2x0,π,2x,，

2666

π35

所以sin2x1,.

622

5

即fx的值域為1,.

2

【變式2（2023秋·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)fxsin2x23cos2x.

(1)求函數(shù)fx的最小正周期；

π

(2)求函數(shù)fx在區(qū)間0,上的最大值和最小值；

4

π

(3)若函數(shù)fx在[m,]上是減函數(shù)，求m的取值范圍.

3

【答案】(1)Tπ

(2)最大值為23，最小值是13；

ππ

(3),

123

【詳解】（1）fxsin2x23cos2x

sin2x31cos2xsin2x3cos2x3

π

2sin2x3，

3

2π

函數(shù)的最小正周期Tπ；

2

πππ5π1π

（2）0x，2x，所以sin2x1，

433623

π

則132sin2x323

3

所以函數(shù)fx的最大值為23，最小值是13；

πππ

（3）若xm,，則2m2xπ，

333

ππππ

由題意可知，2mπ，得m，

23123

ππ

所以m的取值范圍是,.

123

題型04輔助角公式的應用

3

【典例1】（2023秋·高一課時練習）函數(shù)fxsinxcosxcos2x的最小正周期是（）

2

π3π

A．πB．C．2πD．

22

【答案】A

313π

【詳解】由fxsinxcosxcos2xsin2xcos2xsin2x，

2223

2π

故函數(shù)的最小正周期為π.

2

故選：A

π2

【典例2】（2023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_學考試）已知函數(shù)fxcos2x2cosx．

3

π

(1)求f的值；

4

(2)求函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間．

3

【答案】(1)1

2

5ππ

(2)kπ,kπ,kZ

1212

【詳解】（1）由題意可得

πππ2ππ2π3

fcos22coscos2cos1，

4434642

π3

即f1

42

π2

（2）由fxcos2x2cosx可得，

3

ππ33π

fxcos2xcossin2xsincos2x1sin2xcos2x13sin2x，1

33223

πππ5ππ

令2kπ2x2kπ,kZ，解得kπxkπ,kZ；

2321212

5ππ

即函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ,kπ,kZ

1212

【典例3】（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)九江中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

1

f(x)cosx(sinxcosx)．

2

π2

(1)若0，且sin，求f()的值；

22

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．

1

【答案】(1)

2

3ππ

(2)kπ,kπ+,kZ

88

π22

【詳解】（1）因為0,sin，所以cos．

222

22211

所以f()

22222

2111cos2x1112π

（2）因為f(x)sinxcosxcosxsin2xsin2xcos2xsin2x，

22222224

πππ3ππ

由2kπ2x2kπ+,kZ，得kπxkπ+,kZ．

24288

3ππ

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ,kπ+,kZ

88

【變式1】（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)fxcos2xsinxcosx的單調(diào)減區(qū)間為．

π5π

【答案】kπ,kπ,kZ；

88

21cos2x12π1

【詳解】因為fxcosxsinxcosxsin2xsin2x，

22242

ππ3π

則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:+2kπ2x+2kπ,kZ，

242

π5π

解得：+kπx+kπ,kZ.

88

π5π

故答案為：kπ,kπ,kZ.

88

【變式2】（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學附屬中學?？奸_學考試）函數(shù)fx2cos2x3sin2x的最大

值為．

【答案】3

π

【詳解】依題意，f(x)1cos2x3sin2x12cos(2x)，

3

ππ

所以當2x2kπ,kZ，即xkπ,kZ時，f(x)3.

36max

故答案為：3

13

【變式3】（2023秋·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯(lián)考階段練習）函數(shù)fxsinxcosx0

22

在x0,π上恰有2個零點，則的取值范圍是．

58

【答案】,

33

13π

【詳解】fxsinxcosxsinx，

223

πππ

當x0,π時，x,π，

333

π58

fx在0,π上恰有2個零點，2ππ3π，解得：，

333

58

即的取值范圍為,.

33

58

故答案為：,.

33

題型05三角函數(shù)的實際應用

π

【典例1】（2023春·江蘇泰州·高一泰州中學?？茧A段練習）如圖，在半徑為R、圓心角為的扇形AB弧

3

上任取一點P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點M、N在OB上，則這個矩形面積的最大值

為（）

3

A．(23）R2B．R2

6

33

C．R2D．R2

43

【答案】B

【詳解】設POBa，矩形PNMQ面積為S，

π

扇形AB的半徑為R，圓心角為，

3

π3

所以QMPNRsin，ONRcos，OMQMtanRsin，

63

312321cos2

所以SRsinRcosRsinRsin2R．

3232

32π32π

化簡得：SRsin2R，0,，

3663

ππ

當，即AOP時，

66

3

S取最大值R2．

6

故選：B.

【典例2（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學?？计谥校┤鐖D，在凸四邊形ABCD中，DADC1，

AB2BC，若B，則四邊形ABCD面積的最大值為.

2

【答案】1722

6

【詳解】連接AC，作DE垂直AC交AC于點E，設角DAC，

DADC1，

所以點E為線段AC的中點，在三角形ADE中，

AEADcoscos，DEADsinsin，

AC2cos，

111

SACDE2cossinsin2，

ACD222

π

設BCm，則AB2m，B，

2

在三角形ABC中，ACAB2BC23m2cos，

226

BCcos，ABcos，

33

122

SBCABcos2，

ABC23

所以四邊形的面積為

1221221721722

SSsin2cos2sin2cos2sin(2)，此時

ACDABC23233636

22

tan，

3

故答案為：1722．

6

π

【變式1】（2023春·四川達州·高一?？计谥校┤鐖D所示，已知OPQ是半徑為2，圓心角為的扇形，C是

4

扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記COP，求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？

并求出這個最大面積．

【答案】當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為222．

8

π

【詳解】解：在Rt△OBC中，OB2cos，BC2sin，0，

4

DA

在Rt△OAD中，tan1，

OA4

∴OADABC2sin，

∴ABOBOA2cos2sin，

設矩形ABCD的面積為S，則

SABBC2cos2sin2sin4sinacosa4sin2

2sin221cos22sin22cos22

π

22sin22，

4

πππ3π

由0，得2，

4444

ππ

所以當2，即時，S222，

428max

因此，當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為222．

8

π

【變式2】（2023春·上海青浦·高一?？茧A段練習）已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧

3

上的動點.ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記COB，矩形ABCD的面積為S.

π

(1)當時，求矩形ABCD的面積S的值.

6

(2)求S關于角的解析式，并求S的最大值.

3

【答案】(1)S

6

3π3ππ3

(2)Ssin2，0；時，S.

36636max6

DA

【詳解】（1）在Rt△OBC中，OBcos，BCsinθ，在Rt△OAD中，tan603，

OA

3333

∴OADABCsin，∴ABOBOAcossin，

3333

332

∴SABBCcossinsinsincossin

33

13133

sin2(1cos2)sin2cos2

26266

33133π3π

sin2cos2sin2，0.

32263663

π3ππ33

當時，Ssin2.

636666

3π3π

（2）由（1）知Ssin2，0

3663

πππ5ππππ333

由0得2，所以當2，即時，S.

3666626max366

A夯實基礎B能力提升

A夯實基礎

一、單選題

1．（2023秋·四川資陽·高二四川省樂至中學?？奸_學考試）函數(shù)fxsinxcosxcos2x的最小正周期為

（）

ππ

A．B．C．πD．2π

42

【答案】C

【詳解】由二倍角公式和輔助角公式化簡fxsinxcosxcos2x可得

15

fxsin2xcos2xsin2x，其中tan2，

22

2π

由三角函數(shù)的周期公式可得最小正周期Tπ.

2

故選：C

55

2．（2023春·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）求值：cos3sin（）

1212

A．0B．2C．2D．2

【答案】B

5π5π15π35ππ5ππ5π

【詳解】cos3sin2(cossin)2(coscossinsin)

1212212212312312

π5π3π

2cos()2cos2，

3124

故選：B.

3．（2023春·廣東陽江·高一廣東兩陽中學?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，最小正周期為2的偶函數(shù)是（）

A．ysin2xcos2xB．ysinxcosx

C．ysinxD．ycos2x

2

【答案】C

【詳解】A選項：yfxsin2xcos2x2sin2x，函數(shù)的周期為，A不正確；

4

因為ygxsinxcosx2sinx，函數(shù)的周期為2，但gx2sin2xgx，不

44

是偶函數(shù)，B不正確；

π

因為yFxsinxcosx，函數(shù)的周期為2，且FxcosxcosxFx，是偶函數(shù)，

2

C正確；

因為ycos2x，函數(shù)的周期為，是偶函數(shù)，D不正確；

故選：C.

π3π

4．（2023·全國·高二專題練習）已知coscos，則cos（）

336

1771

A．B．C．D．

3993

【答案】A

π13

【詳解】coscoscoscossin

322

31

3cossin

22

π3π1

3cos,cos.

6363

故選：A

13π

5．（2023秋·高一課時練習）已知cos，,2π，則sin等于（）

522

1010

A．B．－

55

2625

C．D．

55

【答案】A

3π1

【詳解】,2π,cos12sin2，

225

3π1cos10

,π，sin.

24225

故選：A.

3π1π

6．（2023春·河南南陽·高一?？茧A段練習）已知tan，tan，那么tan為（）

5343

131373

A．B．C．D．

18232318

【答案】C

3π1

【詳解】因為tan，tan，

534

31

ππ7

所以tantan54.

31

3