5.3.1函數(shù)的單調(diào)性第1課時(shí)引

入

在本章前兩節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，它定量地刻畫(huà)了函數(shù)的局部變化.

微積分中重要的思想方法——以直代曲h(t)=4.9t2+2.8t+11能否利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢本節(jié)我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.引

入在必修第一冊(cè)中，我們通過(guò)圖象直觀，利用不等式、方程等知識(shí)，研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性質(zhì).復(fù)習(xí)鞏固：函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，對(duì)于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對(duì)于屬于區(qū)間D的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，有

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).探究新知問(wèn)題1:判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有哪些①.定義法：②.圖像法：③.性質(zhì)法:增+增→增，減+減→減，－增→減，

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減探究新知thaOb(1)thaOb(2)

思考1

圖(1)是某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+2.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)=h'(t)=-9.8t+2.8的圖象.觀察圖象可以發(fā)現(xiàn):

(1)從起跳到最高點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加，即h(t)單調(diào)遞增.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)>0.

(2)從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減小，即h(t)單調(diào)遞減.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)<0.問(wèn)題2:運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別如何從數(shù)學(xué)上刻畫(huà)這種區(qū)別探究新知對(duì)于高臺(tái)跳水問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)t∈(0,a)時(shí)，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)上單調(diào)遞增；當(dāng)t∈(a,b)時(shí)，h′(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)上單調(diào)遞減.

在區(qū)間(a,b)上，h′(t)>0在區(qū)間(a,b)上，h′(t)<0在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞增在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞減思考2我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h'(t)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由h'(t)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢問(wèn)題3:這種情況是否具有一般性呢？探究新知xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)問(wèn)題4:

觀察下面一些函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系？探究新知xyO(1)xyOy′＝1xyO(2)xyOy′＝2x在(∞,0)上，f(x)單調(diào)遞減在(∞,0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0y′＝1在(∞,+∞)上，y′>0探究新知xyO(3)在(∞,0)上，f(x)單調(diào)遞增在(∞,0)上，f′(x)>0xyOf′(x)＝3x2在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0探究新知xyO(4)xyO在(∞,0)上，f(x)單調(diào)遞減在(∞,0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞減在(0,+∞)上，f′(x)<0探究新知問(wèn)題5：為什么函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間有這樣的關(guān)系？導(dǎo)數(shù)f′(x0)在區(qū)間上，f′(x)>0函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率在x=x0處f′(x0)>0函數(shù)y=f(x)的圖象上升，在x=x0附近單調(diào)遞增切線上升在區(qū)間上，f(x)單調(diào)遞增f(x0)>0，f(x)在x0附近↗xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))探究新知問(wèn)題5：為什么函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間有這樣的關(guān)系？導(dǎo)數(shù)f′(x1)在區(qū)間上，f′(x)<0函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x1,f(x1))處切線的斜率在x=x1處f′(x1)<0函數(shù)y=f(x)的圖象下降，在x=x1附近單調(diào)遞減切線下降在區(qū)間上，f(x)單調(diào)遞減f(x1)<0，f(x)在x1附近↘xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))探究新知1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0探究新知函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).f(x)仍為增函數(shù).例如:對(duì)于函數(shù)y=x3，y′=3x2.當(dāng)x=0時(shí)，y′=0，當(dāng)x>0時(shí)，y′>0，而函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增.xyO問(wèn)題6：如果在某個(gè)區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性問(wèn)題7：存在有限個(gè)點(diǎn)使得f'(x)=0,其余點(diǎn)都恒有f′(x)>0,則f(x)有什么特性f'(x)≥0且f'(x)不恒為0例題講解例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：xyO(1)xyO(2)π-π(1)f(x)=x3+3x,其定義域?yàn)镽.f'(x)=3x2+3>0,例題講解例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：xyO(3)11探究新知①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f

(x)；③判定導(dǎo)數(shù)f

(x)的符號(hào)；④確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.2.判定函數(shù)單調(diào)性的步驟：課堂練習(xí)1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：(1)f(x)=x2?2x+4,x∈R(2)f(x)=ex

?x,x∈R課堂練習(xí)解：x∈R,課堂小結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系是：2.判定函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f

(x)；

③判定導(dǎo)數(shù)f

(x)的符號(hào)；④確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)布置作業(yè)（1）教材（2）同步作業(yè)5.3.1函數(shù)的單調(diào)性第2課時(shí)引

入1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f

(x)；③判定導(dǎo)數(shù)f

(x)的符號(hào)；④確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.2.判定函數(shù)單調(diào)性的步驟：課堂練習(xí)例題講解解：xyO14例1

已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)的下列信息:當(dāng)1<x<4時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x<1，或x>4時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x=1，或x=4時(shí)，f′(x)=0.試畫(huà)出函數(shù)f

(x)圖象的大致形狀.3.導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象間的關(guān)系：例題講解D探究新知探究新知比較“陡峭”比較“平緩”課堂練習(xí)解：xyOabxyOab原函數(shù)要注意其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增、在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；導(dǎo)函數(shù)其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零、在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，試畫(huà)出函數(shù)y=f′(x)圖象的大致形狀.課堂練習(xí)3.函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，試畫(huà)出函數(shù)y=f(x)圖象的大致形狀.xyOabedc解：xyOabedc課堂練習(xí)

A

B

C

DD5.已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是(

)D課堂練習(xí)C

(－1，2)和(4，＋∞)[由y＝f′(x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得y＝f(x)的大致圖象如圖所示．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，2)和(4，＋∞)．課堂練習(xí)8.A課堂練習(xí)D布置作業(yè)（1）教材（2）同步作業(yè)5.3.1函數(shù)的單調(diào)性第3課時(shí)探究新知問(wèn)題1：能否探究函數(shù)增減的快慢與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx與冪函數(shù)y=x3在區(qū)間(0,+∞)上增長(zhǎng)快慢的情況.y=x3探究新知一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上：

如果導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越小，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”；反之，如果導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上變化得較快，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”.4.函數(shù)增減的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系例題講解例3xyO1?解：探究新知問(wèn)題2：如何探究函數(shù)的單調(diào)性？判斷函數(shù)的單調(diào)性觀察函數(shù)的圖象函數(shù)單調(diào)性的定義利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)y=x3－3xy=x3+3x探究新知問(wèn)題3：如何利用導(dǎo)數(shù)研究形如

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函數(shù)的單調(diào)性？原函數(shù)定義域?qū)Ш瘮?shù)求導(dǎo)運(yùn)算導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)原函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系5.用導(dǎo)數(shù)研究不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性：例題講解對(duì)于

且

，有函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

.解：（定義法）……例4探究新知例4解：（導(dǎo)數(shù)法）x(－∞,－1)－1(－1,2)2(2,－∞)f′(x)f(x)xyO-11?2?探究新知5.用導(dǎo)數(shù)研究不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的一般步驟：

第1步，確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)數(shù)f

′(x)的零點(diǎn)；

第3步，用f

'(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的優(yōu)勢(shì)：不熟悉的、復(fù)雜的函數(shù)熟悉的、簡(jiǎn)單的函數(shù)轉(zhuǎn)化課堂練習(xí)1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間:解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,－∞)f′(x)f(x)xyO-1?1?課堂練習(xí)1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間:解：x1(1,－∞)f′(x)f(x)xyO?1?課堂練習(xí)2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：(1)f(x)=x2?2x+4,x∈R(2)f(x)=ex

?x,x∈R(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)列表或解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)寫(xiě)出結(jié)論．課堂練習(xí)證明：3.布置作業(yè)（1）教材（2）同步作業(yè)5.3.1函數(shù)的單調(diào)性第4課時(shí)知識(shí)鞏固知識(shí)鞏固知識(shí)鞏固課堂練習(xí)C探究新知6.用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性：探究新知6.用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性：課堂練習(xí)探究新知課堂練習(xí)布置作業(yè)（1）教材（2）同步作業(yè)5.3.1函數(shù)的單調(diào)性第5課時(shí)知識(shí)鞏固知識(shí)鞏固例題講解7.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍：例題講解例題講解例題講解歸納總結(jié)探究新知利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍解法：課堂練習(xí)課堂練習(xí)布置作業(yè)（1）教材（2）同步作業(yè)5.3.1函數(shù)的單調(diào)性第6課時(shí)例題講解8.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題：C例題講解D例題講解C例題講解(－∞，－3)∪(0,3)例題講解練習(xí)：1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)=0,若當(dāng)x>0時(shí)，xf'(x)+f(x)>0,則不等式xf(x)>0的解集是

.例9已知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<－xf'(x),則不等式f(x+1)>(x－1)f(x2－1)的解集是()A.(0,1)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(1,+∞)B構(gòu)造：令g(x)=x