第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省常德一中2024-2025學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2i1?iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.一個(gè)平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為(

)A.4

B.4+43

C.3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若A=60°，B=A.1 B.3 C.2 D.4.若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是(

)A.2：1 B.2：1 C.1：5.△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，A=60°，aA.3<b≤2 B.36.已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a=2eA.30° B.60° C.120°7.已知一個(gè)圓臺的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為4，體積為56π，則該圓臺的高為(

)A.3 B.4 C.5 D.68.已知銳角三角形△ABC的內(nèi)角A.B、C的對邊的長分別為a、b，c，且b=A.(1,3] B.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列結(jié)論中正確的是(

)A.若|z|=1，則z=±1或z=±i

B.若z∈C，則|z2|=10.如圖(1)是一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P(圖(A.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

B.在圖1容器中，若往容器內(nèi)再注入12a升水，則水面高度是容器高度的45

C.將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)P

11.如圖，△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a=b，且3(acosCA.△ABC是等邊三角形

B.若AC=23，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓

C.四邊形AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD=

13.如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，柱的側(cè)面均為矩形，AA1=1，AB

14.已知△ABC是邊長為3的正三角形，點(diǎn)P是△ABC四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知復(fù)數(shù)z=3+mi(m∈R)，z1=(1+3i)z，且z1為純虛數(shù)．

(1)求復(fù)數(shù)z16.(本小題12分)

如圖，圓柱內(nèi)接于球O，已知球O的半徑R=2，設(shè)圓柱的底面半徑為r．

(1)以r為變量，表示圓柱的表面積S柱和體積V柱；

17.(本小題12分)

如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，DE=18.(本小題12分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD為正三角形，M為線段PD上一點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．

(1)當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，求證：19.(本小題12分)

十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且cosA2cosB=sin(C?π6)，點(diǎn)P為△A答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．

先化簡復(fù)數(shù)，再得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

【解答】

解：2i1?i=i(2.【答案】D

【解析】解：直觀圖正方形O′A′B′C′的面積為S′=2×2=4，3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．

直接利用正弦定理的應(yīng)用和三角函數(shù)值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】

解：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若A=60°，B=45°，a=3，4.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，如圖所示：

則h=r，l=2r.

S側(cè)面積=πrl=2πr2，

S底5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)槿切斡袃山猓?/p>

所以bsinA<a<b，

即32b<3<6.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于中檔題．

利用兩個(gè)向量數(shù)量積的定義求出e1?e2，再求出|a|，|b|，a?b

【解答】

解：∵已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，

∴e1?e2=1×1×cos60°=12，

設(shè)a=2e17.【答案】D

【解析】解：設(shè)圓臺的高為h，已知上、下底面圓的半徑分別為2，4．

由圓臺的體積公式可得，V=πh3(22+42+2×4)8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閎=2asinB，

由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB，

因?yàn)閟inB≠0，

故sinA=12，

因?yàn)锳為銳角，故A=π6，9.【答案】BC【解析】解：對于A，若z=12+32i，滿足|z|=1，故A錯(cuò)誤；

對于B，設(shè)z=a+bi，a，b∈R，則|z2|=|a2?b2+2abi|=(a2?b2)2+(2ab)2=a4+b4+2a2b2=(10.【答案】BC【解析】解：設(shè)圖(1)中P到正四棱柱下底面與上底面的距離分別為m，n，正四棱柱的上下底面面積為S，

則由圖(1)可得a=Sm?13Sm=23Sm，又由圖(2)可得a=Sn，

∴23Sm=Sn，∴nm=23，∴mm+n=33+2=35，

∴正四棱錐的高等于正四棱柱高的35，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)在圖1容器中，若往容器內(nèi)再注入12a升水，則水面上升t，

則St=12a=12Sn，∴t=n2，11.【答案】AC【解析】解：∵3(acosC+ccosA)=2bsinB，

∴3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinB?sinB，即3sin(A+C)=3sinB=2sinB?sinB，

∴由sinB≠0，可得sinB=32，∴B=π3或2π3．

又∵a=b.∴B=∠CAB=∠ACB=12.【答案】100【解析】【分析】本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，將各個(gè)已知條件向三角形集中，再通過正弦或其他基本性質(zhì)建立條件之間的聯(lián)系，列方程或列式求解．

設(shè)此山高h(yuǎn)(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出【解答】

解：設(shè)此山高h(yuǎn)(m)，則BC=3h，

在△ABC中，∠BAC=30°，13.【答案】7【解析】解：連接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直線為軸，將△A1BC1所在平面旋轉(zhuǎn)到平面ABB1A1，

設(shè)點(diǎn)C的新位置為C′，連接AC’，則有AP+PC1≥AC′，

當(dāng)A、P、C′三點(diǎn)共線時(shí)，則AC′即為AP+PC1的最小值．

在三角形ABC中，AB=BC=3，cos∠ABC=13，由余弦定理得：

AC=AB2+BC2?2AB14.【答案】2

【解析】解：以△ABC外接圓圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

因?yàn)榈冗叀鰽BC的邊長為3，則BCsinA=2r?r=1，

設(shè)A(1,0),B(?12,32),C(?12,?32),15.【答案】解：(1)由已知可得z1=(1+3i)(3+mi)=3?3m+(9+m)i，

因?yàn)閦1為純虛數(shù)，所以3?3【解析】(1)利用復(fù)數(shù)的概念及乘法運(yùn)算計(jì)算即可；

(216.【答案】解：(1)如圖，點(diǎn)O′為圓柱底面圓圓心，連接OO′，

OO′=22?r2=4?r2，圓柱的高h(yuǎn)=2【解析】本題考查了圓柱的表面積和體積的計(jì)算，基本不等式求最值，屬于中檔題．

(1)點(diǎn)O′為圓柱底面圓圓心，連接OO17.【答案】解：(1)∵AF=AB+1【解析】(1)利用AE?AF=(18.【答案】證明：(1)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD為正三角形，

取AP中點(diǎn)為E，連接EM，EB，

在△PAD中，M為PD的中點(diǎn)，E為AP中點(diǎn)，

∴EM//AD,EM=12AD，

在平行四邊形ABCD中，N為BC的中點(diǎn)，

∴BN//AD,BN=12AD，

∴BN//ME，BN=ME【解析】(1)取AP中點(diǎn)為E，連接EM，EB，利用中位線、平行四邊形性質(zhì)及平行公理有BN//ME，BN=ME，即BNME為平行四邊形，則MN/?19.【答案】解(1)∵cosA2cosB=sin(C?π6)=32sinC?12cosC，

∴cosA=3c