專題45.圓中的重要模型之輔助線模型（八大類）

在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助

線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專

題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。

...........................................................................................................................................1

模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）...........................................................................................1

模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長的問題）................................................................................4

模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）................................................................................7

模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構(gòu)造直角三角形）...............................................................10

模型5、遇90°的圓周角連直徑.......................................................................................................12

模型6、遇切線連圓心和切點（構(gòu)造垂直）.....................................................................................15

模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）.................................................................................17

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點（切點）......................................................................20

.........................................................................................................................................23

模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）

已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．

在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長度問題時，通?？梢赃B接半徑

構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點和弦的兩個

端點，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長度的計算問題

例1．（2024·云南·中考真題）如圖，CD是O的直徑，點A、B在O上．若ACBC，AOC36，則

D（）

A．9B．18C．36oD．45

【答案】B

1

【詳解】解：連接OB，∵ACBC，∴BOCAOC36，∴DBOC18，故選：B．

2

例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC10，C70，以AB為直徑作

半圓，與AC，BC分別相交于點D，E，則DE的長度為（）

π5π10π25π

A．B．C．D．

9999

【答案】C

【詳解】解：連接OD，OE，

∵ABAC，∴ABCC70，∵OEOB，∴OEBB70，∴OEBC70∴OE∥AC，

在ABC中，AABCC180，∴A180ABCC180707040，

140π510π

又OAODAB5，∵OEAC∴AADO40DOE，∴DE的長度為，

21809

例3．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最高

點，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若AB1m，CD2.5m，則拱門所在圓的半徑為（）

A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m

【答案】B

【詳解】解：如圖，連接OA，∵D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，AB1m，

∴CDAB，ADBD0.5，設(shè)拱門所在圓的半徑為r，∴OAOCr，而CD2.5m，

2

∴OD2.5r，∴r20.522.5r，解得：r1.3，∴拱門所在圓的半徑為1.3m；故選B

例4．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，ABAC，BAC120，

D是BC邊上一點，連接AD并延長交O于點E．若AD2，DE3，則O的半徑為（）

3

A．10B．10C．210D．310

2

【答案】A

【詳解】連接OA,OC,CE,∵ABAC,BAC120,∴BACB30∴AOC60,

∵OAOC,∴AOC是等邊三角形,∴ACOA,

ACAE

∵AECACB30，CADEAC,∴ACD∽AEC,，∴AC2AD·AE,

ADAC

∵AD2,DE3,ACADAE22310，

OAAC10，即O的半徑為10，故選:A.

模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長的問題）

已知AB是⊙O的一條弦，過點OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。

在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過

弦的端點的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半

徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。

一般有弦中點、或證明弦相等或已知弦相等時，常作弦心距。

例1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD

是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

【答案】10

【詳解】由題意得：BC16，CD4，

如圖，連接OA，過點O作OEBC，交BC于點E，交AD于點F，則OEC90，

餐盤與BC邊相切，點E為切點，四邊形ABCD是矩形，

ADBC16，AD∥BC，BCDADC90，四邊形CDFE是矩形，OEAD，

11

CDEF4，AFO90，AFDFAD168，

22

設(shè)餐盤的半徑為x，則OAOEx，OFOEEFx4，

在RtVAFO中，由勾股定理得：AF2OF2OA2，

即82(x4)2x2，解得：x10，餐盤的半徑為10，故答案為：10．

例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，ABC內(nèi)接于O，圓的半徑為7，BAC60，則弦BC

的長度為．

【答案】73

【詳解】解：如圖，連接OB,OC，過點O作ODBC于點D，

BAC60，BOC2BAC120，

1

QOBOC,ODBC，BODBOC60，BC2BD，

2

7

∵圓的半徑為7，OB7，BDOBsin603，

2

BC2BD73，故答案為：73．

例3．（2024·四川遂寧·中考真題）工人師傅在檢查排污管道時發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面

是直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬AB為1米，請計算出淤泥橫截面

的面積（）

1313211

A．πB．πC．π3D．π

6462364

【答案】A

11

【詳解】解：過點O作ODAB于D，則ADBDABm，ADO90，

22

2

22213

∵圓的直徑為2米，∴OAOB1m，∴在RtAOD中，ODOAAD1m，

22

∵OAOBAB，∴AOB為等邊三角形，∴AOB60，

60π121313

∴淤泥橫截面的面積2，故選：．

S扇形AOBSAOB1πmA

3602264

例4．（2024·江蘇蘇州·中考真題）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，AB所在圓的圓心C恰好是

ABO的內(nèi)心，若AB23，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）．（結(jié)果保留π）

【答案】8π

【詳解】解：如圖所示：過點C作CEAB，

∵六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，∴AOB60,OAOB，∴AOB為等邊三角形，

∵圓心C恰好是ABO的內(nèi)心，∴CAOCAECBE30，∴ACB120，

AE

∵AB23，∴AEBE3，∴AC2，

cos30

1202π44

∴AB的長為：π，∴花窗的周長為：π68π，故答案為：8π．

18033

模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）

如圖，已知A、B、P是⊙O上的點，點C是圓上一動點，連接AC、BC，則∠ACB=1∠AOB。

2

例1．（2024·山東·中考真題）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，ACB25，則

CAB．

【答案】40/40度

【詳解】解∶連接OB，∵ACB25，∴AOB2ACB50，

1

∵OAOB，∴OABOBA180AOB65，

2

∵OA∥CB，∴OACACB25，∴CABOABOAC40，故答案為：40．

例2．（2024·黑龍江·?？寄M預(yù)測）如圖，點P是O上一點，若AOB70，則APB的度數(shù)為（）

A．110B．145C．135D．160o

【答案】B

1

【詳解】解：如圖，取優(yōu)弧上一點C，連接AC,BC,則ACBAOB35,

2

∴APB180ACB145．故選：B

例3．（2024·江蘇鹽城·?？寄M預(yù)測）如圖，ABC內(nèi)接于O，若圓的半徑是2，AB3，求tanC的值．

【答案】37

7

【詳解】解：作直徑AD，連接BD，圓的半徑是2，AD4，

AB337

AD為直徑，ABD90，BDAD2AB242327，∴tanD

BD77

37

∵CD，tanCtanD．

7

例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC,BC為O的兩條弦，D，G分別為AC,BC的中點，O的

半徑為2．若C45，則DG的長為（）

3

A．2B．3C．D．2

2

【答案】D

【詳解】解：連接OA,OB,AB，

∵O的半徑為2．C45，∴OAOB2,AOB2C90，∴ABOA2OB222，

1

∵D，G分別為AC,BC的中點，∴DG為ABC的中位線，∴DGAB2．故選D．

2

模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構(gòu)造直角三角形）

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，連接AC、BC，則∠ACB=90o。

如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90o的圓

周角的構(gòu)造。

例1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB是O的直徑，若

BEC20，則ADC的度數(shù)為（）

A．100B．110C．120D．130

【答案】B

【詳解】解：如圖，連接AC，∵AB是O的直徑，∴ACB90，

∵BEC20，∴CABBEC20∴ABC90BAC70

∵四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，∴ADC180ABC110，故選：B

例2．（2024·黑龍江·中考真題）如圖，ABC內(nèi)接于O，AD是直徑，若B25，則CAD．

【答案】65

【詳解】解：如圖所示，連接CD，

∵ABC內(nèi)接于O，AD是直徑，∴ACD=90，

∵，∴∴，故答案為：．

ACAC,B25DB25CAD90256565

例3．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，AD是O的直徑，弦BC交AD于點E，連接AB，AC，

若BAD30，則ACB的度數(shù)是（）

A．50B．40C．70D．60

【答案】D

【詳解】解：如圖所示，連接CD，∵BAD30，∴BCDBAD30，

∵AD是O的直徑，∴ACD=90，∴∠ACB∠ACD∠BCD60，故選D．

例4．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為O的直徑，弦CD交AB于點E，BCBD，CDB30，

AC23，則OE（）

3

A．B．3C．1D．2

2

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接BC，

∵AB為O的直徑，BCBD，∴AB⊥CD，∵∠BAC=∠CDB=30°，AC23，∴AEACcosBAC3，

AC

∵AB為O的直徑，∴AB==4，∴OA=2，∴OE=AE-OA=1．故選：C

cosDBAC

模型5、遇90°的圓周角連直徑

如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。

A

C

B

O

遇到90°的圓周角時，常連接兩條弦沒有公共點的另一端點，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。

例1．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C，D在O上，ACBC,AC4,ADC30，則

BC的長為（）

A．43B．8C．42D．4

【答案】A

【詳解】解：連接AB，

QACBC，ACD90，AB為O的直徑，ADC30，ABC30，

AC4

ACBC43

在RtABC中,tanABC，tanABC3．.故選：A．

BC

3

3

例2．（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為的A經(jīng)過原點O和點C0,1，B是y軸左側(cè)A優(yōu)弧上

2

一點，則tanOBC為（）

122

A．B．C．D．2

343

【答案】B

【詳解】解：設(shè)A與x軸的另一個交點為D，連接CD，如圖，則CDOCBO，

3

∵COD90，∴CD是A的直徑，∵A的半徑為，∴CD3，∵C0,1，∴OC1，

2

在直角三角形COD中，根據(jù)勾股定理可得：DO321222，

OC12

∴tanCBOtanCDO；故選：B.

OD224

例3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，O是矩形ABCD的外接圓，若AB4,AD3，則圖中陰影部分

的面積為．（結(jié)果保留）

25

【答案】12

4

【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD是O的直徑，

5

∵AB4,AD3，∴BDAB2AD25，∴O的半徑為，

2

25

∴O的面積為，矩形的面積為3412，

4

2525

∴陰影部分的面積為12；故答案為12；

44

模型6、遇切線連圓心和切點（構(gòu)造垂直）

如圖，已知直線AB連與圓O相切于點C，連接OC，則OC⊥AB。

O

ACB

已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的

有關(guān)性質(zhì)解題。

例1．（2024·黑龍江·?？寄M預(yù)測）如圖，如圖，PA、PB分別切O于點A、B，點C為優(yōu)弧AB上一點，

若ACBAPB，則ACB的度數(shù)為（）

A．67.5B．62C．60D．58

【答案】C

【詳解】解：連接OA,OB，∵PA、PB分別切O于點A、B，

∴OAAP,OBBP，∴PAOPBO90，∴AOBAPB180，

∵AOB2ACB,ACBAPB，∴3ACB180，∴ACB60，故選：C．

例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AC是O的切線，B為切點，連接OA，OC．若A30，AB23，

BC3，則OC的長度是（）

A．3B．23C．13D．6

【答案】C

【詳解】解：連接OB，∵AC是O的切線，B為切點，∴OBAC，

3

∵A30，AB23，∴在RtOAB中，OBABtanA232，

3

∵BC3，∴在RtOBC中，OCOB2BC213，故選C．

例3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD,ADAB，以D為圓心，AD

AB1

為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E．若，則sinC的值是（）

CD3

2537

A．B．C．D．

3344

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，作CFAB延長線于F點，連接DE，

∵ADAB，AB∥CD，∴FADADCF90，

∴四邊形ADCF為矩形，AFDC，ADFC，∴AB為D的切線，

AB1

由題意，BE為D的切線，∴DEBC，ABBE，∵，∴設(shè)AB=BE=a，CD3a，CEx，

CD3

則BFAFABCDAB2a，BCBECEax，在Rt△DEC中，DE2CD2CE29a2x2，

2222

在Rt△BFC中，F(xiàn)C2BC2BF2ax2a，∵DEDAFC，∴9a2x2ax2a，

解得：x2a或x3a（不合題意，舍去），∴CE2a，

DE5a5

∴DECD2CE29a24a25a，∴sinC，故選：B．

DC3a3

模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）

證明直線AB是⊙O的切線.

O

ACB

遇到證明某一直線是圓的切線時：（1）有點連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想圓的切線的判定定

理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點C的直線AB，連接OC，

證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．

（2）無點作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線

的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線

AB是⊙O的切線．

例1．（2024·江西·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，點D是弦AC延長線上一點，連接BD，BC，

DABC60．(1)求證：BD是半圓O的切線；(2)當(dāng)BC3時，求AC的長．

【答案】(1)見解析(2)2

【詳解】（1）證明：AB是半圓O的直徑，ACB90，

DABC60，CAB90ABC30，

ABD180CABD90，BD是半圓O的切線；

（2）解：如圖，連接OC，OCOB,CBA60，OCB為等邊三角形，

120

COB60，OCCB3，AOC180COB120，l232．

AC360

例2．（2024·湖北·中考真題）Rt△ABC中，ACB90，點O在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交AB于點D，

交AC于點E．且BDBC．

(1)求證：AB是O的切線．(2)連接OB交O于點F，若AD3,AE1，求弧CF的長．

【答案】(1)見解析(2)弧CF的長為．

3

【詳解】（1）證明：連接OD，

BDBC

在OBD和△OBC中，OBOB，∴OBD≌OBCSSS，∴ODBOCB90，

ODOC

∵OD為O的半徑，∴AB是O的切線；

（2）解：∵ODB90，∴∠ODA90°，設(shè)O的半徑為x，

22

在RtAOD中，AO2OD2AD2，即x1x23，解得x1，

OD1

∴ODOC1，OA2，cosAOD，∴AOD60，

OA2

1601

∵△OBD≌△OBC，∴BODCOF1806060，∴弧CF的長為．

21803

例3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知AB是O的直徑，點C，D在O上，且BCCD．點E是

線段AB延長線上一點，連接EC并延長交射線AD于點F．FEG的平分線EH交射線AC于點H，H45．

(1)求證：EF是O的切線；(2)若BE2，CE4，求AF的長．

24

【答案】(1)見解析(2)AF

5

1

【詳解】（1）證明：連接OC，則OACOCA，又∵BCCD，∴BCCD，∴DACCABDAB，

2

∴DACOCA，∴OC∥AD，∴OCEF，∵EH平分FEG，∴FEG2HEG，

∴FFEGFAE2HEG2CAB2HEGCAB2H24590，∴OCEF90，

又∵OC是半徑，∴EF是O的切線；

2

（2）解：設(shè)O的半徑為r，則OEOBBEr2，∵OC2CE2OE2，即r242r2，

解得r3，∴EAABBE2r28，OE5，又∵OCAD，∴ECO∽EFA，

EAAF8AF24

∴，即，解得AF．

OEOC535

例4．（2024·山東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DAB60，ABBC2AD2．以

點A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點E，以點B為圓心，以BE為半徑作EF所交BC于點F，連接FD

交EF于另一點G，連接CG．(1)求證：CG為EF所在圓的切線；(2)求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留）

33

【答案】(1)見解析(2)

43

【詳解】（1）解：連接BG如圖，根據(jù)題意可知：ADAE，BEBF

又∵ABBC，∴CFAEAD，∵BC2AD，∴BFBEADAECF，

∵AD∥BC，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴BFDDAB60，

∵BGBF，∴BFG是等邊三角形，∴GFBF，∴GFBFFC，

∴G在以BC為直徑的圓上，∴BGC90，∴CG為EF所在圓的切線．

（2）過D作DHAB于點H，由圖可得：S陰影SABFDS扇AEDS扇BEGSBFG，

33

在Rt△AHD中，AD1，DAB60，∴DHADsinDAB1，

22

3

∴SABDH23，由題可知：扇形ADE和扇形BGE全等，

ABFD2

222

∴nr60AD601，

S扇S扇

AEDBGE3603603606

1133

等邊三角形BFG的面積為：GFDH1，

2224

333

∴S陰影SSSS3

ABFD扇AED扇BEGBFG66443

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點（切點）

當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點，或連接內(nèi)心到各邊切點（或做垂線）。

利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

例1．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為RtABC的

內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）△．△

3

【答案】5

4

【詳解】解：設(shè)切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，

∵⊙O為RtABC的內(nèi)切圓，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，

∵∠C=90°，△∴四邊形CDOE為正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，

設(shè)⊙O的半徑為x，則CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，

∴4-x+3-x=5，解得x=1，

12701233

∴S陰影=SABC-(S扇形EOF+S扇形DOF)-S正方形CDOE=×3×4-×1×1=5-．故答案為：5-．

236044

△

例2．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）已知ABC的周長為l，其內(nèi)切圓的面積為r2，則ABC的

面積為（）

11

A．rlB．rlC．rlD．rl

22

【答案】A

【詳解】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓O與ABC相切于點D，點E，點F，連接OA，OB，OC，OE，OF，OD，

1111

AB切O于E，OEAB，OEr，SAOBABOEABr，同理：SBOCBCr，SAOCACr，

2222

1111

SSSSABrBCrACr(ABBCAC)r，

AOBBOCAOC2222

1

lABBCAC，Slr，故選A

2

例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC的內(nèi)切圓I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，

若I的半徑為r，A，則BFCEBC的值和FDE的大小分別為（）

A．2r，90B．0，90C．2r，90D．0，90

22

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接IF，IE．

∵ABC的內(nèi)切圓I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，

∴BFBD，CDCE，IFAB，IEAC，

∴BFCEBCBDCDBCBCBC0，AFIAEI90，

11

∴EIF180，∴EDFEIF90．故選：D．

22

1．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，EA，ED是O的切線，切點為A，D，點B，C在O上，若

BAEBCD236，則E（）

A．56B．60C．68D．70

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接AD，

∵四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，∴BADBCD180，

∵BAEBCD236，∴BAEBCDBADBCD236180，

即BAEBAD56，∴EAD56，∵EA，ED是O的切線，根據(jù)切線長定理得，

∴EAED，∴EADEDA56，∴E180EADEDA180565668．故選：C．

2．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是O的弦，延長AB，CD相交于點P．已知P30，

AOC80，則BD的度數(shù)是（）

A．30°B．25°C．20°D．10°

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，

∵AOC80，∴OACOCA100，∵P30，∴PAOPCO50，

∵OAOB，OCOD，∴OBAOAB，OCDODC，

∴OBAODC50，∴BOACOD260，

∴BOD3608026020．∴BD的度數(shù)20°．故選：C．

3

3．（2023·重慶初三三模）如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，

4

則OH的長度為（）

757

A．B．1C．D．

663

【答案】D

【解析】解：連接OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，

∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°，

HB3

∵tan∠CDB＝＝，BD＝10，∴DH＝8，BH＝6，

DH4

設(shè)OH＝x，則OD＝OB＝x+6，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+82＝（x+6）2，

77

解得：x＝，∴OH＝；故選：D．

33

4．（2023·廣東廣州·九年級?？甲灾髡猩┤鐖D所示，圓O的直徑AB與弦MN相交于點P．已知圓的直徑

AB4，APN45，則MP2NP2的值是（）

A．82B．8C．43D．4

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，過點O作OCMN，于點C，連接ON，則NCMC，∵APN45∴OCPC，

222222

∵MP2NP2NCPCNCPC2NCPC2NCOC2ON2

∵AB4∴ON2∴MP2NP22228故選：B．

5．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，O是ABC的外接圓，若C25，則BAO（）

A．25B．50C．60D．65

【答案】D

【詳解】如圖所示，連接OB，

∵ABAB，C25，∴AOB2C50，

1

∵OAOB，∴BAOABO180AOB65．故選：D．

2

1

6．（2022春·黑龍江哈爾濱·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，ABC內(nèi)接于O，BC4，tanBAC，則O

2

的半徑為（）

A．4B．8C．25D．45

【答案】C

【詳解】解：連接BO并延長交O于點D，連接CD，∵BD是O的直徑，∴BCD90，

1BC1

∵BDCBAC，tanBAC，∴，∴CD8，

2CD2

∴BDBC2CD2428245，∴O的半徑為25，故選：C．

7．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，ACDCAB，AD2，AC4，則⊙O的

半徑為（）

A．23B．32C．25D．5

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接CO并延長CO交⊙于點E，連接AE，∵OA=OC，∴∠ACE=∠CAB，

∵ACDCAB，∴∠ACD=∠ACE，∴ADAE，∴AE=AD=2，

∵CE是直徑，∴∠CAE=90°，∴CEAE2AC2224225，∴⊙O的半徑為5．故選：D．

8．（2023·重慶九年級一模）如圖，⊙O1的半徑是⊙O2的直徑，⊙O1的半徑O1C交⊙O2于B，若AB的度數(shù)

是48°，那么AC的度數(shù)是______．

【答案】24°

【詳解】解：如圖，連接的度數(shù)是，

BO2,AB48°AO2B48,

的度數(shù)是,故答案是：

O2O1O2B,O2O1BO2BO124,AC2424.

9．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若OBC28，則A．

【答案】62/62度

【詳解】解：連接OC，

∵OBOC，OBC28，∴OCBOBC28，

1

∴BOC180OCBOBC124，∴ABOC62，答案為：62．

2

10．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，O是一個盛有水的容器的橫截面，O的半徑為10cm．水

的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為cm．

【答案】16

1

【詳解】解：如圖所示，過點O作ODAB于點D，交O于點E，則ADDBAB，

2

∵水的最深處到水面AB的距離為4cm，O的半徑為10cm．∴OD1046cm，

在RtAOD中，ADAO2OD2102628cm∴AB2AD16cm故答案為：16．

11．（2023·湖南九年級期中）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕AB的長

為________．

【答案】23cm

【詳解】如圖：作OD⊥AB于D，連接OA．

1

根據(jù)題意得：OD＝OA＝1cm，

2

再根據(jù)勾股定理得：AD＝OA2OD2＝2212＝3cm，

由垂徑定理得：AB＝23cm．故答案為：23cm．

12．（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在ABC中，ACB70，△ABC

的內(nèi)切圓O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE于點F，則AFD．

【答案】35/35度

【詳解】解：如圖所示，連接OE，OD，OB，設(shè)OB、DE交于H，

∵O是ABC的內(nèi)切圓，∴OA、OB分別是∠CAB、∠CBA的角平分線，

11

∴∠OAB∠CAB，∠OBA∠CBA，∵ACB70，∴∠CAB∠CBA180∠ACB110，

22

11

∴∠OAB∠OBA∠CBA∠CAB55，∴∠AOB180∠OAB∠OBA125，

22

∵O與AB，BC分別相切于點D，E，∴BDBE，

又∵ODOE，∴OB是DE的垂直平分線，∴OBDE，即OHF90，

∴∠AFD∠AOH∠OHF