專題06立體幾何小題綜合一、單選題1．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圓的面積公式和球心到截面圓的距離、截面圓半徑及球的半徑的關(guān)系，結(jié)合球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為,由題意可知，解得，，所以球的體積為.故選：D.2．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）樂高積木是由丹麥的克里斯琴森發(fā)明的一種塑料積木，由它可以拼插出變化無窮的造型，組件多為組合體．某樂高拼插組件為底面邊長為、高為的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的圓心、直徑為、高為的圓柱，則該組件的體積為（

）．（單位：）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正四棱柱和圓柱的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為正四棱柱的底面邊長為、高為，所以正四棱柱的體積為，又挖去的圓柱的直徑為、高為，所以圓柱的，故所求幾何體的體積為.故選：D.3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，現(xiàn)提供一中計算“牟合方蓋”體積的方法，顯然，正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，平面截內(nèi)切球得到上述正方形的內(nèi)切圓，結(jié)合祖暅原理，利兩個同高的立方體如在等高處的截面面積相等，則體積相等.若正方體棱長為3，則“牟合方蓋”體積為（

）

A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】先求得正方體內(nèi)切球的體積，再由已知得出牟合方蓋的體積.【詳解】正方體的棱長，則其內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的體積.由于截面正方形與其內(nèi)切圓的面積之比為.設(shè)牟合方蓋的體積為，則，從而牟合方蓋的體積.故選：C.4．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考二模）粽子，古稱“角黍”，早在春秋時期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午節(jié)的節(jié)慶食物．現(xiàn)將兩個正四面體進行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點G在線段CD（含端點）上運動，若此六面體的體積為，則下列說法正確的是（

）

A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】D【分析】設(shè)，然后求出正四面體的高，然后由體積可求得，然后由側(cè)面展開圖可求的最小值.【詳解】設(shè)，則正四面體的高為，因為六面體的體積為，所以，解得，

的最小值為等邊三角形高的2倍，即，故選：D5．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可以任意轉(zhuǎn)動的球，在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意，求正方體的內(nèi)切球半徑，易知該球為所求正四面體的外接球，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可求得棱長．【詳解】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球為正四面體的外接球時，四面體的棱長最大，則該球半徑，如圖：可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，設(shè)正四面體的棱長為，則，，在中，則，即，解得，即．故選：A6．（2023·天津·統(tǒng)考模擬預(yù)測）木升在古代多用來盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學(xué)制作了一個高為40的正四棱臺木升模型，已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50的球O的球面上，且一個底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正四棱臺的外接球的性質(zhì)可得兩底面的邊長，進而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合二面角的定義即可求解.【詳解】如圖：正四棱臺，由題意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以,進而可得取的中點為，過的中點作，連接,所以,,故,在直角三角形中，故，由于,所以即為正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角，故正弦值為，故選：A7．（2023·天津·校聯(lián)考二模）“阿基米德多面體”被稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知正方體邊長為6，則該半正多面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幾何體的對稱性確定該半正多面體的外接球的球心及半徑即可求解.【詳解】如圖，由半正多面體的對稱性可知，其對稱中心與相應(yīng)的正方體的對稱中心是同一點，其對稱中心為正方體的體對角線的中點，點在平面的投影點為，則有，，所以，故該半正多面體的外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D8．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在正四棱柱中，P是側(cè)棱上一點，且．設(shè)三棱錐的體積為，正四棱柱的體積為V，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用等體積法及錐體體積、柱體體積公式計算作答.【詳解】在正四棱柱中，P是側(cè)棱上一點，則，所以的值為.故選：C9．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）某同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為2的正方形，，，，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直，則該包裝盒的容積為（

）

A． B． C． D．20【答案】A【分析】補全圖形為長方體求解即可.【詳解】

將幾何體補全為長方體，如圖所示，，,所以則該包裝盒的容積為：,，，.故選：A.10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)家很早就對空間幾何體進行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.對應(yīng)的是正四棱臺中間位置的長方體；對應(yīng)四個三棱柱，對應(yīng)四個四棱錐.若這四個三棱柱的體積之和為12，四個四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺的體積為（

）A．24 B．28 C．32 D．36【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用四棱錐、三棱柱的體積公式結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，求出長方體的體積作答.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長為a，高為h，三棱柱的高為b，依題意，四棱錐的體積，即，三棱柱的體積，即有，因此，于是長方體的體積，所以該正四棱臺的體積為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進行恰當?shù)姆指?，轉(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是關(guān)鍵.11．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考一模）在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱圖中的多面體ABCDEF為“芻甍”，書中描述了芻甍的體積計算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是芻甍的高，即點F到平面ABCD的距離.若底面ABCD是邊長為4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，則該芻甍的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的幾何體，取中點，證明平面平面，求出點到平面的距離，再求出芻甍的體積作答.【詳解】取中點，連接，如圖，由正方形知，，，而為等腰三角形，且，即有平面，則平面，同理平面，而，于是平面，則點在平面內(nèi)，而平面，于是平面平面，在平面內(nèi)過作于，而平面平面，因此平面，因為，是等腰三角形，則，因為平面，平面平面，平面，則，四邊形為等腰梯形，，因此，所以該芻甍的體積為.故選：B12．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球的體積公式即可求得結(jié)果．【詳解】由題意可得，球心到截面圓所在平面的距離，設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，則，解得，所以，所以該球的表面積為．故選：A．13．（2023·天津河西·天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？寄M預(yù)測）距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的是一種茅屋，如圖1所示，該茅屋主體是一個正四棱錐，側(cè)面是正三角形，且在茅屋的一側(cè)建有一個入戶甬道，甬道形似從一個直三棱柱上由茅屋一個側(cè)面截取而得的幾何體，一端與茅屋的這個側(cè)面連在一起，另一端是一個等腰直角三角形．圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側(cè)棱長為6m，，，，點D在正四棱錐的斜高PH上，平面ABC且．不考慮建筑材料的厚度，則這個茅屋（含甬道）的室內(nèi)容積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為求四棱錐體積與三棱柱體積再加一個小三棱錐體積之和，運用體積公式求解即可.【詳解】設(shè)為正四棱錐底面中心，連接，則，，，取的中點，連接，過作于，則．在直角中．過作交于連接．則，所求體積故選：B14．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖甲是一水晶飾品，其對應(yīng)的幾何體叫星形八面體，也叫八角星體，是一種二復(fù)合四面體，它是由兩個有共同中心的正四面體交叉組合而成且所有面都是全等的小正三角形，如圖乙所示．若一星形八面體中兩個正四面體的棱長均為2，則該星形八面體體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及正四面體的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知星行八面體體積為一個棱長為的大正四面體與四個棱長為的小正四面體的體積之和，故該星形八面體體積為.故選：A.15．（2023·天津·統(tǒng)考二模）紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛的美食甜點.敦敦和融融在步行街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準備分著吃.如圖，該紅薯可近似看作三個部分：左邊部分是半徑為的半球；中間部分是底面半徑是為、高為的圓柱；右邊部分是底面半徑為、高為的圓錐，若敦敦準備從中間部分的處將紅薯切成兩塊，則兩塊紅薯體積差的絕對值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由球和圓柱，圓錐的體積公式求解即可.【詳解】由題意可知，兩塊紅薯體積差的絕對值為.故選：A.16．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍如圖，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分除去兩個球冠如圖，球冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積已知該燈籠的高為，圓柱的高為，圓柱的底面圓直徑為，則圍成該燈籠所需布料的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，則，分別求出兩個球冠的表面積、燈籠中間球面的表面積、上下兩個圓柱的側(cè)面積即可求出圍成該燈籠所需布料的面積.【詳解】由題意得圓柱的底面圓直徑為，半徑為，即球冠底面圓半徑為.已知該燈籠的高為，圓柱的高為，所以該燈籠去掉圓柱部分的高為，所以，得，，所以兩個球冠的表面積之和為，燈籠中間球面的表面積為．因為上下兩個圓柱的側(cè)面積之和為，所以圍成該燈籠所需布料的面積為．故選：B．17．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）如圖，某種中藥膠囊外形是由兩個半球和一個圓柱組成的，半球的直徑是，圓柱高，則該中藥膠囊的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；【詳解】由題意得該幾何體由兩個半球和一個圓柱筒組成，所以體積為一個球體體積和一個圓柱體積之和，由球體的體積為：，圓柱體積為：，所以浮球的體積為：.故選：B.18．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B19．（2023·天津·二模）如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，是的中點，是上的動點，則下列說法正確的是（

）①若是的中點，則直線與所成角為②的周長最小值為③如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為④如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為A．①② B．①③ C．②④ D．①③④【答案】D【分析】對于①，連接，證明出，即可求出直線與所成角為；對于②，把沿著展開與面同一個平面內(nèi)，利用余弦定理求出，即可判斷；對于③，判斷出小球是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為，利用等體積法求解；對于④，判斷出要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設(shè)小球半徑為，利用幾何關(guān)系求出.【詳解】對于①：連接，在正四面體中，D是PB的中點，所以.因為平面，平面，，所以直線平面，因為平面，所以，所以直線與所成角為，故①正確；對于②，如圖，把沿著CD展開與面同一個平面內(nèi)，則周長最小值為,由，，，所以所以，所以，所以的周長最小值為不正確，故②錯誤；對于③，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為.由等體積法可得，所以半徑.故③正確；對于④，10個小球分三層（1個，3個，6個）放進去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設(shè)小球半徑為，四個角小球球心連線是棱長為的正四面體，其高為，由正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故④正確.故選：D20．（2023·天津·校聯(lián)考一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點，則的最大值為C．勒洛四面體的體積是D．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是【答案】D【分析】由勒洛四面體的定義判斷選項A；由勒洛四面體的定義并作圖求解判斷B；根據(jù)對稱性,由勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心求解判斷C；結(jié)合C由棱長減去外接球的半徑求得內(nèi)切球的半徑求解判斷.【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，如圖1所示，故A不正確；將正四面體對棱所在的弧中點連接，此時連線長度最大，如下圖所示：連接，交于中點，交于中點，連接，易得,則，而，所以，故勒洛四面體表面上兩點間的距離可能大于4，故B錯誤，如圖2，由對稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，連接并延長交勒洛四面體的曲面于點，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑.如圖3,在正四面體中，為的中心，是正四面體外接球的球心，連接、、，由正四面體的性質(zhì)可知在上.因為,所以，則.因為，即，解得，則正四面體外接球的體積是，而勒洛四面體的體積小于其外接球的體積，C錯誤；因為，所以,所以，勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是，則D正確.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.二、填空題21．（2023秋·天津紅橋·高三統(tǒng)考期末）在中，，以邊所在直線為軸，將旋轉(zhuǎn)一周，所成的曲面圍成的幾何體的體積為__________.【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念，結(jié)合題意得到該幾何體是圓錐，根據(jù)體積計算公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為在中，，所以，若以邊所在的直線為軸，將旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是以為高，以為底面圓半徑的圓錐，因為，，因此，其體積為：.故答案為：.22．（2023·天津·校聯(lián)考一模）半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.已知，若在該半正多面體內(nèi)放一個球，則該球表面積的最大值為__________.【答案】【分析】分析出球心的位置，得出半正多面體所在的正四面體的高，求出點到正六邊形所在平面的距離，到正三角形所在平面的距離，即可求出當球的表面積最大時，該球的半徑，進而得出表面積.【詳解】由題意，半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，，當球的表面