二、連續(xù)與間斷一、函數(shù)三、極限習(xí)題課函數(shù)與極限第一章第1頁（一）函數(shù)定義（二）極限概念（三）連續(xù)概念一、主要內(nèi)容第2頁函數(shù)定義反函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第3頁1、函數(shù)定義第4頁函數(shù)分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有沒有窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第5頁(1)單值性與多值性:2、函數(shù)性質(zhì)第6頁(2)函數(shù)奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo第7頁(3)函數(shù)單調(diào)性:

設(shè)函數(shù)f(x)定義域為D，區(qū)間ID，假如對于區(qū)間I上任意兩點及，當(dāng)時，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減；單調(diào)增加和單調(diào)降低函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。第8頁(4)函數(shù)有界性:第9頁設(shè)函數(shù)f(x)定義域為D，假如存在一個不為零數(shù)l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)周期.（通常說周期函數(shù)周期是指其最小正周期）.(5)函數(shù)周期性:oyx第10頁3、反函數(shù)4、隱函數(shù)第11頁5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系第12頁6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)第13頁7、復(fù)合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所組成并可用一個式子表示函數(shù),稱為初等函數(shù).第14頁9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)慣用公式第15頁第16頁左右極限兩個主要極限求極限慣用方法無窮小性質(zhì)極限存在充要條件判定極限存在準(zhǔn)則無窮小比較極限性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小二者關(guān)系無窮大第17頁1、極限定義第18頁第19頁左極限右極限第20頁無窮小:極限為零變量稱為無窮小.絕對值無限增大變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大倒數(shù)為無窮小;恒不為零無窮小倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大關(guān)系2、無窮小與無窮大第21頁定理1在同一過程中,有限個無窮小代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限變量與無窮小乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小乘積是無窮小.推論3有限個無窮小乘積也是無窮小.無窮小運算性質(zhì)第22頁定理推論1推論23、極限性質(zhì)第23頁4、求極限慣用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.f.通分法;g.有理化方法;h.代數(shù)方法.第24頁5、判定極限存在準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)第25頁(1)(2)6、兩個主要極限第26頁定義:7、無窮小比較第27頁定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小性質(zhì)9、極限唯一性第28頁左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)初等函數(shù)連續(xù)性間斷點定義連續(xù)定義連續(xù)充要條件連續(xù)函數(shù)運算性質(zhì)非初等函數(shù)連續(xù)性振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類第29頁1、連續(xù)定義第30頁定理3、連續(xù)充要條件2、單側(cè)連續(xù)第31頁4、間斷點定義第32頁(1)跳躍間斷點(2)可去間斷點5、間斷點分類第33頁跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx第34頁0yx無窮型振蕩型第二類間斷點0yx第二類間斷點第35頁6、閉區(qū)間連續(xù)性7、連續(xù)性運算性質(zhì)定理第36頁定理1

嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)反函數(shù).定理28、初等函數(shù)連續(xù)性定理3第37頁定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù).定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù).定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.第38頁定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.第39頁推論在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間任何值.第40頁二、經(jīng)典例題例1解第41頁例2.設(shè)函數(shù)求解:第42頁例3解利用函數(shù)表示法無關(guān)特征代入原方程得代入上式得第43頁解聯(lián)立方程組第44頁例4解將分子、分母同乘以因子(1-x),則第45頁例5解解法討論第46頁第47頁令例6第48頁～則有復(fù)習(xí):若例7第49頁例8解第50頁例19.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式故于是而第51頁例10

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提醒:第52頁例11.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提醒:且對任意實數(shù)證實f(x)

對一切

x

都連續(xù).第53頁例12解第54頁第55頁例13.當(dāng)時,是幾階無窮小?解:設(shè)其為階無窮小,則因故第56頁例14.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知第57頁有沒有窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例15.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.第58頁例16.求間斷點,并判別其類型.解:

x=–1為第