第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性講義——高三數(shù)學(xué)2025屆三輪沖刺高頻考點復(fù)習(xí)整合一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系基本關(guān)系設(shè)函數(shù)y=fx當(dāng)f′x>0時，fx在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)遞增。例如，對于函數(shù)y=x2，其導(dǎo)數(shù)當(dāng)f′x<0時，fx在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)遞減。如函數(shù)y=1x，其導(dǎo)數(shù)y′當(dāng)f′x=0時，充分必要條件f′x>0<f′x≥0≤若f′x在區(qū)間a,b的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零，則f′二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟確定函數(shù)的定義域例如，對于函數(shù)y=lnx，其定義域為求出導(dǎo)數(shù)f′如函數(shù)fx=x2?5lnx?用f′x的零點將fx的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f對于上述函數(shù)fx，用x=52將定義域0,+∞劃分為0,52和52,+∞兩個區(qū)間。當(dāng)x∈0,52三、高頻考點及解題方法求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題：已知函數(shù)fx解析：函數(shù)fx的定義域為0,+∞，求導(dǎo)得f′x=1?1x=x根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典型例題：已知函數(shù)fx=2x+a解析：函數(shù)fx的定義域為?∞,0∪0,+∞，求導(dǎo)得f′x=2?ax2。因為fx在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f′x≥0在[1含參問題討論單調(diào)性一次型或可化為一次型典型例題：已知函數(shù)fx=a解析：函數(shù)fx的定義域為0,+∞，求導(dǎo)得當(dāng)a+1≤0，即a≤?1時，f′當(dāng)a+1>0，即a>?1時，令f′x=0，得x=1a二次型或可化為二次型可因式分解二次型典型例題：已知函數(shù)fx=ax2解析：函數(shù)fx的定義域為0,+∞，求導(dǎo)得f′x=2ax?當(dāng)0<a<1時，1a>1，當(dāng)x∈0,1和1當(dāng)a=1時，f′x≥0在當(dāng)a>1時，1a<1，當(dāng)x∈0,1a和1,+∞不可因式分解二次型：對于函數(shù)fx，其導(dǎo)數(shù)f′x為二次函數(shù)且不能因式分解時，可通過判別式Δ判斷f四、易錯點提醒求單調(diào)區(qū)間忽視了定義域例如，求函數(shù)y=1x的單調(diào)區(qū)間時，不能只考慮y′=1x2>0（已知fx在區(qū)間I如已知函數(shù)fx在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則f′x≥0在I上恒成立，且f五、函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系導(dǎo)數(shù)絕對值與函數(shù)值變化的關(guān)系如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”。由導(dǎo)函數(shù)圖象畫原函數(shù)圖象的依據(jù)若f′x>0，則fx單調(diào)遞增，f′x的圖象一定在x軸的上方；若f′x<0由原函數(shù)圖象畫導(dǎo)函數(shù)圖象的依據(jù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象。通過以上對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的深入理解、解題方法的系統(tǒng)掌握、高頻考點