第一章數(shù)列§3等比數(shù)列3.2等比數(shù)列的前n項和第1課時等比數(shù)列的前n項和素養(yǎng)目標?定方向1．探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系．2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．1．通過等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．能利用等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).必備知識?探新知等比數(shù)列前n項和公式及推導(dǎo)

知識點

[提醒]

若題目中q為字母參數(shù)，不確定具體數(shù)值，則求等比數(shù)列的前n項和時，應(yīng)分q＝1與q≠1兩種情況進行討論．想一想：當q≠1時，等比數(shù)列{an}的前n項和Sn是n的函數(shù)，該函數(shù)的解析式有什么特點？練一練：1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝aqn＋b(q≠1)，則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列．(

)(3)等比數(shù)列的前n項和不可以為0.(

)提示：(1)當q＝1時，Sn＝na1.(2)只有當a與b互為相反數(shù)時，數(shù)列{an}才是等比數(shù)列．(3)例如1，－1,1，－1，….×××2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a2＝3,2a1＋a2＝4，則S6＝(

)A．128 B．127C．64 D．63D3．設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于(

)A[解析]

因為a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，因為S3＝8，S6＝7，所以S6－S3＝－1，所以8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，關(guān)鍵能力?攻重難題|型|探|究

(1)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2且S3＝2a3－2，則公比q＝(

)(2)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，an＝125，求Sn.題型一與等比數(shù)列前n項和有關(guān)的基本運算典例1B[解析]

(1)由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，又a1＝2，所以q2－q－2＝0，即(q－2)(q＋1)＝0，所以q＝2或q＝

－1(舍去)．(2)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，由a4－a2＝24，a2＋a3＝6，得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6，解得a2＝1，q＝5，所以an＝a1qn－1＝5n－2，令an＝125，解得n＝5，[規(guī)律方法]

等比數(shù)列前n項和運算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換．提醒：兩式相除是解決等比數(shù)列基本量運算常用的運算技巧．

(1)設(shè){an}是正項等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a1a5＝1，S3＝7，則S6＝(

)(2)在正項等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，則n＝(

)A．6 B．7C．8 D．9對點訓(xùn)練?BC[解析]

(1)因為{an}是正項等比數(shù)列，所以an>0，q>0，

已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn＝3n－1＋k(n∈

N*)，則常數(shù)k＝________.題型二等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征典例2[解析]

方法一：由已知得，a1＝S1＝1＋k，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6.[規(guī)律方法]

等比數(shù)列前n項和公式的特征數(shù)列{an}是非常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列?Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0,1，n∈N*)．

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝k·2n－3，則ak＝(

)A．4 B．8C．12 D．16[解析]

當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝k·2n－1；當n＝1時，a1＝S1＝2k－3＝k·21－1，解得k＝3，∴ak＝a3＝3·23－1＝12.故選C．對點訓(xùn)練?C

(1)在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n；(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，全部項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求該等比數(shù)列的通項公式．[分析]

運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元.題型三等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)應(yīng)用典例3[解析]

(1)方法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.方法二：由題意知，公比q≠－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，(2)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，由題意得S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．∵數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，[規(guī)律方法]

等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1){an}是公比不為－1的等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝(

)A．32 B．64C．72 D．216(2)一個等比數(shù)列的首項是1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù)．對點訓(xùn)練?B[解析]

(1)由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比數(shù)列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比為2，所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，即a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.(2)方法一：設(shè)原等比數(shù)列的公比為q，項數(shù)為2n(n∈N＋)．由已知a1＝1，q≠1，有方法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，

中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則此人第4天走了(

)A．60里

B．48里

C．36里

D．24里題型四等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用典例4D[解析]

記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知[規(guī)律方法]

求解數(shù)列應(yīng)用問題應(yīng)明確以下幾個問題：(1)是哪一類數(shù)列模型；(2)是否能直接求出通項公式，否則先建立遞推公式；(3)是求和還是求項；(4)數(shù)列的項數(shù)．

中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例償還，他們各償還多少？該問題中，1斗為10升，則羊主人應(yīng)償還粟(

)對點訓(xùn)練?C易|錯|警|示忽略對公比q的討論致誤

已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.典例5∴1＋q＋q2＝3，∴q2＋q－2＝0.∴q＝－2或q＝1(舍去)∴a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.[正解]

若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意.此時，q＝1，a3＝a1＝2.解得q＝1(舍去)或q＝－2.此時，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.綜上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.課堂檢測?固雙基B2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，則S3＋T5＝(

)A．13 B．25C．37 D．41C[解析]

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，因為a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，3．已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，則n的值為(

)A．4 B．5C．6 D．7[解析]

由an＝a1