26.1.1反比例函數(shù)（教學(xué)設(shè)計(jì)）-2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊學(xué)校：[學(xué)校名稱]教師：[教師姓名]【課標(biāo)要求】結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.理解反比例函數(shù)的概念，能判斷一個(gè)給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)。2.能根據(jù)實(shí)際問題中的條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式，體會函數(shù)的模型思想。3.能根據(jù)反比例函數(shù)的表達(dá)式，求出具體情境中自變量的值。4.經(jīng)歷反比例函數(shù)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納和概括能力。【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象：通過對實(shí)際問題的分析，抽象出反比例函數(shù)的概念，體會數(shù)學(xué)抽象的過程。邏輯推理：在判斷函數(shù)是否為反比例函數(shù)以及求反比例函數(shù)表達(dá)式的過程中，培養(yǎng)邏輯推理能力。數(shù)學(xué)建模：能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)模型，提高數(shù)學(xué)建模能力。數(shù)學(xué)運(yùn)算：準(zhǔn)確求出反比例函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)，進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1.反比例函數(shù)的概念。2.根據(jù)實(shí)際問題確定反比例函數(shù)的表達(dá)式?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】1.理解反比例函數(shù)的概念，尤其是對反比例關(guān)系的理解。2.從實(shí)際問題中抽象出反比例函數(shù)模型?！窘虒W(xué)方法】講授法、情境探究法、合作探究法。【教學(xué)過程】總議題：反比例函數(shù)的認(rèn)識與應(yīng)用議題一：反比例函數(shù)的引入議學(xué)情境：1.小明家到學(xué)校的距離為5千米，他騎車上學(xué)的速度v（千米/小時(shí)）與所需時(shí)間t（小時(shí)）之間有怎樣的關(guān)系？2.一個(gè)面積為10的矩形，它的長a與寬b之間有怎樣的關(guān)系？3.某工廠有100噸煤，每天的用煤量m（噸）與使用天數(shù)n（天）之間有怎樣的關(guān)系？學(xué)生討論回答：針對問題1，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可得5=vt，變形為v=5/t。針對問題2，根據(jù)矩形面積=長×寬，可得10=ab，變形為a=10/b。針對問題3，根據(jù)總煤量=每天用煤量×使用天數(shù)，可得100=mn，變形為m=100/n。教師總結(jié)：我們觀察這些式子，它們都具有y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的形式。這就是我們今天要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)。這三個(gè)實(shí)際問題分別從行程、面積和資源使用的角度，展示了兩個(gè)變量之間的反比例關(guān)系，為我們引出反比例函數(shù)的概念奠定了基礎(chǔ)。在行程問題中，速度和時(shí)間的乘積是固定的路程；在矩形面積問題中，長和寬的乘積是固定的面積；在資源使用問題中，每天用煤量和使用天數(shù)的乘積是固定的總煤量。這種反比例關(guān)系在生活中廣泛存在，通過這些實(shí)例，我們能更直觀地感受反比例函數(shù)的實(shí)際意義。（5分鐘）議題二：反比例函數(shù)的概念議學(xué)情境：給出以下函數(shù)表達(dá)式：1.y=3/x2.y=2x+13.y=1/x24.y=-4/x5.y=x/3學(xué)生討論回答：判斷哪些是反比例函數(shù)。學(xué)生經(jīng)過分析得出，式子1和4符合y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的形式，是反比例函數(shù)；式子2是一次函數(shù)；式子3中自變量x的次數(shù)是-2，不符合反比例函數(shù)的形式；式子5可變形為y=(1/3)x，是正比例函數(shù)。教師總結(jié)：1.反比例函數(shù)的定義：一般地，形如y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)。自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。2.反比例函數(shù)的其他形式：y=kx?1（k為常數(shù)，k≠0），xy=k（k為常數(shù)，k≠0）。在判斷一個(gè)函數(shù)是否為反比例函數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是看能否將其化為這幾種形式之一。同時(shí)，要注意自變量的取值范圍，因?yàn)榉帜覆荒転?，所以x≠0。這是反比例函數(shù)區(qū)別于其他函數(shù)的重要特征之一。（8分鐘）議題三：反比例函數(shù)表達(dá)式的確定議學(xué)情境：1.已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y=3，求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式。2.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，4），求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式。學(xué)生討論回答：1.設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=k/x（k≠0），把x=2，y=3代入得3=k/2，解得k=6，所以這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=6/x。2.設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=k/x（k≠0），因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，4），所以把x=-1，y=4代入得4=k/(-1)，解得k=-4，所以這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-4/x。教師總結(jié)：確定反比例函數(shù)表達(dá)式的步驟：1.設(shè)：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=k/x（k≠0）。2.代：把已知的自變量和函數(shù)的對應(yīng)值代入表達(dá)式中，得到關(guān)于k的方程。3.解：解這個(gè)方程，求出k的值。4.寫：把k的值代入所設(shè)的表達(dá)式中，寫出反比例函數(shù)的表達(dá)式。這種方法叫做待定系數(shù)法，是確定函數(shù)表達(dá)式的常用方法。在確定反比例函數(shù)表達(dá)式時(shí)，只需要一組自變量和函數(shù)的對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定函數(shù)表達(dá)式。這是因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中只有一個(gè)待定系數(shù)k。（10分鐘）議題四：反比例函數(shù)的應(yīng)用議學(xué)情境：1.某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件。試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件。設(shè)銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售利潤為w（元）。求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷該函數(shù)是否為反比例函數(shù)。2.某村的糧食總產(chǎn)量為a（a為常數(shù)）噸，設(shè)該村平均每人占有糧食為y噸，人口數(shù)為x人，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷該函數(shù)是否為反比例函數(shù)。學(xué)生討論回答：1.首先，每件文具的利潤為(x-20)元，銷售量為[250-10(x-25)]件，化簡銷售量得[250-10x+250]=(500-10x)件。則w=(x-20)(500-10x)=-10x2+700x-10000，該函數(shù)不是反比例函數(shù)，而是二次函數(shù)。2.根據(jù)題意可得y=a/x（a為常數(shù)，a≠0），該函數(shù)是反比例函數(shù)。教師總結(jié)：在實(shí)際問題中，我們要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷是否為反比例函數(shù)。在解決這類問題時(shí)，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確找出變量之間的關(guān)系，然后進(jìn)行列式和判斷。對于實(shí)際問題中的函數(shù)，我們還要考慮自變量的取值范圍，要使實(shí)際問題有意義。比如在文具銷售問題中，銷售單價(jià)x要大于進(jìn)價(jià)20元，同時(shí)銷售量不能為負(fù)數(shù)，這就對x的取值范圍有了限制。（7分鐘）【課堂練習(xí)】1.下列函數(shù)中，哪些是反比例函數(shù)？（1）y=5/x（2）y=2x（3）y=1/(3x)（4）y=x/2（5）y=-3/x2答案：（1）、（3）是反比例函數(shù)。因?yàn)椋?）符合y=k/x（k=5≠0）的形式；（3）可變形為y=(1/3)×(1/x)，也符合反比例函數(shù)形式。（2）是正比例函數(shù)；（4）是正比例函數(shù)；（5）自變量x的次數(shù)是-2，不符合反比例函數(shù)形式。2.已知y與x成反比例，且當(dāng)x=3時(shí)，y=4，求y與x的函數(shù)表達(dá)式。答案：設(shè)y=k/x（k≠0），把x=3，y=4代入得4=k/3，解得k=12，所以函數(shù)表達(dá)式為y=12/x。3.已知反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），求k的值。答案：把x=2，y=-3代入y=k/x得-3=k/2，解得k=-6。4.某工廠現(xiàn)有原材料100噸，每天平均用去x噸，這批原材料能用y天，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為。答案：根據(jù)原材料總量=每天用去的量×使用天數(shù)，可得100=xy，變形得y=100/x（x＞0）。（5分鐘）【課堂小結(jié)】1.反比例函數(shù)的概念：形如y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，也可以表示為y=kx?1（k為常數(shù)，k≠0）或xy=k（k為常數(shù)，k≠0）的形式。自變量x的取值范圍是x≠0。2.確定反比例函數(shù)表達(dá)式的方法：待定系數(shù)法，步驟為設(shè)、代、解、寫。3.反比例函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，并判斷是否為反比例函數(shù)，同時(shí)要考慮自變量的取值范圍使實(shí)際問題有意義?！疽谆煲族e(cuò)】1.要準(zhǔn)確區(qū)分反比例函數(shù)與其他函數(shù)的形式，如一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）、正比例函數(shù)y=kx（k≠0）等。2.在確定反比例函數(shù)表達(dá)式時(shí)，注意k的值不能為0。3.在實(shí)際問題中，要注意自變量的取值范圍，不能只考慮數(shù)學(xué)表達(dá)式有意義，還要使實(shí)際問題合理?！菊n后作業(yè)】1.已知反比例函數(shù)y=(m-1)x^(m2-2)，求m的值。2.已知y與x+1成反比例，當(dāng)x=2時(shí)，y=1，求y與x的函數(shù)表達(dá)式。3.某商場銷售某種商品，每件進(jìn)價(jià)為80元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為100元時(shí)，平均每天能售出20件；在進(jìn)價(jià)不變的情況下，每漲價(jià)1元，平均每天就少售出2件。設(shè)每件商品的銷售價(jià)上漲x元，每天的銷售利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷該函數(shù)是否為反比例函數(shù)