/岳陽市2024屆高三教學質量監(jiān)測（三）數(shù)學本試卷共19題，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、考號和姓名填寫在答題卡指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應的標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保證答題卡的整潔.考試結束后，只交答題卡.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合，結合交集的定義求.【詳解】不等式，可化為，所以不等式的解集為，所以，又，所以，故選：B.2.若虛數(shù)單位是關于的方程的一個根，則（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】利用方程根的意義，結合復數(shù)為0的充要條件求出，再求出復數(shù)的模.【詳解】依題意，，即，又，則，所以.故選：C3.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個方向向量，再求與共線的向量即可.【詳解】直線的斜率為，則直線的一個方向向量，對于A，因，即向量與共線，A是；對于B，因，即向量與不共線，B不是；對于C，因，即向量與不共線，C不是；對于D，因，即向量與不共線，D不是.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.若直線上有無數(shù)個點不在平面內，則B.若直線不平行于平面且，則平面內不存在與平行的直線C.已知直線，，平面，且，則直線，平行D.已知兩條相交直線，，且平面，則與相交【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關系的定義，分類，及幾何特征，逐一分析選項，可得答案.【詳解】若直線上有無數(shù)個點不在平面內，則或與相交，故A選項不正確；若直線不平行于平面且，則與相交，所以平面內不存在與平行的直線，故B選項正確；已知直線，平面，且，則直線平行或異面，C選項錯誤；兩條相交直線，且平面，則平面或與相交，D選項錯誤.故選：B5.已知為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象平移的規(guī)則，且為奇函數(shù)，得出函數(shù)圖象的對稱性，進而得出的值.【詳解】由函數(shù)圖象平移的規(guī)則可知：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位、向下平移個單位得到的，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，得：，即，故選：D.6.把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（）A.96種 B.60種 C.48種 D.36種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，結合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.【詳解】依題意，設這五個人分別為甲乙丙丁戊.第一步，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，第二步，將這個整體與丁戊全排列，有種安排方法，第三步，排好后產生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有種安排方法.則由分步乘法計數(shù)原理，不同的方案共有種.故選：D.7.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.有最小值25 B.有最大值25 C.有最小值50 D.有最大值50【答案】B【解析】【分析】由，利用等差數(shù)列的性質推出，再利用基本不等式計算即得.【詳解】由可得，因則等差數(shù)列的公差，故，則，當且僅當時取等號，即當時，取得最大值25.故選：B.8.已知函數(shù)，不存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別在條件下結合指數(shù)函數(shù)單調性及二次函數(shù)性質，確定函數(shù)的取值規(guī)律，由條件列不等式求的范圍，可得結論.【詳解】（1）當時，若，則，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，若，則，當且僅當時取等號，因為不存在最小值，所以，所以，（2）當時，若，則，因函數(shù)在上單調遞增，所以，若，則，當且僅當時取等號，因為不存在最小值，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結論正確的是（）A.，則B.C.的展開式的第6項的系數(shù)是D.的展開式中的系數(shù)為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質，解不等式判斷A，利用組合數(shù)的性質證明結論判斷B，根據(jù)二項式展開式的通項公式求第6項，確定其系數(shù)，判斷C，結合二項式展開式的通項公式及組合數(shù)性質求展開式中的系數(shù)，判斷D.【詳解】對于A，因為，由組合數(shù)性質可得或，A錯誤，對于B，，所以，B正確，對于C，展開式的第6項為，所以第6項的系數(shù)是，C錯誤，對于D，的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，所以的展開式中的系數(shù)為，D正確，故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的單調遞減區(qū)間為C.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到D.滿足條件的最小正整數(shù)為2【答案】ABD【解析】【分析】觀察函數(shù)圖象，確定函數(shù)的周期，由此可求，判斷A，再結合時，函數(shù)取最大值，列方程求，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性求的單調遞減區(qū)間，判斷B，根據(jù)函數(shù)圖象變換結論，判斷C，先求，化簡不等式可得范圍，解不等式確定的范圍，判斷D.【詳解】設函數(shù)的周期為，觀察函數(shù)圖象可得，，所以，又，所以，A正確，因為時，函數(shù)取最大值，，所以，，所以，故，由，可得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，B正確，函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，C錯誤，因為，所以，，所以可化為，所以或，由可得，，所以，即，取可得，取可得，由可得，，所以，即，取可得，所以滿足條件的最小正整數(shù)為2，D正確，故選：ABD11.如圖，四邊形是圓柱的軸截面且面積為2，四邊形繞逆時針旋轉到四邊形，則（）A.圓柱的側面積為B.當時，C.當時，四面體的外接球表面積最小值為D.當時，【答案】ABD【解析】【分析】設圓柱的底面半徑為，母線長為，由已知可得，結合圓柱的側面積公式判斷A，由條件，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，由此證明，判斷B，由條件求四面體的外接球的半徑，結合球的表面積公式和基本不等式求其最小值，判斷C，由條件利用表示，由此可得，解不等式求范圍，判斷D.【詳解】設圓柱的底面半徑為，母線長為，因為四邊形是圓柱的軸截面所以，因為四邊形的面積為2，所以，即所以圓柱的側面積，A正確，因為為圓的直徑，所以，又平面，平面，所以，又平面，，所以平面，平面，所以，B正確；因為，設四面體的外接球的半徑為，則，因為，，所以，所以，，所以，當且僅當時等號成立，所以四面體的外接球表面積最小值為，C錯誤，因為，，，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，又，所以，D正確，故選：ABD.【點睛】知識點點睛：本題考查圓柱的側面積的求法，線面垂直的判定定理，多面體的外接球問題，空間中兩點距離問題，屬于綜合題，綜合考查學生直觀想象能力，邏輯推理能力，要運算求解能力.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】分焦點在軸或軸上兩種情況，設出雙曲線方程，依題意，得到方程組，解之即得離心率.【詳解】當雙曲線焦點在軸上時，其方程為，依題有，方程組無解；當雙曲線的焦點在軸上時，其方程為，依題有，解得，則.故答案為：.13.已知角的終邊關于直線對稱，且，則的一組取值可以是______，______．【答案】①.②.（答案不唯一，符合，或，，即可）【解析】【分析】由條件角的終邊關于直線對稱可得，由可得，解方程求即可.【詳解】因為角的終邊關于直線對稱，所以，，又，所以或，，所以，或，，，取可得或所以的一組取值可以是，故答案為：，，（答案不唯一，符合，或，，即可）14.如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內，另一條直角邊長為且，若平面上存在點，使得的面積為，則線段長度的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質可得平面，利用線面垂直的性質可得，進而，由三角形的面積公式可得，即可求解.【詳解】在中，，則，又平面，平面平面，所以平面，連接，，所以，得，設（），則，即，得，當即即時，取到最小值1，此時取到最小值.故答案為：

【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵是利用勾股定理和三角形面積公式計算得到、，而，即為所求.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等差數(shù)列的公差不為零且數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設數(shù)列公差，由條件列出方程，求解后運用等差數(shù)列基本量運算即得；（2）求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)其形式結構進行拆項和裂項，利用分組求和法與裂項求和法即可求得.【小問1詳解】設數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，解得或，當時，；當時，所以數(shù)列的通項公式為或.【小問2詳解】因為等差數(shù)列的公差不為零，由（1）知，則，所以，即.16.某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復試，初試通過后，才能參加復試.為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.（1）若所有考生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，試利用正態(tài)分布估計所有考生中初試成績不低于85分的人數(shù)；（2）復試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復試成績.已知某考生進入復試，他在復試中，前兩題每題能答對的概率均為，后兩題每題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.規(guī)定復試成績上了20分（含20分）的考生能進入面試，請問該考生進入面試的概率有多大?附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則：，.【答案】（1）182人；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)估算公式求出樣本平均數(shù)，然后根據(jù)正態(tài)分布的性質求得概率，即可求解；（2）根據(jù)題意確定的取值，并求出對應的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可.【小問1詳解】由題意得，樣本平均數(shù)的估計值為，因為學生初試成績服從正態(tài)分布，其中則，所以，所以估計初試成績不低于85分的人數(shù)為人.【小問2詳解】記該考生的復試成績?yōu)椋瑒t能進入面試的復試成績?yōu)?0分，25分，30分，，，，所以該考生進入面試的概率為.17.已知四棱錐的底面是邊長為4的菱形，，，，是線段上的點，且．（1）證明：平面；（2）點在直線上，求與平面所成角最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連結，交于點，由條件證明，建立空間直角坐標系，利用向量方法證明，結合線面垂直判定定理證明結論；（2）根據(jù)線面角的向量求法求出與平面所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求線面角的最大值.【小問1詳解】連結，交于點，連，由，知，又平面又底面為菱形，所以以為坐標原點，，，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，邊長為4，則，在直角三角形中，所以所以點，則所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面，【小問2詳解】設，所以，故，所以平面的一個法向量是，設與平面所成角為，則當時，平面，；當時，，當且僅當時取等號，又所以，故與平面所成角的最大值為18.已知動圓過定點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．（1）已知、兩點的坐標分別為、，直線、的斜率分別為、，證明：；（2）若點、是軌跡上的兩個動點且，設線段的中點為，圓與動點的軌跡交于不同于的三點、、，求證：的重心的橫坐標為定值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先有兩點間距離公式求出圓心的軌跡方程，再由斜率的定義表示出斜率，利用軌跡方程化簡斜率之差即可證明；（2）先設直線的方程為，直曲聯(lián)立，用韋達定理表示出線段中點坐標進而得到的軌跡方程是，再與動圓的方程聯(lián)立，得到、、的橫坐標分別為，，，最后利用的展開式系數(shù)與相同，得到系數(shù)為零即可.【小問1詳解】設點，依題有，化簡并整理成，圓心的軌跡的方程為，，又，所以，所以.【小問2詳解】顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，由，消并整理成，在判別式大于零時，，又，所以，所以，，，所以線段的中點坐標為，設，則，消得，所以的軌跡方程是，圓過定點，設其方程為，由，得，設、、的橫坐標分別為，，，因為、、異于，所以，，都不為零，故的根為，，，令，即有，所以，故的重心的橫坐標為定值．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問關鍵是圓過定點，設其方程為，然后與的軌跡方程聯(lián)立，表示出重心橫坐標的方程，然后利用待定系數(shù)法求出結果.19.已知的三個角的對邊分別為且，點在邊上，是的角平分線，設（其中為正實數(shù)）．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)①當時，求函數(shù)的極小值；②設是的最大零點，試比較與1的大?。敬鸢浮浚?）（2）①0；②答案見解析.【解析】【分析】（1）方法一：設，由，結合三角形面積公式化簡可得，由此可求實數(shù)的取值范圍，方法二：由是的角平分線，結合面積公式證明，根據(jù)關系，結合余弦定理可得，結合三角形性質求的范圍，可得結論.（2）①方法一：由（1）方法一可得，結合條件求，結合余弦定理可得，方法二：由（1）方法二可得，由此可得，由此可得，求，再解方程，分區(qū)間判斷函數(shù)的單調性，結合極值定義求結論，②在時，解方程，求出函數(shù)零點，由此可