PAGEPAGE1單元質(zhì)檢卷九解析幾何(時間:100分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.(2024名校聯(lián)盟二模,4)“a=1”是“直線(2a+1)x+ay+1=0和直線ax-3y+3=0垂直”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.(2025屆河北武邑中學(xué)調(diào)研三,文7)雙曲線my2-x2=1的一個頂點(diǎn)在拋物線y=12x2的準(zhǔn)線上,則該雙曲線的離心率為(A.5 B.25 C.23 D.33.已知直線l:xa+yb=1(a>0,b>0)將圓C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,則直線A.8 B.4 C.2 D.14.(2024西藏自治區(qū)拉薩中學(xué)模擬,11)已知直線x-y+m=0與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),且△OAB為正三角形,則實(shí)數(shù)m的值為()A.32 B.C.32或-32 D.625.(2024廣東佛山七校聯(lián)考,5)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)AA.x23-y2=B.x2-y23C.x24-D.x2126.已知直線l:mx+y-1=0(m∈R)是圓C:x2+y2-4x+2y+1=0的對稱軸,過點(diǎn)A(-2,m)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|的值為()A.4 B.25 C.42 D.37.(2025屆湖南、湖北八市十二校一調(diào)聯(lián)考,9)已知點(diǎn)A(0,2),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,若|FM||MN|A.18 B.1C.2 D.48.已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若四邊形PACB面積的最小值是2,則k的值是()A.2 B.212C.2 D.229.(2024河北衡水二模,9)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線x2a-y2=1(a>1)與橢圓x2a+2+y2=1(a>1)的一個交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q(a+1A.a2 B.aC.1 D.110.(2024河北衡水中學(xué)第十七次模擬,10)若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是l,點(diǎn)M(4,m)是拋物線上一點(diǎn),則經(jīng)過點(diǎn)F,M且與l相切的圓共有()A.0個 B.1個 C.2個 D.4個11.(2024四川成都七中三診,11)已知雙曲線C:x2a2-4y2=1(a>0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于34,拋物線E:y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,則拋物線E上的動點(diǎn)M到直線l1:4x-3y+6=0和l2:A.1 B.2 C.3 D.412.(2024青海西寧二模,11)拋物線C1:y2=4x和圓C2:(x-1)2+y2=1,直線l經(jīng)過C1的焦點(diǎn)F,依次交C1,C2于A,B,C,D四點(diǎn),則AB·CD的值為(A.34 B.1 C.2 D.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知點(diǎn)A(1,0),B(3,0),若直線y=kx+1上存在點(diǎn)P,滿意PA⊥PB,則k的取值范圍是.

14.(2025屆河北衡水聯(lián)考,14)已知點(diǎn)P(-1,2)及圓(x-3)2+(y-4)2=4,一光線從點(diǎn)P動身,經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T,則|PQ|+|QT|的值為.

15.(2024河南南陽聯(lián)考,15)M是拋物線C:y2=4x上一點(diǎn),F是拋物線C的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)且|MF|=2,K是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),則∠MKO=.

16.(2024云南曲靖一中質(zhì)檢七,16)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個端點(diǎn)為P,直線l:x-2y=0交橢圓于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=2,點(diǎn)P三、解答題(本大題共5小題,共70分)17.(14分)(2025屆廣東廣州測試,20)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P,Q,滿意關(guān)于直線x+my+4=0對稱,又滿意OP·OQ=(1)求m的值;(2)求直線PQ的方程.18.(14分)(2025屆廣東湛江調(diào)研,20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=63,且右焦點(diǎn)為(22,0).斜率為1的直線l與橢圓C交于A,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求△PAB的面積.19.(14分)(2025屆四川成都棠湖中學(xué)模擬,20)如圖,已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在x軸上,拋物線上的點(diǎn)A到F的距離為2,且A的橫坐標(biāo)為1.過A點(diǎn)作拋物線C的兩條動弦AD,AE,且AD,AE的斜率滿意kAD·kAE=2.(1)求拋物線C的方程;(2)直線DE是否過某定點(diǎn)?若過某定點(diǎn),懇求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不過某定點(diǎn),請說明理由.20.(14分)(2024東北師范高校附中五模,20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)A(-2,0)作直線AQ交橢圓C于另外一點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,P為橢圓C上一點(diǎn),且AQ∥OP,求證:|AQ|21.(14分)(2025屆江西撫州七校聯(lián)考,20)已知圓M與直線3x-7y+4=0相切于點(diǎn)(1,7),圓心M在x軸上.(1)求圓M的方程;(2)過點(diǎn)M且不與x軸重合的直線l與圓M相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OB分別與直線x=8相交于C,D兩點(diǎn),記△OAB,△OCD的面積分別是S1,S2,求S1S參考答案單元質(zhì)檢卷九解析幾何1.A當(dāng)a=1時,直線(2a+1)x+ay+1=0的斜率為-3,直線ax-3y+3=0的斜率為13,兩直線垂直;當(dāng)a=0時,兩直線也垂直,所以“a=1”是“直線(2a+1)x+ay+1=0和直線ax-3y+3=2.A∵拋物線的方程為y=12x2,∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-12.∵雙曲線my2-x2=1的一個頂點(diǎn)在拋物線y=12x2的準(zhǔn)線上,∴雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,-12,∴a=12.又∵b=1,∴c=52,則雙曲線的離心率為c3.B圓C:x2+y2-2x-4y+4=0的圓心坐標(biāo)為(1,2),則1a+2b=1≥22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=4時,等號成立.∴直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=12ab≥4∴直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值是4,故選B.4.D由題意得,圓O:x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑r=1.因?yàn)椤鱋AB為正三角形,則圓心O到直線x-y+m=0的距離為32r=32,即d=|m|2=32,解得5.B雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),可得c=2,ba=3,即b2a2=3,c2-a2a6.A由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圓心C(2,-1),半徑r=2.由題意可得,直線l:mx+y-1=0經(jīng)過圓C的圓心(2,-1),∴2m-1-1=0,∴m=1,點(diǎn)A(-2,1).∵AC=20,CB=r=2,∴切線的長|AB|=20-4=7.C設(shè)Fp2,0,MK是點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離,點(diǎn)K是垂足.由拋物線定義可得|MK|=|MF|,因?yàn)閨FM||MN|=55,所以|MK||MN|=55,那么|KN|∶|KM|=2∶1,即直線8.C∵圓的方程為x2+(y-1)2=1,∴圓心C(0,1),半徑r=1.當(dāng)四邊形PACB的面積最小時,圓心C到點(diǎn)P的距離最小,最小值為圓心C到直線kx+y+4=0(k>0)的距離d,此時PA=PB=2.∴d=5=|1+4|1+k∵k>0,∴k=2.故選C.9.D由題意知兩曲線有相同的焦點(diǎn),設(shè)左右兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,依據(jù)雙曲線的定義得到|PF1|-|PF2|=2a,依據(jù)橢圓的定義得到|PF1|+|PF2|=2a+2聯(lián)立兩個式子得到|PF1|=a+2+a,|PF2|=a+2-a,由橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得|F1F2|=2所以Q與F2重合,由余弦定理得到cos∠F1PF2=2(2a+2)-4(a+1)則S△POQ=12S△PF1F2=12×12(a10.D因?yàn)辄c(diǎn)M(4,m)在拋物線y2=4x上,所以可求得m=±4.由于圓經(jīng)過焦點(diǎn)F且與準(zhǔn)線l相切,所以由拋物線的定義知圓心在拋物線上.又圓經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)M,所以圓心在線段FM的垂直平分線上,故圓心是線段FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn).結(jié)合圖形知對于點(diǎn)M(4,4)和(4,-4),線段FM的垂直平分線與拋物線都各有兩個交點(diǎn).所以滿意條件的圓有4個.故選D.11.B由雙曲線方程x2a2-4y2=1(a>0)可得,雙曲線的右頂點(diǎn)為(a,0),漸近線方程為y=±12ax,即x±2ay=0.∵雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于34,∴a1+4a2=34,解得a2=34,∴雙曲線的方程為4x23-4y2=1,∴雙曲線的焦點(diǎn)為(1,0).又拋物線E:y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,∴設(shè)點(diǎn)M到直線l1的距離為|MA|,到直線l2的距離為|MB|,則|MB|=|MF|,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.結(jié)合圖形可得當(dāng)A,M,F三點(diǎn)共線時,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離d=|4×1+6|4212.B拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),易知直線l存在斜率且不為0,設(shè)方程為y=k(x-1),聯(lián)立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得A1+2k2-2k2+1k2,聯(lián)立y=k(x-1),(x-1)2+y2=1,得(k2+1)(x-1)2=1,解得B則AB=-1k2+1-2k2+2k2+1k2,-kk2+1-2k+2k2+1k,CD=2k2+13.-43,0以AB為直徑圓的方程為(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得(1+k2)x2+(2k-4)x+∵直線y=kx+1上存在點(diǎn)P,滿意PA⊥PB,∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,化為3k2+4k≤0.解得-43≤k≤0,則k的取值范圍是-14.43點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P'(-1,-2),由反射的對稱性可知,直線P'Q與圓相切,|PQ|+|QT|=|P'T|,∵圓(x-3)2+(y-4)2=4的圓心坐標(biāo)為A(3,4),半徑r=2,∴|AP'|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,∴|PQ|+|QT|=|P'T|=|AP'|2-|AT15.45°由拋物線的對稱性不妨設(shè)M(x1,y1)(y1>0),則x1+1=2,得M(1,2),因?yàn)镵(-1,0),O(0,0),所以KM=(2,2),KO=(1,0),可得KM·KO=2,|KM|=22,|KO|=1.cos∠MKO=cos<KM,KO>=KM·KO|KM|·|KO|16.0,32設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F',連接AF',BF'(圖略),因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以|AF'|+|BF'|=|BF|+|AF|=2,則|AF'|+|AF|+|BF'|+|BF|=4,即2a=2,a=1,設(shè)P(0,b),因?yàn)辄c(diǎn)P到直線l的距離不小于55,所以|2b|5≥55,即b≥12,即c=1-b2≤317.解(1)x2+y2+2x-6y+1=0?(x+1)2+(y-3)2=9,所以曲線為以(-1,3)為圓心,3為半徑的圓,由已知,得直線過圓心,所以-1+3m+4=0,解之,得m=-1.(2)設(shè)直線PQ的方程為y=-x+b,聯(lián)立方程組x得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則有x1+x2=b-4,x1x2=b2又OP·OQ=0,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2-b(x1+x2)+b2=0,將x1+x2=b-4,x1x2=b2-6b+12代入上式得b2所以b=1,所以直線PQ的方程為y=-x+1.18.解(1)由已知得c=22,ca=63,解得a=2b2=a2-c2=4,∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212+y2(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程得4x2+6mx+3m2-12=0,①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)為E(x0,y0),則x0=x1+x22=-3m4,因?yàn)锳B是等腰三角形PAB的底邊,所以PE⊥AB.所以PE的斜率為k=2-m4-此時方程①為4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=32,此時,點(diǎn)P(-3,2)到直線AB:x-y+2=0的距離d=|-3-2+2所以△PAB的面積S=12|AB|·d=919.解(1)設(shè)拋物線方程為C:y2=2px(p>0),由其定義知|AF|=1+p2,又|AF|=所以p=2,y2=4x.(2)易知A(1,2),設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程為x=my+n(m≠0).把DE方程代入拋物線C,并整理得y2-4my-4n=0,Δ=16(m2+n)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.由kAD·kAE=y1-2x1-