PAGEPAGE91.2.1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，(4)f(x)＝eq\f(1,x)，(5)f(x)＝eq\r(x).問題1：函數(shù)f(x)＝x的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝eq\f(x＋Δx－x,Δx)＝1，∴當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→1，即x′＝1.問題2：函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\f(x－(x＋Δx),x(x＋Δx)Δx)＝－eq\f(1,x2＋x·Δx)，∴當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→－eq\f(1,x2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2).1．(kx＋b)′＝k(k，b為常數(shù))；2．C′＝0(C為常數(shù))；3．(x)′＝1；4．(x2)′＝2x；5．(x3)′＝3x2；6.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；7．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1．(xα)′＝αxα－1(α為常數(shù))；2．(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)；3．(logax)′＝eq\f(1,x)logae＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)；4．(ex)′＝ex；5．(lnx)′＝eq\f(1,x)；6．(sinx)′＝cos_x；7．(cosx)′＝－sin_x.函數(shù)f(x)＝logax的導(dǎo)數(shù)公式為f′(x)＝(logax)′＝eq\f(1,xlna)，當(dāng)a＝e時，上述公式就變形為(lnx)′＝eq\f(1,x)，即f(x)＝lnx是函數(shù)f(x)＝logax當(dāng)a＝e時的特殊狀況．類似地，還有f(x)＝ax與f(x)＝ex.eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P7])求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x8；(2)y＝eq\f(1,x3)；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝log2x.[思路點撥]解答本題可先將解析式化為基本初等函數(shù)，再利用公式求導(dǎo)．[精解詳析](1)y′＝(x8)′＝8x7；(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))′＝(x－3)′＝－3·x－4＝－eq\f(3,x4)；(3)y′＝(xeq\r(x))′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)·xeq\f(1,2)＝eq\f(3\r(x),2)；(4)y′＝(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2).[一點通]用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運算過程、降低運算難度．解題時應(yīng)依據(jù)所給函數(shù)的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，有時需將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，如根式、分式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)．1．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的導(dǎo)數(shù)是________．解析：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cosx，所以y′＝－sinx.答案：－sinx2．下列結(jié)論中不正確的是________．①若y＝3，則y′＝0；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3)；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq\f(1,2x\r(x))；④若y＝x，則y′＝1.解析：①正確；②sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，而(eq\f(\r(3),2))′＝0，不正確；對于③，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝(－x－eq\f(1,2))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2x\r(x))，正確；④正確．答案：②3．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)y＝10x；(2)y＝logeq\f(1,2)x；(3)y＝eq\r(4,x3)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.解：(1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(logeq\f(1,2)x)′＝eq\f(1,xln\f(1,2))＝－eq\f(1,xln2)；(3)∵y＝eq\r(4,x3)＝xeq\f(3,4)，∴y′＝(xeq\f(3,4))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(4)∵y＝(sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)[例2]求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(6,x5))在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．[思路點撥]先求導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值．[精解詳析]∵f(x)＝eq\f(1,\r(6,x5))＝x－eq\f(5,6)，∴f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,6)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))x－eq\f(11,6)，∴f′(1)＝－eq\f(5,6).[一點通]求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)須要先對原函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，最終將變量的值代入導(dǎo)函數(shù)便可求解．4．若函數(shù)f(x)＝eq\r(3,x)，則f′(1)＝________.解析：∵f′(x)＝(eq\r(3,x))′＝(xeq\f(1,3))′＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)，∴f′(1)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．若函數(shù)f(x)＝sinx，則f′(6π)＝________.解析：∵f′(x)＝(sinx)′＝cosx.∴f′(6π)＝cos6π＝1.答案：16．已知f(x)＝eq\f(1,\r(n,x))且f′(1)＝－eq\f(1,2)，求n.解：f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(n,x))))′＝(x－eq\f(1,n))′＝－eq\f(1,n)x－eq\f(1,n)－1＝－eq\f(1,n)x－eq\f(n＋1,n)，∴f′(1)＝－eq\f(1,n)，由f′(1)＝－eq\f(1,2)得－eq\f(1,n)＝－eq\f(1,2)，得n＝2.求切線方程[例3]已知曲線方程y＝x2，求：(1)曲線在點A(1,1)處的切線方程；(2)過點B(3,5)且與曲線相切的直線方程．[思路點撥](1)點A在曲線上，故干脆求導(dǎo)數(shù)，再求直線方程；(2)B點不在曲線上，故解答本題需先設(shè)出切點坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進而求出切點坐標(biāo)，得到切線的方程．[精解詳析](1)y′＝2x，當(dāng)x＝1時，y′＝2，故過點A(1,1)的切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)∵B(3,5)不在曲線y＝x2上，∴可設(shè)過B(3,5)與曲線y＝x2相切的直線與曲線的切點為(x0，y0)．∵y′＝2x，∴當(dāng)x＝x0時，y′＝2x0.故切線方程為y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．又∵直線過B(3,5)點，∴5－xeq\o\al(2,0)＝2x0(3－x0)．即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5.故切線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[一點通](1)求切線方程是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，有兩種狀況：①求曲線在點P處的切線方程，P為切點，在曲線上；②求過點P與曲線相切的直線方程，P不肯定為切點，不肯定在曲線上．(2)求曲線上某點(x0，y0)處的切線方程的步驟：①求出f′(x0)，即切線斜率；②寫出切線的點斜式方程；③化簡切線方程．(3)求過點P與曲線相切的直線方程的步驟：①設(shè)出切點坐標(biāo)為(x0，y0)；②寫出切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入點P的坐標(biāo)，求出方程．7．已知直線y＝x＋a與曲線y＝lnx相切，則a的值為________．解析：設(shè)切點為P(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，由題意得eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1，∴點P的坐標(biāo)為(1,0)，把點P的坐標(biāo)代入直線y＝x＋a，得a＝－1.答案：－18．求曲線y＝2x2－1的斜率為4的切線的方程．解：設(shè)切點為P(x0，y0)，y′＝4x，由題意知，當(dāng)x＝x0時，y′＝4x0＝4，所以x0＝1.當(dāng)x0＝1時，y0＝1，∴切點P的坐標(biāo)為(1,1)．故所求切線的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.1．對公式y(tǒng)＝xn的理解：(1)y＝xn中，x為自變量，n為常數(shù)；(2)它的導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)n與自變量的(n－1)次冪的乘積．公式中n∈Q，對n∈R也成立．2．在應(yīng)用正、余弦函數(shù)及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式時應(yīng)留意的問題：(1)對于公式(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，一要留意函數(shù)的改變，二要留意符號的改變．(2)對于公式(lnx)′＝eq\f(1,x)和(ex)′＝ex很好記，但對于公式(logax)′＝eq\f(1,x)logae和(ax)′＝axlna的記憶就較難，特殊是兩個常數(shù)logae與lna很簡單混淆．[對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(三)]一、填空題1．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，則α的值是________．解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4.答案：42．過曲線y＝eq\f(1,x)上一點P的切線的斜率為－4，則點P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P(x0，y0)，則f′(x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－4.所以x0＝±eq\f(1,2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，則適合方程f′(x)＋1＝g′(x)的x值為________．解析：由導(dǎo)數(shù)公式可知f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0.解之得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)4．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴l(xiāng)na＝－1，即a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)5．已知直線y＝kx是曲線y＝lnx的切線，則k的值等于________．解析：∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則切線方程為y－y0＝eq\f(1,x0)(x－x0)．即y＝eq\f(1,x0)x＋lnx0－1.由lnx0－1＝0，知x0＝e.∴k＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)二、解答題6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝lg2；(2)y＝2x；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解：(1)y′＝(lg2)′＝0；(2)y′＝(2x)′＝2xln2；(3)y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2)；(4)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.7．已知點P(－1,1)，點Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．解：∵y′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點為M(x0，y0)，則當(dāng)x＝x0時，y′＝2x0.又∵PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2)，所以切點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，∴所求的切線方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.8．求曲線y＝eq\f(1,x)和y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2))解得交點為(1,1)．∵y′＝