微專(zhuān)題(四)與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn)

方法一：利用角平分線(xiàn)性質(zhì)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形1.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，CE＝6，DE＝5，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，若DF＝4，則△ACD的面積為（

）A.20B.22C.24D.26B【方法歸納】1.過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)如圖①，點(diǎn)P在∠MON的平分線(xiàn)上，PA⊥OM，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥ON于點(diǎn)B.結(jié)論：AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，若AC＝7，AB＝3，則DE的長(zhǎng)為

.【解析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)H，證明△ADB≌△ADH，得BD＝HD，AH＝AB＝3，求出CH，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理計(jì)算即可.22.過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)如圖②，點(diǎn)P在∠MON的平分線(xiàn)上，若AP⊥OP，則延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B.結(jié)論：△AOB是等腰三角形，AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.

3.截長(zhǎng)補(bǔ)短情形1：已知點(diǎn)P是∠MON的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，A是射線(xiàn)OM上任意一點(diǎn)(截長(zhǎng)法).結(jié)論：△OPB≌△OPA.情形2：已知在△ABC中，AD平分∠BAC(補(bǔ)短法).結(jié)論：△AFD≌△ACD.

方法二：作平行線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形4.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，E是AC邊上的一點(diǎn)，連接DE，若∠BAC＝30°，∠CED＝120°，DE＝1，則AE的長(zhǎng)為

.【解析】過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AE于點(diǎn)F，易證AF＝DF，∠EDF＝90°，∠EFD＝30°.

5.如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AD＝2，BD平分∠ABC，則CD的長(zhǎng)為

.【解析】過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，易證BE＝DE，由△CED∽△CBA求解.4【方法歸納】1.過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作邊的平行線(xiàn)如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，過(guò)P作PQ∥OB交OA于點(diǎn)Q.結(jié)論：OQ＝PQ，△PQO是等腰三角形.2.過(guò)邊上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，D是OA上的一點(diǎn)，作DE∥OC交BO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.結(jié)論：OD＝OE，△EOD是等腰三角形.

B7.(2024·銀川模擬)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD＋∠CAD＝180°，那么∠DAC的度數(shù)為

.【解析】延長(zhǎng)BA和BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DG⊥AC于點(diǎn)G，判定AD為∠EAC的平分線(xiàn)，CD為∠ACF的平分線(xiàn)，即可得出∠DAC的度數(shù).52°

19.如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線(xiàn)上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D，且PD＝4，則OD的長(zhǎng)為

.

【解析】過(guò)點(diǎn)P作PC∥OB交OA于點(diǎn)C，PE⊥OA于點(diǎn)E，∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)，PD⊥OB，∴PE＝PD＝4,∵CP∥OB，∠AOB＝30°，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，在Rt△ECP中，PC＝2PE＝8.10.如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝80°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，求證：AC＝AB＋BD.證明：在AC上截取AE＝AB，連接DE，易得∠C＝40°，∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴△ABD≌△AED(SAS)，∴∠ADB＝∠ADE，BD＝DE，∵∠BAC＝60°，∠B＝80°，∴∠ADE＝∠ADB＝∠CAD＋∠C＝