13/132.1曲線與方程2.1.1曲線與方程（楊軍君）一、教學目標（一）學習目標1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系；2.初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；3.學會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法.（二）學習重點“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.（三）學習難點怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程.二、教學設計（一）預習任務設計1.預習任務（1）讀一讀：閱讀教材第34頁至第35頁.（2）想一想：什么是曲線的方程與方程的曲線？（3）寫一寫：以前學習過的直線的方程與圓的方程.2.預習自測1.如果曲線上的點的坐標滿足方程，則下面說法正確的是（）A.曲線的方程是B.方程的曲線是C.坐標不滿足方程的點不在曲線上D.坐標滿足的點在曲線上【知識點】曲線的方程與方程的曲線.【解題過程】利用曲線與方程的關系判斷，條件中曲線上的點的坐標都是方程的解，滿足了曲線和方程的概念條件，而且闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，故C正確.【思路點撥】有關曲線方程與方程曲線應正確理解概念的兩方面內(nèi)容.【答案】C（二）課堂設計1.新知講解探究一結合實例，認識曲線與方程●活動①歸納提煉概念在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關系：在平面直角坐標系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程來表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線.引例1：作出方程x-y=0表示的直線.借助多媒體讓學生再一次從直觀上深刻體會：必須同時滿足：（1）直線上的點的坐標都是方程的解和（2）以這個方程的解為坐標的點都是直線上的點，即方程的解的集合與直線上所有點的集合之間建立了一一對應關系，那么直線（圖形）方程（數(shù)量）變式：作出函數(shù)的圖象.類比方程與如圖所示的拋物線.這條拋物線是否與這個二元方程也能建立這種對應關系呢？（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推廣：那么對任意的曲線和二元方程是否都能建立這種等價關系呢？現(xiàn)在請同學們思考這樣的問題：【設計意圖】培養(yǎng)學生由特殊到一般的解決問題的方法，以及歸納概括的能力.方程F(x,y)=0的解與曲線C上的點的坐標具備怎樣的關系，就能用方程F(x,y)=0表示曲線C，同時曲線C也表示著方程F(x,y)=0,為什么要具備這些條件？引例2：用下列方程表示如圖所示的曲線C，對嗎？為什么？（1）（2）（3）方程（1），（2），（3）都不是表示曲線C的方程.第（1）題中曲線C上的點不全是方程的解.例如點A(-2,-2)，等，即不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”這一結論；第（2）題中，盡管“曲線上的點的坐標都是方程的解”，但是以方程的解為坐標的點卻不全在曲線C上.例如D(2,-2)、等，即不符合“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”這一結論；第（3）題中，則既有以方程的解坐標的點，如G(-3,3)、等不在曲線C上，又有曲線C上的點，如M(-3,-3)、N(-1,-1)等的坐標不是方程的解.事實上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲線應該是如圖所示的三種情況.上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例1；又觀察、分析了例2中所出現(xiàn)的方程與曲線間所建立的不完整的對立關系.假如我們把例1這種能完整地表示曲線的方程稱為“曲線的方程”的話，我們完全有條件自己給“曲線的方程”下個定義了.在下定義時，針對例2（1）中“曲線上混有其坐標不是方程的解的點”，以及（2）中“以方程的解為坐標的點不在曲線上”的情況，對“曲線的方程”應作何規(guī)定？為了不使曲線上混有其坐標不是方程的解的點，必須規(guī)定“曲線上的點的坐標都是方程的解”；為了防止以方程的解為坐標的點不在曲線上，必須規(guī)定“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”這樣我們可以對“曲線的方程”、“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關系：（1）曲線上的點的坐標都是方程的解；（純粹性）（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.大家熟知，曲線可以看作是由點組成的集合，記作C；一個二元方程的解可以作為點的坐標，因此二元方程的解集也描述了一個點集，記作F.請大家思考：如何用集合C和F間的關系來表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關系？進而重新認識“曲線的方程”和“方程的曲線”定義.關系（1）指點集C是點集F的子集；關系（2）指點集F是點集C的子集.這樣，根據(jù)集合的性質(zhì)，我們可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線”，即探究二判斷曲線的方程例1證明與兩條坐標軸的距離之積是常數(shù)k(k>0)的點的軌跡方程是.【知識點】曲線的方程.【解題過程】（1）設是軌跡上的任意一點，因為點M與x軸的距離為，與y軸的距離為，所以即是方程的解.（2）設的坐標是方程的解，那么即.而正是點到x軸，y軸的距離，因此點到兩條直線的距離的積是常數(shù)k，點是曲線上的點.由（1）（2）可知，是與兩條坐標軸的距離之積是常數(shù)k(k>0)的點的軌跡方程.【思維點撥】先結合已知條件求解方程，然后運用定義證明.例2分析下列曲線上的點與相應方程的關系：（1）過點A(2,0)平行于y軸的直線與方程之間的關系；（2）與兩坐標軸的距離的積等于5的點與方程xy=5之間的關系.【知識點】曲線的方程與方程的曲線的概念.【解題過程】（1）過點A(2,0)平行于y軸的直線上的點的坐標都是方程的解，但以方程的解的坐標的點不都在過點A(2,0)且平行于y軸的直線上，因此，不是過點A(2,0)平行于y軸的直線方程.（2）與兩坐標軸的距離的積等于5的點的坐標不一定滿足方程xy=5，如(x,y)=(-1,5)，但以方程xy=5的解為坐標的點與兩坐標軸的距離之積一定等于5，因此，與兩坐標軸的距離的積等于5的點的軌跡方程不是xy=5.【思維點撥】定義中的兩個條件缺一不可，是不可分割的.同類練習已知方程的曲線經(jīng)過點和，求的值.【知識點】曲線的方程與方程的曲線的概念.【解題過程】曲線過點A、B，則A、B點的坐標為方程的解，故有，解得：.【思維點撥】根據(jù)曲線的方程定義可知：曲線上的點都是方程的解，從而可以建立方程求解a,b.例3.指出下列方程表示的曲線分別是什么？（1）；（2）；（3）；【知識點】本題考查如何理解方程表示的曲線.【解題過程】（1）表示的曲線為過（2，0）且平行于y軸的直線；（2）因為故方程表示的曲線為一條射線和一條直線.（3）因為故方程表示的曲線為一條射線（除去端點）和一條直線.【思路點撥】根據(jù)曲線方程的定義進行分析時，要保證所求得曲線的純粹性和完備性.我們所說的曲線是指廣義的曲線，它可以是一般的曲線，也可以是直線、線段，甚至是一個點.對于表達式要通過合理的變形化簡得到.3.課堂總結知識梳理在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關系：（1）曲線上的點的坐標都是方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.重難點歸納（1）定義中的兩個條件缺一不可，曲線的方程與方程的曲線這兩個概念是同時成立的.（2）從充要條件的角度理解，即“某點在曲線上”與“點的坐標滿足曲線的方程”之間是互為充要條件的.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．方程(2x－y＋2)eq\r(x2＋y2－1)＝0表示的曲線是（）A．一個點與一條直線 B．兩條射線和一個圓C．兩個點 D．兩個點或一條直線或一個圓【知識點】曲線的方程.【解題過程】原方程等價于x2＋y2－1＝0，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0,x2＋y2－1≥0))，故選B.【思路點撥】觀察等式左邊等于零的條件即可.【答案】B2．如圖，曲線的方程與圖中曲線對應正確的是（）【知識點】方程的曲線.【解題過程】A中方程x2＋y2＝1表示的是以(0,0)為圓心，1為半徑的圓，故A錯；B中方程x2－y2＝0可化為(x－y)(x＋y)＝0，表示兩條直線x－y＝0，x＋y＝0，故B錯；C中方程lgx＋lgy＝1可化得y＝eq\f(1,x)(x>0)，此方程只表示第一象限的部分，故C錯．【思路點撥】注意限制條件即可.【答案】D3．若方程x－2y－2k＝0與2x－y－k＝0所表示的兩條直線的交點在方程x2＋y2＝9的曲線上，則k等于（）A．±3 B．0C．±2 D．一切實數(shù)【知識點】曲線的方程.【解題過程】兩直線的交點為(0，－k)，由已知點(0，－k)在曲線x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.【思路點撥】直接求解即可.【答案】A4．在直角坐標系中，方程|x|·y＝1的曲線是（）【知識點】方程的曲線.【解題過程】方程等價于，故方程的曲線為B.【思路點撥】將方程等價變形再判斷.【答案】B5．方程y＝eq\r(x2－2x＋1)所表示的圖形是________．【知識點】曲線的方程.【解題過程】原方程等價于y＝|x－1|?x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)．【思路點撥】整理求解即可.【答案】兩條射線x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)6．給出下列結論：①方程eq\f(y,x－2)＝1表示斜率為1，在y軸上的截距為-2的直線；②到x軸距離為2的點的軌跡方程為y＝-2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四個點．正確的結論的序號是________．【知識點】曲線的方程.【解題過程】方程eq\f(y,x－2)＝1表示斜率為1，在y軸上的截距為－2的直線且摳除點(2,0)，故①錯；到x軸距離為2的點的軌跡方程為y＝－2或y＝2，故②錯；方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示點(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正確．【思路點撥】逐個考慮即可.【答案】③能力型師生共研1．動點P到定點(1,0)和定直線x＝3的距離之和為4，則點P的軌跡方程為（）A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．若x≥3，則y2＝4x；若x<3，則y2＝－12(x－4)D．若x≤3，則y2＝4x；若x>3，則y2＝－12(x－4)【知識點】曲線的方程.【解題過程】設P(x，y)，由題意得.若x≤3，則y2＝4x；若x>3，則y2＝－12(x－4)，故選D.【思路點撥】設P點代入求解即可.【答案】D2．設圓M的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝2，直線l的方程為x＋y－3＝0，點P的坐標為(2,1)，那么（）A．點P在直線l上，但不在圓M上B．點P在圓M上，但不在直線l上C．點P既在圓M上，也在直線l上D．點P既不在圓M上，也不在直線l上【知識點】曲線的方程.【解題過程】將P(2,1)代入圓M和直線l的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴點P(1,2)既在圓(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直線l：x＋y－3＝0上，故選C.【思路點撥】將P點代入求解即可.【答案】C探究型多維突破1．已知直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝eq\r(1－x2)有兩個公共點，求b的取值范圍．【知識點】方程的曲線.【解題過程】解法一：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,y＝\r(1－x2)(y≥0).))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＋y2＝1(y≥0).))消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．l與C有兩個公共點，等價于此方程有兩個不等的非負實數(shù)解，可得解得1≤b<eq\r(2).解法二：在同一直線坐標系內(nèi)作出y＝x＋b與y＝eq\r(1－x2)的圖形，如圖所示，易得b的范圍為1≤b<eq\r(2).【思路點撥】由幾何關系求解即可.【答案】見解析2．畫出方程(x＋y－1)eq\r(x－y－2)＝0所表示的曲線．【知識點】方程的曲線.【解題過程】方程(x＋y－1)eq\r(x－y－2)＝0可等價變形為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))或x－y－2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x≥\f(3,2).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))表示射線x＋y－1＝0(x≥eq\f(3,2))．∴原方程表示射線x＋y－1＝0(x≥eq\f(3,2))和直線x－y－2＝0，如下圖所示．【思路點撥】化簡后作圖即可.【答案】見解析自助餐1．方程x2＋xy＝x所表示的圖形是（）A．一個點 B．一條直線C．兩條直線 D．一個點和一條直線【知識點】方程的曲線.【解題過程】原方程等價于x(x＋y－1)＝0?x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的圖形是兩條直線．【思路點撥】整理求解即可.【答案】C2．若曲線y＝x2－x＋2和y＝x＋m有兩個交點，則（）A．m∈R B．m∈(－∞，1)C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)【知識點】方程的曲線.【解題過程】兩方程聯(lián)立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.【思路點撥】聯(lián)立求解即可.【答案】D3．動點在曲線x2＋y2＝1上移動時，它和定點B(3,0)連線的中點P的軌跡方程是（）A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋eq\f(3,2))2＋y2＝1【知識點】方程的曲線.【解題過程】設