第頁，共頁南寧市第三十三中學(xué)2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高一3月月考數(shù)學(xué)（時間120分鐘，共150分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求）1.已知，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B2.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得，故選：D.3.梯形（如圖）是一水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測），若軸，軸，，則平面圖形的面積是（）A.20 B.10 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖和原平面圖形的關(guān)系，進行還原即可得解.【詳解】根據(jù)題意還原成平面圖形，則為直角梯形，，，，所以面積為.故選：A4.已知向量滿足，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運算法則，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.故選：C.5.某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則燈塔與處之間的距離是（）nmileA. B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】先中，利用正弦定理求得AD，再在中，利用余弦定理求解.【詳解】在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.故選：D.6.已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若的面積為，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式及余弦定理求出，得出即可得解.【詳解】由三角形面積公式可得，即，由，可得，所以.故選：A7.已知的外接圓的圓心為，且，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，O為的外接圓的圓心，得到是以BC為斜邊的直角三角形，再由，得到，利用投影向量的定義求解.【詳解】解：如圖所示：因為，所以O(shè)為BC的中點，又O為的外接圓的圓心，所以是以BC為斜邊的直角三角形，又因為，所以，設(shè)，則，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B8.已知三點共線，不共線且在線段上（不含端點），若，則的最小值為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】依題意，，則，又，于是，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以時，取得最小值.故選：C二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分．有選錯的得0分）9.下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（）A.正四棱柱都是長方體B.兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C.棱臺的側(cè)面都是梯形D.以等腰梯形的一條腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺【答案】AC【解析】【分析】本題需要根據(jù)正四棱柱、長方體、棱柱、棱臺、圓臺的定義和性質(zhì)，對每個選項逐一進行分析判斷.【詳解】對于選項，正四棱柱是底面為正方形的直棱柱，而長方體是底面為矩形的直棱柱.因為正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱滿足長方體的定義，正四棱柱都是長方體，選項正確.對于選項，兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱.比如兩個底面全等的斜棱柱拼接在一起的多面體，雖然滿足兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，但它不是棱柱，選項錯誤.對于選項，棱臺是用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分.棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點，所以棱臺的側(cè)面都是梯形，選項正確.對于選項，若以等腰梯形的一條斜腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體不是圓臺，是一個圓錐和一個圓臺并挖去一個圓錐的組合體.選項錯誤.故選：AC.10.已知，則（）A. B.C.與的夾角余弦值為 D.向量在向量方向上的投影向量坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示，逐項求解判斷.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，，，，則，C正確；對于D，向量在向量方向上的投影向量，D正確.故選：ACD11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)D.若方程在上有且只有6個根，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圖象得到再由得到，然后由的圖象過點求得解析式后逐項判斷.【詳解】由圖象得，，而，則，由的圖象過點，得，解得，而的周期有，即，解得，因此，A正確；，不是最值，B錯誤；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的新函數(shù)是：，非奇非偶函數(shù)，C錯誤；顯然，若方程在上有且只有6個根，則，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，若，則________.【答案】1【解析】分析】根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程求即可.【詳解】因為，，，所以，所以故答案為：.13.底面邊長為的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為__________.【答案】56【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合棱錐的體積公式計算即得.【詳解】由，截去的正四棱錐的高為3，得原正四棱錐的高為6，因此原正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.故答案為：5614.已知圓柱的下底面圓的內(nèi)接正三角形的邊長為3，為圓柱上底面圓上任意一點，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的體積___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，由正三角形性質(zhì)求出圓柱底面圓半徑，利用錐體體積公式求出圓柱的高，再利用圓柱及外接球的結(jié)構(gòu)特征求出球半徑即可.【詳解】由圓的內(nèi)接正的邊長為3，得圓的半徑，，三棱錐的高即圓柱的高，由，解得，圓柱的兩底面圓是其外接球的兩個截面小圓，由這兩個截面小圓平行且全等，得該球球心到截面小圓距離，則球半徑，所以圓柱的外接球的體積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知平面直角坐標(biāo)系中，向量.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行及向量的模建立方程求解；（2）根據(jù)向量夾角為銳角建立不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)，由題意知，因為，所以，又因為，所以，所以或.【小問2詳解】由題意，則，當(dāng)與共線時，，因為與的夾角為銳角，所以，解得，且，所以與的夾角為銳角，實數(shù)的取值范圍為.16.已知中三個內(nèi)角所對的邊為，且.（1）若，求的值；（2）若時，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理求得，得到，再由，即可求解；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.【小問1詳解】解：在中，由正弦定理，可得，因為，可得，所以，又由，所以.【小問2詳解】解：因為，又因為，可得，所以，由余弦定理得，所以，即，因為，所以，所以，所以的周長為.17.如圖，在中，，是的中點，點滿足，與交于點．（1）設(shè)，求實數(shù)的值；（2）設(shè)是上一點，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，得到，，利用平面向量基本定量得到，即可求解；（2）根據(jù)條件，得到，再利用（1）結(jié)果，可得，代入數(shù)據(jù)化簡得到答案.【小問1詳解】設(shè)，，因為，故，整理得，又，即，則①，設(shè)，，又是的中點，所以②，聯(lián)立①②，據(jù)平面向量其本定理得，解得，，所以實數(shù)的值為.【小問2詳解】因為，又，則，得到，由（1）知，又，則.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在，上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍，并計算的值．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換公式化簡，利用正弦函數(shù)的周期公式和正弦函數(shù)的遞增區(qū)間可求得結(jié)果.（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象與直線有兩個不同的交點，作出圖象，根據(jù)圖象可得的范圍，根據(jù)對稱性可得，進而可求出其正切值.【小問1詳解】函數(shù)，所以的周期；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】函數(shù)在上有兩個不同的零點，等價于函數(shù)在上的圖象與直線的兩個不同交點的橫坐標(biāo)為，畫出函數(shù)在上的圖象，如圖，觀察圖象，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)在上的圖象與直線的兩個不同的交點，則，所以.19.法國偉大軍事家、政治家拿破侖一生鐘愛數(shù)學(xué)，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意的三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其中心分別為D，E，F(xiàn).（1）求角A；（2）若，且的周長為9，求；（3）若的面積為，求的角平分線的取值范圍.【答案】（1）；（2）9；（3）.【解析】【分析】（1）由已知，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦公式計算得解.（2）則（1）的結(jié)論，利用余弦定理求出，再利用數(shù)量積的定義計算即得.（3）由（2）中信息，利用三角形面積公式求出，再求出的范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求出范圍.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，又，則，又，于是即，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，由正的周