專題13三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。【模型背景】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分別是邊AB、BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值為．例2．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點．（1）°；（2）的最小值為．

例3．（2023·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為A．4 B．5 C． D．例4．（2023.綿陽市八年級期中）P是正方形對角線上一點，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為。例5．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

例6．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，則的最小值是．

例7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

例8．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當(dāng)取最小值時，的最小值是．

例9．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣GE的值最小，求出點G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；課后專項訓(xùn)練1．（2023·新疆·九年級期中）如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點D是線段AC上任意一點（不含端點），則ODCD的最小值為_____．2．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，，邊長為3，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點，那么的最小值等于______．4．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.6．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┮阎诘妊校?，，，點是直線上一點，連接，在的右側(cè)做等腰，其中，，連接，則的最小值為（用含的代數(shù)式表示）．

7．（2023·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，點是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則()的最小值是____________．8．（2023·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，E是上一個動點，連接，過點C作的垂線l，過點D作交l于點F，過點D作于點G，，點H是中點，連接，則的最小值為．9．（2023·山東濟寧·校考模擬預(yù)測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關(guān)于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發(fā)，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當(dāng)點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．10．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）【定義】斜率，表示一條直線相對于橫軸的傾斜程度．當(dāng)直線l的斜率存在時，對于一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0），k即為該函數(shù)圖象（直線）的斜率．當(dāng)直線過點（x1，y1）、（x2，y2）時，斜率k＝，特別的，若兩條直線l1⊥l2，則它們的斜率之積k1?k2＝﹣1，反過來，若兩條直線的斜率之積k1?k2＝﹣1，則直線l1⊥l2【運用】請根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）已知平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率為2的同一條直線上，求m、n的值；（2）在（1）的條件下，點P為y軸上一個動點，當(dāng)∠APC為直角時，求點P的坐標(biāo)；（3）在平面直角坐標(biāo)系中另有兩點D（3，2）、E（﹣1，﹣6），連接DA并延長至點G，使DA＝AG，連接GE交直線AB于點F，M為線段FA上的一個動點，求DM＋MF的最小值．11.（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）證明：CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當(dāng)CD＋OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．12．（2021·四川達州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點和，交軸于點，拋物線的對稱軸交軸于點，交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點，在拋物線上是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；13．（2023·廣東·東莞市三模）已知，如圖，二次函數(shù)圖像交軸于，交交軸于點，是拋物線的頂點，對稱軸經(jīng)過軸上的點．（1）求二次函數(shù)關(guān)系式；（2）對稱軸與交于點，點為對稱軸上一動點．①求的最小值及取得最小值時點的坐標(biāo)；②在①的條件下，把沿著軸向右平移個單位長度時，設(shè)與重疊部分面積記為，求與之間的函數(shù)表達式，并求出的最大值．14．（2023.重慶九年級月考）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線AE：與拋物線相交于另一點E，點D為拋物線的頂點．（1）求直線BC的解析式及點E的坐標(biāo)；（2）如圖2，直線AE上方的拋物線上有一點P，過點P作PF⊥BC于點F，過點P作平行于軸的直線交直線BC于點G，當(dāng)△PFG周長最大時，在軸上找一點M，在AE上找一點N，使得值最小，請求出此時N點的坐標(biāo)及的最小值；15．（2023上·重慶·八年級校考期中）在等邊中，點D為邊上一點，連接．(1)如圖1，若，求的長；(2)如圖2，將線段繞A點順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連接，交于點F，求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，若點D為直線上一點，過點E作于點G，，連接