主要內(nèi)容：

隨機型時間序列預測概述隨機型時間序列基本模型

ARMA模型的相關分析模型的識別ARMA序列的參數(shù)估計模型的檢驗與預報

隨機型時間序列分析方法

知識點1：隨機型時間序列預測概述一、引例 ——7個不同類型的時間序列實例二、時間序列三種基本類型 ——平穩(wěn)、非平穩(wěn)、季節(jié)三、時間序列的幾個基本概念 ——隨機時間序列、平穩(wěn)序列、白噪聲序列四、隨機型時間序列的基本模型 ——ARMA模型、求和自回歸模型、季節(jié)性模型五、隨機型時間序列預測方法的基本思想4.1隨機型時間序列模型現(xiàn)實生活中，時間序列廣泛存在于各個領域。在農(nóng)業(yè)領域，我們觀測全球糧食的產(chǎn)量與全球的糧食消費量等。一、引例1-農(nóng)業(yè)圖4.1全球糧食的供給與消費時序圖

在社會領域，我們研究年度出生率、死亡率、事故發(fā)生率和各種犯罪率等。圖4.2中國人口的出生率、死亡率和自然增長率變化時序圖一、引例2-社會領域

在商業(yè)和經(jīng)濟領域，我們觀測股票的日收盤價格、周利息率、月價格指數(shù)、季銷售額和年利潤等。圖4.3深圳成指及成交量時序圖一、引例3-商業(yè)和經(jīng)濟領域

在醫(yī)學領域，我們測量腦電圖和心電圖，追蹤、計算某種疾病的發(fā)病率等。圖4.4疾病發(fā)病率時序圖一、引例4-醫(yī)學領域

在工程領域，我們觀測聲音、電信號和電壓等。圖4.5信號采樣點時序圖一、引例5-工程領域在地球物理領域，我們記錄洋流，一個地區(qū)的海浪和地球噪音等。圖4.6海浪信號時序圖一、引例6-地球物流領域

在氣象領域，我們觀測每小時風速、每日溫度和年降雨量等。圖4.7月平均溫度時序圖一、引例7-氣象領域

如此眾多的時間序列，可將其歸為三類：平穩(wěn)時間序列、非平穩(wěn)時間序列及季節(jié)性時間序列。圖4.8卡車裝配線末端每輛卡車的平均故障數(shù)時序圖圖4.8所示某年11月4日到1月10日卡車生產(chǎn)車間裝配線末端檢驗出的每輛卡車的平均故障數(shù)時序圖（平穩(wěn)時間序列）二、時間序列的三種基本類型——平穩(wěn)時間序列圖4.9美國1871-1984年煙草生產(chǎn)量的年度數(shù)據(jù)時序圖圖4.9所示美國1871年—1984年煙草生產(chǎn)量時序圖（非平穩(wěn)時間序列）二、時間序列的三種基本類型——非平穩(wěn)時間序列圖4.10所示某地1935-1945年月平均氣溫時序圖（季節(jié)性時間序列）。圖4.10某地1935-1945年月平均氣溫時序圖二、時間序列的三種基本類型——季節(jié)性時間序列隨機時間序列是指這里對每個n，Xn都是一個隨機變量。以下簡稱為時間序列。例1在統(tǒng)計研究中，常用按時間順序排列的一組隨機變量來表示一個隨機事件的時間序列，簡記為比如把北京市城鎮(zhèn)居民1990-1999年每年的消費支出按照時間順序記錄下來，就構(gòu)成了一個序列長度為10的消費支出（樣本）時間序列（單位：億元）：1686，1925，2356，3027，3891，4874，5430，5796，6217，6796三、時間序列的幾個基本概念——時間序列定義4.1時間序列稱為平穩(wěn)的，如果它滿足：

（1）對任一，，是與無關的常數(shù)；

（2）對任意的和，

其中和無關。稱為時間序列的自協(xié)方差函數(shù)；

稱為自相關函數(shù)。三、時間序列的幾個基本概念——平穩(wěn)序列平穩(wěn)性定義中的兩條，指時間序列的均值和自協(xié)方差函數(shù)不隨時間的變化而變化。顯然，不失一般性，對一個平穩(wěn)時間序列，假設其均值為零。若不然，運用零均值化方法對序列進行一次平移變換，是一個零均值的平穩(wěn)序列。三、時間序列的幾個基本概念——平穩(wěn)序列定義4.2

白噪聲序列即序列的均值為0，方差為，且互不相關。三、時間序列的幾個基本概念——白噪聲序列白噪聲序列是一種特殊的平穩(wěn)序列。四、隨機型時間序列基本模型本課程討論隨機型時間序列的幾種常用模型。從實用觀點來看，這些模型能夠表征任何模式的時間序列數(shù)據(jù)。這幾類模型是：1)自回歸(AR)模型；2)移動平均(MA)模型；4)求和自回歸移動平均(ARIMA)模型；5)季節(jié)性模型3)自回歸移動平均(ARMA)模型；隨機型時間序列預測方法的基本思想可以分為四個階段：

第一階段：根據(jù)建模的目的和數(shù)據(jù)模式，確定模型的基本類型。第二階段：進行模型識別，即從一大類模型中選擇出一類試驗模型。第三階段：將所選擇的模型應用于所取得的歷史數(shù)據(jù)，求得模型的參數(shù)。第四階段：檢驗得到的模型是否合適。若合適，則可以用于預測或控制；若不合適，則返回到第二階段重新選擇模型。五、隨機型時間序列預測方法的基本思想

圖4.11時間序列分析建模流程合適不合適確定基本模型形式模型識別(選擇一個試驗性模型)參數(shù)估計(估計試驗性模型參數(shù))診斷檢驗利用模型預測五、隨機型時間序列預測方法的基本思想小結(jié)：時間序列預測概述時間序列三種基本類型 ——平穩(wěn)、非平穩(wěn)、季節(jié)時間序列的幾個基本概念 ——隨機時間序列、平穩(wěn)序列、白噪聲序列隨機型時間序列的基本模型 ——ARMA模型、求和自回歸模型、季節(jié)性模型隨機型時間序列預測方法的基本思想知識點1

隨機性時間序列分析方法概述知識點2時間序列的基本模型知識點3

AR模型的相關分析知識點4

MA模型的相關分析知識點5

ARMA模型的相關分析知識點6

時間序列模型的識別知識點7

時間序列模型的參數(shù)估計知識點8

時間序列模型的檢驗4.1隨機型時間序列模型

若是獨立的，相互間沒有任何依賴關系，其統(tǒng)計規(guī)律就是事物獨立地隨機變動。若隨機變量之間有一定的依存性，最簡單的，與相關，其中是白噪聲序列，即（如一個患者服藥）知識點2：時間序列的基本模型自回歸模型(AutoRegressivemodel)的形式為：式中，為模型參數(shù)；為“因變量”，為“自”變量。是白噪聲序列，即假定即隨機影響與數(shù)據(jù)值無關。AR(p)反映了系統(tǒng)對自身過去狀態(tài)的記憶一、自回歸（AR）模型令AR()

模型可寫為如：一階模型二階模型注：稱為向后推移算子由模型AR(

)知，如果：（1）能夠證明AR()的確是恰當?shù)姆匠?；?）能夠確定的數(shù)值；（3）能夠確定模型參數(shù)那么，在AR(

)模型表達式中去掉隨機影響項后就得到預測公式由此進行預測就很容易了。對于AR系統(tǒng)，系統(tǒng)在n時刻的響應

僅與其以前時刻的響應有關，而與其以前時刻進入系統(tǒng)的擾動無關。而若系統(tǒng)與其以前時刻的響應無關，而與進入系統(tǒng)的擾動存在一定的相關關系，那么這類系統(tǒng)為移動平均(MA）系統(tǒng)。二、移動平均（MA）模型其中

是白噪聲序列。MA(

)記MA(

)模型可寫成反映了系統(tǒng)對過去時刻進入系統(tǒng)的噪聲的記憶如：一階模型二階模型例2.1一個關于產(chǎn)科醫(yī)院的例子。設是第t天新住院的病員人數(shù)，且假設這個病員的人數(shù)構(gòu)成的序列是白噪聲序列。則某一天的住院病員人數(shù)與第二天的病員住院人數(shù)是無關的。再假設典型的情形：10％的病人住院一天，50％的病人住院兩天，30％的病人住院三天，10％的病人住院四天。則第t天住院的病員人數(shù)

被引入了的表達式中。這樣，它不僅直接影響到的值，并且對所有將來值都產(chǎn)生影響。AR(p)序列與MA(q)序列的差異：從對序列的影響來看，對AR(p)

序列（當前值）=自身過去值的線性組合+（當前值）

僅對

個的將來值產(chǎn)生影響。對MA(q)序列（當前值）=有限個過去值的線性組合+（當前值）三、自回歸移動平均（ARMA）模型在建立一個實際時間序列模型時，可能既有自回歸部分，又有移動平均部分，如：階的自回歸移動平均模型

反映了系統(tǒng)對自身過去狀態(tài)及各時刻進入系統(tǒng)的噪聲的記憶如：ARMA(1,1)ARMA(2,1)AR(

)MA()實際應用中、的值很少超過3。對ARMA(,)模型，總假定和（作為變量為

的多項式）無公共因子。四、ARMA模型的平穩(wěn)與可逆性條件本段討論上述三種模型參數(shù)的有關約束條件，即自回歸模型的平穩(wěn)性條件和移動平均模型的可逆性條件。1.AR(p)模型的平穩(wěn)性條件如平方并取數(shù)學期望若平穩(wěn)，的根在單位圓外。定義稱多項式方程為模型的特征方程，它的個根稱為模型的特征根。如果這

個特征根都在單位圓外，即，則稱模型

是穩(wěn)定的或平穩(wěn)的。稱上式為平穩(wěn)性條件。1.AR(p)

模型的平穩(wěn)性條件Note穩(wěn)定的AR()

模型有一些很好的性質(zhì)。如1）保證了的存在，從而，2)模型參數(shù)可以由相關函數(shù)惟一確定。例2.2求穩(wěn)定域及逆算子。穩(wěn)定域：穩(wěn)定域：設

可負向趨于無窮，且有界。由于從而AR(1)

表明存在定義稱多項式方程為模型的特征方程，它的個根稱為模型的特征根。如果這

個特征根都在單位圓外，即，則稱模型是可逆的。2.MA(q)

模型的可逆性條件的歷史值對雖有影響，但隨著時間的推移越來越小。否則，不合理?？赡嫘詶l件的直觀解釋：Note可逆的MA(

)

模型有一些很好的性質(zhì)。如1）保證了的存在，從而，2)模型參數(shù)可以由相關函數(shù)唯一確定。若，的根均在單位圓外，且這兩