第頁，共頁2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期東莞外國(guó)語學(xué)校段考一高二數(shù)學(xué)說明：本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：A．2.（）A.84 B.83 C.70 D.69【答案】D【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算公式求解即得.【詳解】依題意，.故選：D3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖象判斷即可.【詳解】設(shè)，，，則表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，則表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，表示，兩點(diǎn)連線的斜率，又在上單調(diào)遞增，且增長(zhǎng)趨勢(shì)越來越快，則函數(shù)在點(diǎn)、的切線與過、的直線的草圖如下所示：由圖可知，所以.故選：C4.不等式的解集為（）A.{2，8} B.{2，6}C.{7，12} D.{8}【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)排列數(shù)公式展開，再解不等式，即可得答案.詳解】，解得：.又，，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)公式的計(jì)算、不等式求解，考查基本運(yùn)算求解能力.5.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求，取，可求，再求，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切線方程為，即.故選：A.6.已知在區(qū)間內(nèi)存在2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，根據(jù)極值點(diǎn)可得與在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因?yàn)椋芍趦?nèi)有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由可得，可知：與在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且，，結(jié)合圖象可得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B7.如圖；在的矩形長(zhǎng)條中，涂上紅、黃、藍(lán)3種顏色，每種顏色限涂2格，并且相鄰兩格不同色，則不同的涂色方法共有種數(shù)為（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】C【解析】【分析】先分類：第1類，前3個(gè)矩形用3種顏色，后3個(gè)矩形也用3種顏色；第2類，前3個(gè)矩形用2種顏色，后3個(gè)矩形也用2種顏色，分別計(jì)算后再由加法原理相加即得．【詳解】分2類（先涂前3個(gè)矩形，再涂后3個(gè)矩形．）：第1類，前3個(gè)矩形用3種顏色，后3個(gè)矩形也用3種顏色，有種涂法；第2類，前3個(gè)矩形用2種顏色，后3個(gè)矩形也用2種顏色，有種涂法．綜上，不同的涂法和數(shù)為．故選：C．8.曲線與和分別交于兩點(diǎn)，設(shè)曲線在處的切線斜率為在處的切線斜率為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)稱性可設(shè)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且反比例函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，可知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，設(shè)，則，由題意可得：，解得或（舍去），可得，則，所以.故選：A.二、多選題：本大題共3小題，考生作答3小題，每小題6分，滿分18分．9.下列求導(dǎo)的運(yùn)算中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則逐項(xiàng)求解即可；【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確；故選：ACD.10.某單位安排7名員工周一到周日為期一周的值日表，每名員工值日一天且不重復(fù)值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，則不同的安排方案種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】按照乙安排在周一和乙不安排在周一分類討論求解判斷CD，先求出所有的排法，然后排除甲排在周一及乙排在周三的情況求解判斷B，先求出周一不安排甲的排法數(shù),再排除乙排在周三的情況求解判斷A.【詳解】直接法：若乙安排在周一，則有種不同的排法；若乙不安排在周一，則甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有種不同的排法．故所有符合題意的方法共有種，所以選項(xiàng)D正確．間接法：（1）不管條件限制共有種不同的排法．當(dāng)甲安排在周一或乙安排在周三時(shí)，有種不同的排法；當(dāng)甲安排在周一且乙安排在周三時(shí)，有種排法．故所有符合題意的方法共有種，所以選項(xiàng)B正確．（2）從周一到周日的七天位置來看，周一不安排甲共有種不同的排法，其中周三安排乙共有種排法，是不符合題意的，故所有符合題意的方法共有種，所以選項(xiàng)A正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，則（）A.存在，函數(shù)僅有一個(gè)極值點(diǎn)B.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，是曲線的切線方程D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】求導(dǎo)即可判斷函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷A，利用函數(shù)對(duì)稱性的定義代入計(jì)算，即可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷C，借助函數(shù)單調(diào)性以及極值，即可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以不存在，使函數(shù)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)是圖像上任意一點(diǎn)，則，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，將代入函數(shù)可得，而，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，若是切線方程，則其斜率為9，令，解得，當(dāng)時(shí)，，切線方程為，化簡(jiǎn)可得；當(dāng)時(shí)，，切線方程為，化簡(jiǎn)可得；所以是曲線的切線方程，故C正確；對(duì)于D，由，當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上各有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：BC三、填空題：本大題共3小題，考生作答3小題，每小題5分，滿分15分．12.函數(shù)的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】先求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，得到，代入計(jì)算，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.13.現(xiàn)有男、女乒乓球運(yùn)動(dòng)員各6人，將他們配對(duì)成男雙、女雙、混雙各2對(duì)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員都只參加一個(gè)項(xiàng)目，則不同的配對(duì)方法種數(shù)為______（用數(shù)字作答）．【答案】4050【解析】【分析】先確定男雙、女雙配對(duì)，剩下兩男兩女共2種配對(duì)混雙得方法，再由乘法原理求解即可；【詳解】男雙的配對(duì)方法種數(shù)為，同理，女雙的配對(duì)方法種數(shù)為，剩下的兩男兩女中混雙的配對(duì)方法種數(shù)為2，則不同的配對(duì)方法種數(shù)為．故答案為：4050．14.已知的定義域是，且，則不等式的解是_______.【答案】【解析】【分析】變形不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)確守單調(diào)性。進(jìn)而求解不等式.【詳解】依題意，不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，原不等式為，因此，解得或，所以原不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用同構(gòu)的思想變形，再構(gòu)造函數(shù)是露頭角問題的關(guān)鍵.四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，先求確定切點(diǎn)，再求確定切線斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程.（2）求導(dǎo)，分，，討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，從而，，故所求切線方程為，即（或）.【小問2詳解】由題意可得.當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.16.（1）解不等式；（2）求證：①，②．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件利用組合的意義及組合數(shù)計(jì)算公式化簡(jiǎn)不等式，再解不等式即可.(2)利用組合數(shù)計(jì)算公式變形，計(jì)算推理作答.【詳解】(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，原不等式化為：，即，解得，則m=7或8，所以不等式的解集為.(2)①，所以成立；②因，，所以成立.17.某校舉行勞動(dòng)技術(shù)比賽，該校高二（1）班的班主任從本班的5名男選手和4名女選手中隨機(jī)地選出男、女選手各2名參加本次勞動(dòng)技術(shù)比賽中的團(tuán)體賽，并排好團(tuán)體賽選手的出場(chǎng)順序.在下列情形中各有多少種不同的安排方法？（1）男選手甲必須參加，且第4位出場(chǎng)；（2）男選手甲和女選手乙都參加，且出場(chǎng)的順序不相鄰；（3）男選手甲和女選手乙至少有一人參加.【答案】（1）144（2）144（3）1008【解析】【分析】根據(jù)先選后排原則，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【小問1詳解】完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場(chǎng)順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.【小問2詳解】完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場(chǎng)順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.【小問3詳解】完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，“有男選手甲且無女選手乙”的選法種數(shù)為；“無男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；“有男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；第二步，排好出場(chǎng)順序，有種排法，所以，共有種不同的安排方法.18.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求出極值即可；（2）將條件參變分離后轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域即可求解.【小問1詳解】由題可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，令，解得則，，的變化情況如下表.0單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的極小值為；【小問2詳解】因?yàn)?，且關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處可以取到最小值，又由的零點(diǎn)僅有，且當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于0，所以，解得，所以的取值范圍為.19.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)為的極小值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）在時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出，設(shè)，求導(dǎo)推得，根據(jù)參數(shù)分，和三種情形，討論函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況，即得其取值范圍；（3）設(shè)為的零點(diǎn)，推得，，分段討論函數(shù)的單調(diào)性，推出，即得，即，則，設(shè)，求導(dǎo)得出在上的單調(diào)性，即可求出其范圍，即得證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，因當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】因，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，取得極小值，（?。┧援?dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞增，符合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橼吔跁r(shí)，趨近于，趨近于時(shí)，趨近于，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，即存在區(qū)間使得，所以不恒成立，不合題意；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，若，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)為，且，則與有唯一相同零點(diǎn)且零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符