專題02數(shù)列（解答題12種考法）

1.（2023?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模）已知數(shù)列。｝中，4K3,（2〃-1）%=（2〃+3）/（〃。N"）.

⑴求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

,1,

⑵求數(shù)歹｝的前〃項和s“.

2.（2023?安徽滁州??？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列何｝的前幾項和為s“，且S“=--2（〃eN）

⑴求數(shù)列｛。,｝的通項公式;

（2）在an與an+l之間插入n個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列+的前”項和4.

3（2023秋,安徽合肥?高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列｛%｝中，%=7,%+2/=35,數(shù)列｛2｝的

前〃項和為S",且地-25“=1.

⑴求數(shù)列｛??｝和｛b?｝的通項公式；

⑵若c"=（求數(shù)列｛%｝的前〃項和

4.（2023?四川成都,校聯(lián)考二模）已知數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，且%-1是火和火+1的等比中項.

⑴求數(shù)列｛??｝的通項公式；

（2）設(shè)bn=CW,求數(shù)列也｝的前，項和s”.

a“a,”i

5.（2023?遼寧撫順??？寄M預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，為=3,且S“+S”+I+3=2.

an+\

①證明：數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，并求其通項公式;

(2)若,求數(shù)列他,｝的前〃項和7“.

^,2H+3—.

從①=也,；②2=7^-V—,③2=(-1)%/%，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的橫線上并解

\n十幾)冊+T

答問題.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

6.(2023秋?江西南昌?高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的首項q=3,其前”項和為S,,,

且S向=3S"+2〃+3,(neN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式凡；

⑵設(shè)6“求數(shù)列｛t｝的前L項和數(shù)

7.(2023?廣東汕頭?統(tǒng)考三模)等差數(shù)列｛4｝和各項均為正數(shù)的等比數(shù)列也｝滿足：%=a=2,a3=b3=8.

⑴求數(shù)列｛??｝和｛bn｝的通項公式;

（2）數(shù)列｛%｝是由數(shù)列｛4｝和｛2｝中不同的項按照從小到大的順序排列得到的新數(shù)列，記數(shù)列｛5｝的前〃項和

為S",求Hoo.

8.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列｛叫滿足4+2+4-2。向=2"馮=1,%=3.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;

2"+12"-2

(2)求(-1嚴(yán).+的前〃項和T”.

%+避"

9.（2023秋?天津河?xùn)|?高三校考階段練習(xí)）正項數(shù)列｛4｝的首項為3的等差數(shù)列，前〃項和為5“，且a2s2=4。,

正項數(shù)列出｝是首項為1的等比數(shù)列，且&+a=12

⑴求也;

⑵設(shè)----,求數(shù)列匕｝的前，項的和1；

anan+l

⑶設(shè)4=anbn+l,求數(shù)列｛e“｝的前n項的和Pn.

10.（2023?海南?？?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列｛g｝中，4=3,生是5a2與9的等差中項，記5.

為數(shù)列L的前,項和，滿足S角=峪,+2（％>0）.

3

⑴求數(shù)列｛?！保耐椆?；

4Q

⑵若丁工一“一,求實數(shù)％的最小值.

2T

11.（2023?福建廈門?廈門外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛凡｝滿足《!=1，2=1+2??.

an+l

⑴證明為等差數(shù)列，并｛%｝的通項公式；

2

（2）設(shè)c?=4na?a?+1,求數(shù)列｛c“｝的前n項和Tn.

12.（2023?海南?？?海南華僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜椌鶠檎龜?shù)的數(shù)列｛%｝滿足2瘋=%+1,其中S“是

數(shù)列｛4｝的前〃項和.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

1111

⑵若對任意〃eN+，且當(dāng)"22時，總有六+-7+《1+…+「恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

13.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？既?記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和,已知S.=&f)(〃+1).

⑴求數(shù)列｛七｝的通項公式;

(2)數(shù)列也｝滿足2-%=?(“eN*,心2)且4-々=1,：的前〃項和為7.，證明：1V7；＜2.

14.(2023?江蘇揚(yáng)州揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛?！埃鸵玻凉M足：6=1,an+b?=all+1,H(%

為常數(shù)，且2*1).

(1)證明：數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列；

(2)若當(dāng)〃=3和〃=4時，數(shù)列｛4｝的前〃項和S"取得最大值，求S"的表達(dá)式.

25

15.(2023?江蘇揚(yáng)州?儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且％=1,7r=〃+1.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)記數(shù)列|log2攀］的前〃項和為Tn,求集合［k\Tk410,4eN*｝中元素的個數(shù).

16.(2023秋?天津紅橋?高三天津市瑞景中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列,

%=4=1,抬=5(%-%)也=4(4-A).

⑴求｛叫和色｝的通項公式；

(2)設(shè)c.=%+2，求數(shù)列的前"項和

(3)設(shè)tn=anbn,求數(shù)列",｝的前”項和T*.

⑷記｛%｝的前〃項和為S“，求證：S.S.+2<Sn+i(weN)；

17.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且出+%=1。，邑=16.

⑴求｛4｝的通項公式；

(2)數(shù)列也｝滿足凡=尋小一(〃wN*),數(shù)列色｝的前〃項和為S",求證：S“<《.

°an'an+l12

18.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)S“為數(shù)列｛%｝的前"項和，已知外=1，2S,="%.

⑴求｛%｝的通項公式;

風(fēng)+

⑵求數(shù)列1的前〃項和

2"

黑■數(shù)記九，分別為數(shù)列｛*間

19.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知｛4｝為等差數(shù)列，b?=

的前〃項和，邑=32,4=16.

⑴求｛〃〃｝的通項公式;

（2）證明：當(dāng)〃>5時，

20.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，他,｝是等比數(shù)列，且4=4=4-&=。3-4=1

⑴求｛為｝與例｝的通項公式；

(2)設(shè)｛風(fēng)｝的前n項和為5“，求證：(S?+1+an+l)bn=Sn+lbn+l-Snbn；

2n

⑶求?

k=l

21.(2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝與他,｝的前”項和分別為4和紇，且對任意〃eN*,

3

“用-%=w(久+1-年)恒成立.

⑴若4=罟網(wǎng)，4=2,求紇；

⑵若對任意〃cN*,都有%=&及_^_+上_+_^_++%恒成立,求正整數(shù)4的最小值.

aaaa

4%34?n+l3

22.(2022?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？家荒?已知數(shù)列｛%｝滿足q+3出+3?%++3"一%“=怨(〃eN*).

⑴求數(shù)列｛?！埃耐椆?

71,、7

（2）設(shè)么=產(chǎn)（一）（-J,數(shù)列抄“｝的前〃項和5“，求證：Sn<—.

23.（2023?河北保定?河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┰谀硞€周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺球.四

人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進(jìn)行組內(nèi)一對一對打；②第一輪甲乙對打、丙丁對打;

③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一

輪游戲中對打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn).已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為3，甲勝丙、乙勝丁

32

的概率均為三，甲勝丁的概率為

⑴設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對打的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望；

⑵求在第10輪比賽中，甲丙對打的概率.

24.（2023?云南昭通?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝的首項%=1,其前幾項和為S"，從①

②邑=41，S同+S,T=2（SA+1）（〃N2）；③%=瘋+67（〃之2）中任選一個條件作為已

知，并解答下列問題.

⑴求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

（2）設(shè)設(shè)數(shù)列也｝的前“項和■，求證：4<?；<1.

,1\+14

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.

25.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選

擇題有4B,C,。這4個選項，4個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機(jī)地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正

確選項相互獨(dú)立.若第一題正確選項為兩個的概率為;，并且規(guī)定若第十=12，〃-1)題正確選項為兩個,

則第1+1題正確選項為兩個的概率為:；第中=1,2,，〃-1)題正確選項為三個，則第i+1題正確選項為三

個的概率為;.

⑴若第二題只選了"C"一個選項，求第二題得分的分布列及期望；

(2)求第n題正確選項為兩個的概率；

⑶若第〃題只選擇夙c兩個選項，設(shè)y表示第〃題得分，求證：E(y)4K.

26.(2023?浙江溫州?樂清市知臨中學(xué)校考二模)已知等差數(shù)列｛。"｝滿足4=20,%+%=56.

⑴求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

⑵記或="拓，其中S”為數(shù)列｛%｝的前"項和.設(shè)國表示不超過x的最大正整數(shù)，求使

也］+但2］+匝］+??+也］<2023的最大正整數(shù)n的值.

27.(2023?江蘇南京?南京師大附中校考模擬預(yù)測)設(shè)S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知％=1,且滿足

2s“=?！?5+1).

⑴求數(shù)列｛??｝的通項公式；

(2)設(shè)［為數(shù)列圾｝的前〃項和，當(dāng)“22時，b?=----------.若對于任意〃eN*