2025北京人大附中高三（下）統(tǒng)練三

數(shù)學(xué)

說明：本試卷21道題，共150分；考試時間120分鐘；請在答題卡上填寫個人信息，并將條

形碼貼在答題卡的相應(yīng)位置上.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）

1.已知復(fù)數(shù)z=3—4i,則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知4={%|1。84%<1},B=N,則的元素個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.如圖所示，弧瓦）是以。為圓心，06為半徑的圓的一部分，滿足06=2,ZBOD=150°,。是08

的中點，A在弧上運動，則的最小值為（）

4.若［2五-L］的展開式中，二項式系數(shù)和為64,則展開式的常數(shù)項為（）

A.-240B.240C.15D.-15

5.今年高三的“無節(jié)”活動引用了漫畫《龍珠》.在原著中卡林塔上的貓仙人種植了一種仙豆，可以幫助主角

療傷和增長戰(zhàn)斗力.仙豆共有7顆，從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構(gòu)成一個遞增的等差數(shù)列.在下一場挑戰(zhàn)前，

主角將7顆仙豆全部吃掉，增加21000的戰(zhàn)斗力，擊敗了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的

戰(zhàn)斗力，那么最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為（）

A.1800B.2100C.3600D.3900

22

6.雙曲線E：二—二=1(?！?),焦距為10,左右焦點分別為耳，F(xiàn)2,M為E上一點滿足|〃耳|=7,

a16

則附聞=()

A.13B.1或13C.10D.4或10

7.北京天橋藝術(shù)中心旁邊的四面鐘是天橋附近頗有意趣的傳統(tǒng)景觀之一.這個主體建筑可以近似看做正四棱

柱.四面鐘的每一面都掛在該正四棱柱的一個側(cè)面上.當四面鐘都正常顯示標準北京時間時，相鄰兩面鐘的

時針所在直線所成角最大為（）

3兀

4

8.已知等比數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，各項均為正數(shù)，前幾項的乘積記為北.則3432a9”是“北有唯一的最大

值的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

“、(l-2a)x+5a,x<l

9.已知，(x)=r)的值域為R,那么實數(shù)。的取值范圍是()

log7x,x>l

in(「1)

A.L一32；一B.I-oo,2-)C.L-2,+ooJD.

10.己知無窮數(shù)列｛%｝滿足：%=p,an+［Sn_^\=qn,n>2,p,qeR,其中［%］表示不超過x的最大

整數(shù).則下列說法中正確的是()

A.對于任意P,q,｛4｝都不是常數(shù)列

B.存在正數(shù)P,q,使得｛%｝是遞增數(shù)列

C.對于任意正數(shù)P,q,都存在正整數(shù)使得。”,。用+1，。/+2,…是周期數(shù)列

D.如果｛%｝是常數(shù)列，則一定有。=4

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分.請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.)

11.拋物線2/=-y的準線方程是.

2x+1

12.不等式丁一；<1的解集為.

3x-3

13.已知某圓錐高力=1,軸截面為等腰直角三角形，則其側(cè)面積S=,體積V=.

14.已知函數(shù)/(x)=sin［2x-三］,將/(%)的圖象向左移動以。>0)個單位后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為

g(x),若函數(shù)/(x)=/(x)+g(x)的最大值是一個小于1的正數(shù)，則一個符合條件的夕=.

15.已知函數(shù)/(x)=Z/.k)gaX+l,a,Z?e(O,l)U(L+°°)

①當a=g,6=2時，/(%)恰有1個零點；

②若a＞l,則對于任意的6,〃龍）都有零點;

③當時，若函數(shù)/（九）恰有1個零點，則滿足條件的。取值唯一;

④當時，存在。的取值，使得/（%）有3個零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是：.

三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.請在答

題紙上的相應(yīng)位置作答.）

16.已知三棱錐。-ABC,底面VA5c是以C為直角頂點的等腰直角三角形，平面平面ABC,

E是棱AD的中點，歹在棱CD上，滿足叱，平面BCD.

DF

(1)求——的值;

FC

（2）若BD=CD=?，NCDB=90。，求直線AC與平面A3。所成角的正弦值.

17.在VABC中，c=6,4Z?cosA+4acosB=3b

（1）求6的值.

（2）從以下三個條件中選一個作為已知，使得滿足條件的VA5c存在，求VANC的面積.

①5c邊上的高為7；

②sin3=sin2C；

③AC邊上的中線長5.

18.某次測驗滿分為100分，A組和8組各有10人參加，成績?nèi)缦卤恚?/p>

A76788384859092959899

B63727375808184859299

對于該次測驗，60W分數(shù)＜70時為及格，70W分數(shù)＜90分時為良好，成績290分時為優(yōu)秀.

（1）從兩組中任取1名學(xué)生，求該名學(xué)生成績?yōu)榱己玫母怕剩?/p>

（2）從A組中隨機抽取1名學(xué)生，再從2組中隨機抽取1名學(xué)生.用隨機變量X表示這兩人的成績?yōu)閮?yōu)秀

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）從A、2兩組中均隨機抽取3人，A組成績?yōu)?6,83,92.已知B組抽出的3人中有2人的成績?yōu)?/p>

99,92,直接寫出8組3人成績方差比A組3人成績方差小的概率，

19.橢圓E：=1（?！?〉0）,左、右頂點分別為A,B,上頂點為C,原點為。，P是橢圓上一點.

|AB|=6,SOB戶面積的最大值為6.

(1)求橢圓的方程和離心率；

(2)當點尸不與橢圓頂點重合時，記直線0P與橢圓的另一個交點為Q,CP交直線％=3為。，直線

C。交x軸為E.求證：直線OE與直線AQ的斜率之積為定值.

20.已知函數(shù)/(x)=x(lnx_l),g(x)=-x3-x-l.

(i)求y=/(x)斜率為1的切線方程；

(2)若對于任意為e(0,e),任意we(—8,a),總有/(%)>g(%)，求。的最大值；

(3)若網(wǎng)x)=/(e+x)—/(e—力+恒⑴有4個極值點，求6的取值范圍.

21.已知有窮數(shù)列A：/，出，…,為，N>20,滿足qe{-l,l},i=l,2,---,N,且恰有20項為L定義

S("?)=%+…+4+1,其中〃，左eN*,n+k-l<N.對于給定的正整數(shù)/,若正整數(shù)

小{1,2,…,N—2，}滿足S("2+1)=L則稱〃是一個“/+1險勝時刻”.

(1)對于滿足=%2=-1的數(shù)列A：…,。22，寫出A全部的“2險勝時刻”.

(2)當N=2025時，數(shù)列A：卬,。2,…，心中"2險勝時刻”最多有多少個？

(3)求N的所有可能值，使得數(shù)列A：%,出，…,即一定存在“5險勝時刻”.

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）

1.【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點即可求解.

【詳解】z=3-4i對應(yīng)的點為（3,Y）,z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限.

故選:D

2.【答案】D

【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定集合A,在根據(jù)集合的運算確定即可.

【詳解】因為log4%<l,即log4x<log44,解得0<%<4,

所以A={x|0<x<4},乂因為6=N,

所以A5={1,2,3},所以的元素個數(shù)為3.

故選：D

3.【答案】C

【分析】直接應(yīng)用向量數(shù)量積的定義和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】由題意可知，=|。4=2,

則OA-OC=|OA||（?C|COSACOA=2cosACOA,

5

因為點A在弧5。上運動，所以NCOAe0,—,

_6_

而余弦函數(shù)y=cosx在［o,可內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當NCQ4=150°時，OAOC取得最小值2xcos150°=—JL

故答案為：C.

4.【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件確定“值，再根據(jù)二項式展開式的通項確定常數(shù)項為第幾項，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意有2〃=64,解得〃=6,

故二項式L］展開式的通項公式為：

*=Q（2岡］—J=Q（-1廣2F嚀，

令3—2=0,求得r=2,

2

則展開式的常數(shù)項為：C>2,=240.

故選：B

5.【答案】B

【分析】將7顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力看成一個遞增的等差數(shù)列，結(jié)合題意可知名=2700,

S7=21000,由此可以解出火即為答案.

【詳解】由題干可知7顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構(gòu)成一個遞增的等差數(shù)列，

不妨設(shè)為％,4,…，。7，則%=2700,7顆仙豆可增加的戰(zhàn)斗力之和記為S?=21000,

由等差數(shù)列的前n項和公式可知S,=7*（。;+%）==7%=21000n%=3000,

所以數(shù)列的公差d—a4—a3—3000—2700=300,故q=%—2d—2700—2x300=2100,

即最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為2100.

故選：B.

6.【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線焦距可求出。的值，結(jié)合題意判斷M點位置，利用雙曲線定義即可求得答案.

22

【詳解】由題意知雙曲線E：與—匕=1（?！?）,焦距為10,

a116V）

故2c=10,c=5,則/=。2一。2=25—i8=9,:.a=3,

由==|M|=7,^\MF2\=1^\MF2\=13,

結(jié)合有|=7<a+c=8,則M在雙曲線左支上，

由于l<c+a=8,故|兒里|=13,

故選：A

7.【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征建立空間直角坐標系，設(shè)出相鄰兩面鐘的時針所在直線的方向向量，利

用線線角的向量坐標公式計算即可求最大值.

由題意，在正四棱柱ABC。-中，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-孫z.

不妨設(shè)平面用BCG上的時鐘的時針的方向向量丘=（0，。力），不同時為0，

因為四面鐘都正常顯示標準北京時間，所以設(shè)平面AA3用上的時鐘的時針的方向向量v=（a,0,b）.

設(shè)相鄰兩面鐘的時針所在直線所成角為凡

b2b2

則cos0=|

2a2+b2，

TT

①當Z?=0,〃w。時，cos6=0,則。=一；

2

COS0-__-__〃2n1——e(O,l

②當bwO時，/+]，因為5E[0,+8)，則/I」,

—+1

b2

即cos0G(0,1],則6e0,；

TTjr

綜上所述：0,-,則。的最大值為生,

22

TT

因此，相鄰兩面鐘的時針所在直線所成角最大為一.

2

故選：C.

8.【答案】B

【分析】先分析出：7；有唯一的最大值7；的充要條件為：%>1且6<1，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)從充分性和

必要性兩方面論證即可求解.

【詳解】根據(jù)已知條件有?！?gt;0,設(shè)公比為4,則有0<q<l,

T“有唯一的最大值丁7的充要條件為：%>1且4<1，

若a3432a9，則有。3a13=%%之為，又因為為〉。，

所以%?1；

又根據(jù)a3a13=08a8N%=%q,即a8a8-/q,

因為外〉o,所以Qzq，

綜上a3a13>a9不能推出7；有唯一的最大值7；,

若T,有唯一的最大值丁7，則%>1且/<1，

因為%>1,%〉。，所以有四%〉%，

又因為=。9。7，所以。3。13〉。9，此時可推出。3%32a9成立，

所以2。9”是“北有唯一的最大值4”的必要不充分條件.

故選：B

9.【答案】A

【分析】求出函數(shù)在［1,內(nèi)）上的取值集合，再根據(jù)給定的值域確定函數(shù)/（九）在（-8,1）上的取值集合,

列式求解作答.

【詳解】當無21時，函數(shù)/(九)在［1,+8)上單調(diào)遞增，其取值集合為［0,+8),而函數(shù)的值域為R,因此

函數(shù)/(九)在(-w,1)上的取值集合包含(-w,0),

當1—2a=0時，函數(shù)〃x)=(l-2a)x+5a=5a在(―8,1)上的值為常數(shù)，不符合要求,

當1—2a<0時，函數(shù)/(九)在(—8,1)上單調(diào)遞減，取值集合是(1+3。,+8),不符合要求,

于是得1—2?！?,函數(shù)〃可在(。,1)上單調(diào)遞增，取值集合是(—8,1+3。),

1-2a>0~1/1

則<解得一二>

1+3a>032

所以實數(shù)。的取值范圍是

故選：A

10.【答案】BD

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性、數(shù)列的單調(diào)性進行計算，同時每個選項可以取具體的數(shù)值

進行解答，從特殊到一般，運用邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【詳解】對于選項A,當。=q=。時，an=0,Sn=0,neN*,｛見｝是常數(shù)列，故A錯誤;

對于選項B,當p=9=1時，/=L+[S2,a?=2,%=3,%=4cin-n,

n(zi+l)、0「一加>+1)-,rc?〃Qi+l)("+1)(〃+2)

〃22,S〃=---,n>2,[S?]=---,n>2,an+l+[Sn]=n+l+—--=---------------,

(n+l)(n+2)n(n+l)

〃N29+i=-------2---------------—I

n>2,anMZA/GN*,14｝是遞增數(shù)列，故B正確;

對于選項C,當夕=1,4=2時，％=1,?！?[S“_J=2"，"22,4=3,%=4%=5+

°n(n+3)n(n+3)

“22,S“=---,n>2,6』=---

14/("+3)(〃+1)("+4)

心2,an+1+電]=〃+1+—--=---------------,

(”+1)5+4)〃(〃+3)

n>2,an+l=----------------------------=n+2,

n>2,an=n,n&N*,｛見｝不是周期數(shù)列，故C錯誤;

對于選項D,當｛4｝是常數(shù)列時，an=p,Sn=w/?,weN*,[S?]=?p,weN*,

an+l+[Sn]=p+np^q(n+l),n&N*,

p+np=q(n+l),n&N*,p=q,故D正確；

故選：BD.

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.）

11.【答案】y=\

8

【分析】將題干拋物線方程寫成標準方程，明確開口方向，即可寫出準線方程.

【詳解】將2必=—y寫成標準方程f=-2〃y（〃>0）,即/=—

是開口向下的拋物線，且—2p=—=

24

故其準線方程為丁=與=：

28

故答案為：y=

8

12.【答案】（T?,1）34，+GO）

X—4>0，根據(jù)分式的符號得到不等式等價于（（X—4）（3"-3）"o

【分析】先化不等式為,解不等式組

3x—33元一3w0

即可求解.

尤+

【詳解】由2盧二1〈1得2x+l-l<0,即2巨1二3x±3.0,

3x—33x~33x—3

士匹40,即三巴20,

整理得:

3x—33x—3

即!(X-4)(3X"0

，解得X<1或X之4,

3x—3w0

+1

故不等式—=-1的解集為（―，1）。［4,+8）-

故答案為：(-0Q,1)D[4,H<O)

13.【答案】①.血■兀②.—Ji

【分析】根據(jù)題意求出圓錐的底面圓半徑和母線，然后根據(jù)公式即可求解.

【詳解】

如圖，P45為等腰直角三角形，且月0=1,

所以底面圓半徑r=03=1,母線長l=PB=g，

所以側(cè)面積S=7l〃=缶，體積V=gs/z=g7T-12.1=g7i.

故答案為：；耳兀.

5兀

14.【答案】—(答案不唯一)

12

【分析】根據(jù)已知條件求出/(%)，根據(jù)題意令O<2cos0<l,由此確定符合題意的。值即可.

【詳解】因為/(x)=sin[2x-

根據(jù)已知條件有g(shù)(x)=sin2(x+^?)-1-=sin^2x+2^-j^,

所以P(x)=sin-^+sin^2x+2(p-^^

=sin[2x-1+Q-+sin〔2x-1+o+Q]

=2sin^2x-j+^>^cos^>,

因為函數(shù)b(x)的最大值是一個小于1的正數(shù)，

所以0<2"OSM<1時，滿足題意，

所以滿足上式的0都符合題意，答案不唯一，

°=H滿足上式，所以。=H符合題意.

1212

5兀

故答案為：—

12

15.【答案】①②

【分析】利用函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程，然后再構(gòu)造兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，從而可利用數(shù)形結(jié)合

來解決問題.

【詳解】對于①，當a=g,b=2時，由/"(x'nZ'log]x+l=Oolog]x=—

分別作出函數(shù)y=i°g；x與的圖象,

對于②，若。＞1,由/(X)=//?k)gaX+l=Oolog“X=-

此時由圖像可得兩函數(shù)必有一個交點，但當0<5<1時又作圖可得:

此時由圖像可得兩函數(shù)也必有一個交點，則/(九)都有零點，故②正確;

對于③，若a=b時，由/'(x)=Z/-log“x+l=Oolog()x=—1—

此時由圖像可得兩函數(shù)必有一個交點，說明對任意的。>1,都滿足了(%)有一個零點，即滿足條件的。的

取值并不唯一，故③錯誤;

對于④，若時，由/(X)=Z?FogaX+l=Ook)gaX=—

分別作出函數(shù)y=log“％與y=—［工］的圖象，當。＞1時作圖可得:

此時由圖像可得兩函數(shù)必有一個交點，說明對任意的。＞1,不滿足了(%)有三個零點,

所以當0＜。＜1時，又分別作出函數(shù)y=log。％與y=—［4］的圖象,

此時由圖像可得兩函數(shù)可能沒有交點，或只有一個交點，或有兩個交點，但一定沒有三個交點，所以不滿

足/(%)有三個零點，故④錯誤，

故答案為：①②.

三、解答題(本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.請在答

題紙上的相應(yīng)位置作答.)

16.【答案】(1)1(2)昱

3

【分析】(1)由平面平面ABC,AC可得AC，平面BCD,故跖AC,可知產(chǎn)是棱

DF

的中點，可得一-=1；

FC

(2)以C點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用等體積法求得。點坐標，從而求得平面A3。的法向

量，利用向量的數(shù)量積求得直線AC與平面A3。所成角的正弦值.

【小問1詳解】

因為底面VA5c是以C為直角頂點的等腰直角三角形，所以AC，CB,

又平面Cfi。，平面ABC,平面CBZJc平面ABC=Cfi,

所以AC,平面BCD,又因為滿足所，平面5CD,所以EFV/AC,

又E是棱A。的中點，則所為cACD的中位線，故尸是棱CD的中點,

DF

所以=1；

FC

【小問2詳解】

以C點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系:

因為BD=CD=e，ZCDB=9Q°,則6C=2，

又7ABe是以C為直角頂點的等腰直角三角形，則AC=BC=2,

故4(0,—2,0),5(2,0,0),取8c中點G,連接。G,則。GLBC,

又CG=1,故設(shè)。(1,0/),根據(jù)三棱錐D—A5C的體積相等，

匕-BCD=^D-ABC,可得§義5義"\/2X-\/2x2=—X—x2x2x/z,

解得〃=1,所以設(shè)。（1,0,1）,故=（2,2,0）,3。=（—1,0,1）,

AC=（0,2,0）,設(shè)平面ABD的法向量為〃=（x,y,z）,貝U

n-AB=2x+2y=0fx=-y、

<,解得｛,令x=l,則〃z1,1）,

n-BD=—x+z=0[x=z

則…半，

'/|/1|.|AC|73X23

即直線AC與平面A5￡）所成角的正弦值為B.

3

17.【答案】（1）8

（2）選①無解；選②8行或處5；選③旦女

92

【分析】(1)利用正弦定理及兩角和的正弦公式可得；

(2)選①，由三角形中邊長數(shù)據(jù)分析可得不合題意；選②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面積公式

即得；選③，EfecosZADB=-cosZBDC,利用余弦定理可求得。，再由余弦定理可求得cosA,進而

求得sinA,由三角形面積公式即得

【小問1詳解】

在VA6C中，A+B=7r-C,

又4Z?cosA+4acosB=3b,

由正弦定理得，4sinBcosA+4sinAcosB=3sinB，

即4sin（A+5）=3sin5,

即4sinC=3sin5,由正弦定理得，4c=3萬，

又。=6,所以%=8.

【小問2詳解】

選①5C邊上的高為7,

過A作于。，如圖，

由已知，在RtzXABZ）中，AB=6,AD-7,

顯然這樣的三角形不存在，所以無解.

選②sinB=sin2C,即sinB-2sinCeosC,

2

又。=6,b=8,貝！J由正弦定理得8=2><6><cosC,即cosC=—,

3

則sinC=A/1-COS2C=，

3

2

由余弦定理c?=+廿_2"cosC,得36=a9+64-lax8x—,

3

14

即3/—32a+84=0，解得〃=6或。=可，

當a=6時，VABC的面積S=La6sinC='x6x8x@=86，

223

當。=好時，VABC的面積S=La6sinC=Lx匕x8x@=?S.

322339

選③AC邊上的中線長5,

設(shè)AC的中點為。，由（1）知AC=8,則AT>=DC=4,

又AB=6,BD=5,BC=a,

A

D

c…3+哈-53空

在△A5D中，由余弦定理,

2ADBD2x4x58

16+25-/

在神⑦中，由余弦定理，"DC尸罌”

2x4x5

因為NAD5=TI—NBDC,所以cosNAZ)5=—cos/BDC,

則“61：，＞解得"歷，

在VA3C中，由余弦定理，6之+82-（廊）_9,

2bc2x6x816

5s

則sinA=A/1-COS2A=

~16~

所以VABC的面積S=—bcsinA=—x8x6x

22162

3

18.【答案】（1）j

7

（2）分布列見解析，期望為一

10

（3）-

4

【分析】（1）應(yīng)用古典概型求解事件的概率即可；

（2）A組中優(yōu)秀的學(xué)生有5人，再從8組中優(yōu)秀的學(xué)生有2人，再根據(jù)超幾何分布計算其概率，列出分布

列，求期望；

（3）根據(jù)平均數(shù)與方差的計算公式，結(jié)合題意即可得出a的取值范圍即可求出概率.

【小問1詳解】

由題意知，A組中良好的學(xué)生有5人，再從B組中良好的學(xué)生有7人，

123

從兩組中任取1名學(xué)生，求該名學(xué)生成績?yōu)榱己玫母怕蕿橐?一.

205

3

因此，學(xué)生成績?yōu)榱己玫母怕蕿?/p>

【小問2詳解】

根據(jù)題意得，A組中優(yōu)秀的學(xué)生有5人，再從B組中優(yōu)秀的學(xué)生有2人

X的可能取值為0,1,2.

則/"=。)=宗=/5=1)/、技?<小=2)=|^^,

JoJo，Mo^io乙JoJo

所以X的分布列為:

X012

2J_1

P

5~210

9117

因此，X的數(shù)學(xué)期望石(X)=0xg+l><5+2義伍=歷

【小問3詳解】

A組成績?yōu)槌煽兎謩e為76,83,92,平均值為次也％=變，方差為

33

(76-251y+(83-竺ly+(92-至

’3)’3)'3)_1158_386,

3――~9~

B組抽出的3人中有2人的成績?yōu)?9,92,a(aeN*),平均值為

(ccI9i+a\2,(I9i+a\2,/ccI9i+a\2

所以簿>(99--H+(。--H+。2—H,

93

即1158>(106-a)2+(2a-191)2+(85-a)2,

代入檢驗，可知。最小為84,最大85,

故8組3人成績方差比A組3人成績方差小的概率為-=

84

19.【答案】(1)—+i=1,e=—(2)證明見解析

943

【分析】(1)由長軸長得。，當點尸在橢圓上下頂點時，S"P面積取得最大值,

由此求得6,即得橢圓的方程，有平方關(guān)系可得c,即求得離心率；

(2)先設(shè)點P的坐標，由橢圓的對稱性得點。的坐標，

再分別寫出直線CP和直線CQ的方程得點。和E的坐標，

由此得到心的表達式，結(jié)合點尸在橢圓上代入化簡即可證明.

【小問1詳解】

由題意知=2a=6m=3,當點p在橢圓上下頂點時，

SABP面積取得最大值，即/x2axZ?=3xZ?=6=>〃=2，

所以橢圓方程為工+f=1,C=JQ2—戶=5所以離心率e=￡=逝；

94a3

【小問2詳解】

不妨設(shè)點？（%,%），由橢圓的對稱性可知Q（—%,—%）,

y—2y.—2

直線CP的斜率為kep=--,故直線CP的方程為y-2=C—X,

FX

令x=3,得。點縱坐標為,=2+3（X—2）=2%+3y—6；

玉國

r2+y,y,+2

直線CQ的斜率為kCQ=一以，故直線CQ的方程為＞-2=2一x,

Xi%

令y=。，得E點橫坐標了E=—三■，

%+2

2%+3%-6

,X.（）（）

所以直線DE的斜率為嚷=3+Z=2%3+M3%+-26）1%+；2,

M+2

直線AQ的斜率為kAQ=二急=,

故直線DE和直線AQ的斜率之積為

k.k=（2%+3%—6）（%+2）%=2x1y；+4為乂+3y；—：12yl

DEAQ

3%,（y+2）+2x：%-33x；y+2,-9%1M—18%，

22

因為點P在橢圓上，所以有土+為=1,

94

94

也即2x；=18-萬片,3y；=12-§x；,代入斜率之積的表達式的三次項中，

4,

2%%+4%一,玉4

得kDE-kAQ=----------------=—§為定值?

3%—9%；—-xlyl

20.【答案】（1）y=x-e

（2）6

（3）（2收）

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，利用點斜式寫出方程；

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/（九）的最小值，求得最小值為-1,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值，進

而根據(jù)題意得到。的取值范圍；

（3）利用導(dǎo)數(shù)分析，根據(jù)極值存在的條件，并作換元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)力⑺=ln（e2-。與直線＞=1）

在fe（0,e2）內(nèi)有2個不同的交點，利用對數(shù)函數(shù)的圖像和直線的圖像，即可得到實數(shù)b的取值范圍.

【小問1詳解】

f\x)=lnx,令lnx=lnx=e,

/(e)=e(lne-1)=e(l—1)=0,故切點為(e,0),

切線方程為V=x-e；

【小問2詳解】

分析/(x)在(Qe)的最小值：

f\x)=Inx,0<%<1時lnx<0,/(x)單調(diào)遞減；

l<x<e時lnx〉0,/(x)單調(diào)遞增；

分析g(X)=gx3—X—1在(一00,。)的最大值：

導(dǎo)數(shù)，(X)=%2—1.

在或x>l時g'(x)=在-1>0J(x)單調(diào)遞增;

時g，(x)=x2-單調(diào)遞減.

g(x)在x=—1處有極大值,在x=l處有極小值

令g(x)=_x_1=_1,x—+^3,x=0>

當a<-G時，g(x)在(一℃,。)內(nèi)單調(diào)遞增，g(x)趨近于g(-0)=-1.

保證g(%2)<T；

當a='時，g(x)在(-<?,-g)內(nèi)的最大值嚴格小于-1，

因此，a的最大值為一百；

【小問3詳解】

Ff(x)=ln(e+x)+ln(e-x)+Z?(x2-1^=ln(e2-x2)+Z?(x2-1^

極值點滿足，(x)=0,BP：ln(e2-x2)+Z?(x2-l)=0,

令/=/，則fe(0,e2),方程變?yōu)椋篻T+W-1)=0

根據(jù)題意，此方程應(yīng)當有四個不同的實數(shù)根

函數(shù)〃⑺二犯1？7)與直線y=—可/—1)在/e(0,e2)內(nèi)有2個不同的交點，

函數(shù)咐)=如份一)在te(0,e2)內(nèi)單調(diào)遞減，以直線x=e2為漸近線，/i(0)=2,

直線y=—/??—1)橫截距為1,斜率為左=—5,

設(shè)4(1,0),6(0,2),心=-2,

-b<-2,所以b>2,

此時，函數(shù)"⑺=ln(e2—r)與直線y=——1)在te(0,e2)內(nèi)有2個不同的交點，

交點橫坐標分別記為小弓，在每一個值的左右兩函數(shù)值的差出現(xiàn)正負變號，

從而對應(yīng)方程：In份-尤2)+川9—i)=。的4個實數(shù)根的每一個的左右F(X)的值出現(xiàn)

正負變號，因此函數(shù)b(%)有4個極值點，

綜上，實數(shù)6的取值范圍是(2,+8).

21.【答案】(1)9,10,11,20

(2)29

(3)33,34,35,36,37,38,39

【分析】(1)所謂“/+1險勝時刻”的含義為：數(shù)列從第〃項開始的連續(xù)2t+1項里，1恰好比-1多一

個，從而可以利用這點得到答案；

(2)先證明"2險勝時刻”的個數(shù)不超過29,然后給出取到29的例子，即可得到最多有29個；

(3)對NN40,21WNW32,33WNW39三種情況分類討論，即可得到答案.

【小問1詳解】

所謂“t+1險勝時刻”的含義為：數(shù)列從第九項開始的連續(xù)2f+1項里，1恰好比-1多一個.

該數(shù)列的第11項和第22項為-1,其余為1.

所以〃是數(shù)列的“2險勝時刻”的含義為：數(shù)列從第九項開始的連續(xù)3項里，1恰好比-1多一個.

那么滿足條件的全部“為：9,10,11,20.

【小問2詳解】

①首先證明：數(shù)列A的“2險勝時刻”的個數(shù)不會超過29.

由于〃是數(shù)列A的“2險勝時刻”的含義為：數(shù)列A從第〃項開始的連續(xù)3項里，1恰好比-1多一個.

這就意味著，4，?！?1，。〃+2中有兩個1，一個一1，此時，稱這樣的(%,?！?1，。研2)是一個險勝三元組.

當某個1屬于某個險勝三元組時，將這個1和這個險勝三元組配一對，設(shè)一共配了d對.

設(shè)數(shù)列A的“2險勝時刻”的個數(shù)為T,則丁恰好也是險勝三元組的個數(shù).

每個險勝三元組恰包含兩個1,所以d=2T.

那么，很顯然，A中的每個1至多屬于三個險勝三元組，而第一個1和最后一個1至多屬于兩個險勝三元組.

而A中恰有20個1,這就表明142+3x18+2=58,所以2TW58,得TW29.

這就證明了數(shù)列A的“2險勝時刻”的個數(shù)不會超過29.

②另一方面，當A的第2,3,5,6,8,9,H,12,14,15,17,18,20,21,23,24,26,27,29,30項為1,其它項為—1

時，驗證即知｛1,2,3,...,29｝中的每個正整數(shù)都是A的“2險勝時刻”.

綜合①②兩個方面，即知數(shù)列A的“2險勝時刻”最多有29個.

【小問3詳解】

〃是數(shù)列A的“5險勝時刻”的含義為：