線性代數(shù)競(jìng)賽試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.設(shè)矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)為：

A.\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}4&-6\\-3&2\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}2&-3\\-3&4\end{bmatrix}\)

2.設(shè)向量\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)，\(\mathbf=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{a}\cdot\mathbf\)的值為：

A.5

B.7

C.9

D.11

3.設(shè)\(\mathbf{a}\)和\(\mathbf\)是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，\(\mathbf{c}\)是任意向量，則\(\mathbf{a},\mathbf,\mathbf{c}\)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}+\mathbf\)與\(\mathbf{c}\)線性無(wú)關(guān)

B.\(\mathbf{a}-\mathbf\)與\(\mathbf{c}\)線性無(wú)關(guān)

C.\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\neq0\)

D.\(\mathbf\cdot\mathbf{c}\neq0\)

4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=0\)，則\(A\)的秩\(r(A)\)為：

A.0

B.1

C.\(n-1\)

D.\(n\)

5.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(A^{-1}\)的行列式\(\det(A^{-1})\)為：

A.\(\frac{1}{\det(A)}\)

B.\(\det(A)\)

C.\((\det(A))^2\)

D.1

6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(B\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(\det(AB)\)等于：

A.\(\det(A)\det(B)\)

B.\(\det(B)\det(A)\)

C.\(\det(A)\)

D.\(\det(B)\)

7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(B\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(\det(AB)\)等于：

A.\(\det(A)\det(B)\)

B.\(\det(B)\det(A)\)

C.\(\det(A)\)

D.\(\det(B)\)

10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

11.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(B\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(\det(AB)\)等于：

A.\(\det(A)\det(B)\)

B.\(\det(B)\det(A)\)

C.\(\det(A)\)

D.\(\det(B)\)

12.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

13.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(B\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(\det(AB)\)等于：

A.\(\det(A)\det(B)\)

B.\(\det(B)\det(A)\)

C.\(\det(A)\)

D.\(\det(B)\)

14.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

15.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(B\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(\det(AB)\)等于：

A.\(\det(A)\det(B)\)

B.\(\det(B)\det(A)\)

C.\(\det(A)\)

D.\(\det(B)\)

16.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

17.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(B\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(\det(AB)\)等于：

A.\(\det(A)\det(B)\)

B.\(\det(B)\det(A)\)

C.\(\det(A)\)

D.\(\det(B)\)

18.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

19.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(B\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(\det(AB)\)等于：

A.\(\det(A)\det(B)\)

B.\(\det(B)\det(A)\)

C.\(\det(A)\)

D.\(\det(B)\)

20.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量，則\(\mathbf{a}\)是\(A\)的零空間基的充分必要條件是：

A.\(\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

B.\(\mathbf{a}\)是\(A\)的列向量

C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

D.\(\mathbf{a}\)與\(A\)的其他列向量線性無(wú)關(guān)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.矩陣的行列式總是存在的。（×）

2.一個(gè)非零向量組的秩等于該向量組的元素個(gè)數(shù)。（√）

3.如果一個(gè)方陣的行列式等于0，那么該方陣一定不可逆。（√）

4.矩陣的逆矩陣一定存在。（×）

5.兩個(gè)可逆矩陣的乘積的逆矩陣等于它們的逆矩陣的乘積的逆矩陣。（√）

6.如果一個(gè)矩陣的秩等于其階數(shù)，那么該矩陣一定是滿秩的。（√）

7.矩陣的行列式是其轉(zhuǎn)置矩陣的行列式。（×）

8.兩個(gè)等價(jià)的矩陣具有相同的秩。（√）

9.矩陣的零空間和其轉(zhuǎn)置矩陣的零空間是相同的。（×）

10.矩陣的伴隨矩陣是其逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。（×）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述矩陣的秩的定義，并舉例說(shuō)明。

2.解釋矩陣的伴隨矩陣的概念，并說(shuō)明其計(jì)算方法。

3.簡(jiǎn)述線性方程組解的判別條件，并舉例說(shuō)明。

4.解釋什么是矩陣的相似性，并說(shuō)明相似矩陣的性質(zhì)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的秩與矩陣的行簡(jiǎn)化形式之間的關(guān)系，并說(shuō)明如何通過(guò)行簡(jiǎn)化形式來(lái)確定矩陣的秩。

2.論述矩陣的可逆性與矩陣的行列式之間的關(guān)系，并探討為什么行列式為0的矩陣一定是不可逆的。

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.A.\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

解析思路：根據(jù)伴隨矩陣的定義，計(jì)算\(A\)的每個(gè)元素的代數(shù)余子式，并按照原矩陣元素的符號(hào)取值，構(gòu)造伴隨矩陣。

2.A.5

解析思路：計(jì)算向量的點(diǎn)積，即對(duì)應(yīng)分量相乘后相加。

3.C.\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\neq0\)

解析思路：線性無(wú)關(guān)的定義是向量組的每個(gè)向量都不能由其他向量線性表示，即它們的點(diǎn)積不為0。

4.A.0

解析思路：若\(A^2=0\)，則\(A\)的冪次增加時(shí)，矩陣的秩不會(huì)增加，最終降至0。

5.A.\(\frac{1}{\det(A)}\)

解析思路：根據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)，\(A^{-1}\)的行列式是\(A\)的行列式的倒數(shù)。

6.A.\(\det(A)\det(B)\)

解析思路：行列式的乘積性質(zhì)，即矩陣的乘積的行列式等于各個(gè)矩陣行列式的乘積。

7.C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

解析思路：零空間基的定義是使得線性組合為零的向量集合的基。

8.C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

解析思路：零空間基的定義是使得線性組合為零的向量集合的基。

9.A.\(\det(A)\det(B)\)

解析思路：行列式的乘積性質(zhì)，即矩陣的乘積的行列式等于各個(gè)矩陣行列式的乘積。

10.C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

解析思路：零空間基的定義是使得線性組合為零的向量集合的基。

11.A.\(\det(A)\det(B)\)

解析思路：行列式的乘積性質(zhì)，即矩陣的乘積的行列式等于各個(gè)矩陣行列式的乘積。

12.C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

解析思路：零空間基的定義是使得線性組合為零的向量集合的基。

13.A.\(\det(A)\det(B)\)

解析思路：行列式的乘積性質(zhì)，即矩陣的乘積的行列式等于各個(gè)矩陣行列式的乘積。

14.C.\(A\mathbf{a}=\mathbf{0}\)

解析思路：零空間基的定義是使得線性組合為零的向量集合的基。

15.A.\(\det(A)\det(B)\)

解析思路：行列式的乘積性質(zhì)，即矩陣的乘積的行列式等于各個(gè)矩陣行列式的乘積。

16.C.\(A\mat