第三節(jié)菱形菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定【知識(shí)拓展】1.菱形中的特殊三角形與面積問題圖形

結(jié)論一對(duì)全等的等腰三角形；S1＝S2四個(gè)全等的直角三角形；S1＝S2＝S3＝S4△DEF是等邊三角形；△AED≌△BFD；△BED≌△CFD；△ABD≌△CBD【提示】菱形中連接一邊的中點(diǎn)與兩條對(duì)角線的交點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形斜邊上的中線或三角形的中位線2.兩個(gè)矩形紙片的重疊問題不等寬的兩個(gè)矩形紙片重疊(不垂直)等寬的兩個(gè)矩形紙片重疊(不垂直)圖形結(jié)論圖形結(jié)論重疊部分一定是平行四邊形.∵h(yuǎn)1≠h2,∴一定不是菱形∵h(yuǎn)1

＝h2,∴重疊部分一定是菱形1.如圖,已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O.(1)若四邊形ABCD為平行四邊形,

(請?zhí)砑右粋€(gè)條件),則四邊形ABCD為菱形；【判定依據(jù)】

；AC⊥BD(答案不唯一)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形(2)若AB＝BC,AD＝CD,

(請?zhí)砑右粋€(gè)條件),則四邊形ABCD為菱形；【判定依據(jù)】

.AB＝AD四條邊相等的四邊形是菱形2.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,已知∠ABC＝60°,AB＝2.(1)BC＝

,AO＝

,OC＝

,BO＝

；(2)∠BCD＝

,∠ABD＝

,∠BAO＝

；(3)菱形ABCD的周長為

,面積為

.211

120°30°60°8

重難點(diǎn)：與菱形有關(guān)的證明與計(jì)算【一題多角度】在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是BC邊上一點(diǎn).(1)如圖①,過點(diǎn)E分別作EF⊥AC于點(diǎn)F,EG⊥BD于點(diǎn)G,連接FG,若AC＝6,BD＝8,則FG的最小值為

；【解析】連接OE,則FG＝OE,當(dāng)OE⊥BC時(shí),OE的值最小,即FG的值最小,再根據(jù)等面積法求高即可求解.2.4(2)如圖②,AE⊥BC,連接OE,若OE＝3,BD＝8,則AE的值為

；【解析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出AC,由勾股定理求出AB.4.8(3)如圖③,AE⊥BC,AF⊥CD,連接EF,若∠ABC＝60°,求∠AEF的度數(shù).解：∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC＝60°,∴BC＝CD,∠ABC＝∠ADC＝60°,∠BAD＝120°,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴BC·AE＝CD·AF,∴∠BAE＝∠DAF＝30°,∴AE＝AF,∴∠EAF＝60°,∴△AEF是等邊三角形,∴∠AEF＝60°.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC平分∠DAB,連接BD交AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長線于點(diǎn)E.(1)求證：四邊形ABCD為菱形；證明：∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠BAC＝∠DCA,四邊形ABCD是平行四邊形,∵AC平分∠DAB,∴∠BAC＝∠DAC,∴∠DCA＝∠DAC,∴CD＝AD,∴?ABCD是菱形.

命題點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)(近5年考查2次)1．(2020·寧夏第5題3分)如圖，菱形ABCD的邊長為13，對(duì)角線AC＝24，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點(diǎn)，連接EF并延長與AB的延長線相交于點(diǎn)G，則EG的長為()A．13B．10C．12D．5B【解析】連接對(duì)角線BD，交AC于點(diǎn)O，證四邊形BDEG是平行四邊形，得EG＝BD，即可求出EG.命題點(diǎn)2：菱形的判定(近5年考查1次)2．(2022·寧夏第21題6分)如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于點(diǎn)D.(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線，交CD于點(diǎn)E；(不寫作法，保留作圖痕跡)解：如圖所示．(2)連接AE.求證：四邊形ABCE是菱形．證明：∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四邊形ABCE