5.1總數(shù)平均數(shù)與方差的估計

1.在理解樣本與總體的關(guān)系的基礎(chǔ)上，認識并體會統(tǒng)計估計的意義、實施方法及在實際問題中的應(yīng)用.2.知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)和總體方差.

這個問題看似很龐大，但如果找到好的方法，會很容易解決.我們可以在本節(jié)課的最后再來回答這個問題.有同學說，可以在兩個實驗區(qū)分別檢查一下這兩種水稻，那么具體要怎么檢查呢？

某農(nóng)科院在某地區(qū)選擇了自然條件相同的兩個試驗區(qū)，在種植面積相同的條件下，用相同的管理技術(shù)試種了兩個品種的水稻，如何確定哪個品種的水稻在該地區(qū)更有推廣價值呢？閱讀下面的報道，回答問題.從上述報道可見，北京市統(tǒng)計局進行2012年度人口調(diào)查采用的是什么調(diào)查方式？1.用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)

我們在研究某個總體時，一般用數(shù)據(jù)表示總體中每個個體的某種數(shù)量特性，所有這些數(shù)據(jù)組成一個總體，而樣本則是從總體中抽取的部分數(shù)據(jù)，因此，樣本蘊含著總體的許多信息，這使得我們有可能通過樣本的某些特性去推斷總體的相應(yīng)特性.

從總體中抽取樣本，然后通過對樣本的分析，去推斷總體的情況，這是統(tǒng)計的基本思想.用樣本平均數(shù)、樣本方差分別去估計總體平均數(shù)、總體方差就是這一思想的一個體現(xiàn).實踐和理論都表明：對于簡單隨機樣本，在大多數(shù)情況下，當樣本容量足夠大時，這種估計是合理的

.(1)如何估計某城市所有家庭一年內(nèi)平均丟棄的塑料袋個數(shù)？

(2)在檢查甲、乙兩種棉花的纖維長度時，如何估計哪種棉花的纖維長度比較整齊？可以進行簡單隨機抽樣，

然后用樣本去推斷總體.

由于簡單隨機樣本客觀地反映了實際情況，能夠代表總體，因此我們可用簡單隨機樣本的平均數(shù)與方差分別去估計總體的平均數(shù)與方差.

同樣，我們可以從甲、乙兩種棉花中各抽取一定量的棉花，分別統(tǒng)計它們的纖維長度的方差，再用這兩個方差分別去估計這兩種棉花纖維長度的整齊性，方差小的棉花品種整齊性較好.

例如，我們可以從某城市所有家庭中隨機抽取一部分家庭，統(tǒng)計他們在一年內(nèi)丟棄的塑料袋個數(shù)，然后求出它們的平均值，再用這個平均值去估計該城市所有家庭一年內(nèi)平均丟棄的塑料袋個數(shù).問題：果園里有100棵梨樹，在收獲前，果農(nóng)常會先估計果園里梨的產(chǎn)量．你認為該怎樣估計呢？梨的個數(shù)？每個梨的質(zhì)量？（1）果農(nóng)從100棵梨樹中任意選出10棵，數(shù)出這10棵梨樹上梨的個數(shù)，得到以下數(shù)據(jù)：154，150，155，155，159，150，152，155，153，157．你能估計出平均每棵樹的梨的個數(shù)嗎？所以，平均每棵梨樹上梨的個數(shù)為154．梨的質(zhì)量x/kg0.2≤x＜0.30.3≤x＜0.40.4≤x＜0.50.5≤x＜0.6頻數(shù)416812（2）果農(nóng)從這10棵梨樹的每一棵樹上分別隨機摘4個梨，這些梨的質(zhì)量分布如下表：能估計出這批梨的平均質(zhì)量嗎？所以，平均每個梨的質(zhì)量約為0.42kg．樣本估計總體；用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)．（3）能估計出該果園中梨的總產(chǎn)量嗎？思考：這個生活中的問題是如何解決的，體現(xiàn)了怎樣的統(tǒng)計思想？所以，該果園中梨的總產(chǎn)量約為6468kg．154×100×0.42=6468

某農(nóng)科院在某地區(qū)選擇了自然條件相同的兩個試驗區(qū)，用相同的管理技術(shù)試種甲、乙兩個品種的水稻各100畝．如何確定哪個品種的水稻在該地區(qū)更有推廣價值呢？2.根據(jù)方差做決策

為了選擇合適的稻種，我們需要關(guān)心這兩種水稻的平均產(chǎn)量及產(chǎn)量的穩(wěn)定性（即方差）．于是，待水稻成熟后，各自從這100畝水稻隨機抽取10畝水稻，記錄它們的畝產(chǎn)量（樣本），數(shù)據(jù)如下表所示：種類每畝水稻的產(chǎn)量/kg甲865885886876893885870905890895乙870875884885886888882890895896這10畝甲、乙品種的水稻的平均產(chǎn)量分別為：

由于這10畝水稻是簡單隨機抽取的，因此可以分別用這10畝水稻的平均產(chǎn)量去估計這兩種水稻大面積種植后的平均產(chǎn)量.

由于在試驗區(qū)這兩種水稻的平均產(chǎn)量相差很小，從而我們可以估計出大面積種植這兩種水稻后的平均產(chǎn)量也應(yīng)相差很小，所以，單從平均產(chǎn)量這一角度來考慮，我們還不能確定哪種水稻更有推廣價值.因此，我們還需考慮這兩種水稻產(chǎn)量的穩(wěn)定性.利用計算器，我們可計算出這10畝甲、乙品種水稻產(chǎn)量的方差分別為129.6，59.09.由于59.09<129.6，即s乙2<s甲2

.

因此我們可以估計種植乙種水稻的產(chǎn)量要比種植甲種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定.

從而我們可以得出：在該地區(qū)，種植乙種水稻更有推廣價值.例

一臺機床生產(chǎn)一種直徑為40mm的圓柱形零件，在正常生產(chǎn)時，生產(chǎn)的零件的直徑的方差應(yīng)不超過0.01.如果超過0.01，則機床應(yīng)檢修調(diào)整.

下表是某日8：30-9：30及10：00-11：00兩個時段中各隨機抽取10個零件量出的直徑的數(shù)值(單位：mm)8:30—9:304039.840.140.239.840.140.240.239.839.810:00—11:00404039.94039.940.24040.14039.9試判斷在這兩個時段內(nèi)機床生產(chǎn)是否正常.

8:30—9:304039.840.140.239.840.140.240.239.839.810:00—11:00404039.94039.940.24040.14039.9

8:30—9:304039.840.140.239.840.140.240.239.839.810:00—11:00404039.94039.940.24040.14039.9

類似地，我們可以推斷在

10:00

—11:00

這段時間內(nèi)該機床生產(chǎn)正常.

由于隨機抽取的

8:30

—

9:30

這段時間內(nèi)生產(chǎn)的10個零件的直徑的方差為

0.03

，遠遠超過

0.01

的界限，因此我們可以推斷在這段時間內(nèi)該機床生產(chǎn)不正常.先計算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，再利用樣本方差來估計總體數(shù)據(jù)的波動情況．（1）在解決實際問題時，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動大?。讲钤酱?，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，可用樣本方差估計總體方差．（2）運用方差解決實際問題的一般步驟是怎樣的？1．為了讓人們感受丟棄塑料袋對環(huán)境造成的影響，某班環(huán)保小組的六名同學記錄了自己家中一周內(nèi)丟棄的塑料袋的數(shù)量，結(jié)果如下(單位：個)：33，25，28，26，25，31.如果該班有45名學生，那么根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，估計本周全班同學各家總共丟棄塑料袋的數(shù)量約(

) A．900個 B．1080個 C．1260個 D．1800個C2.某特警部隊為了選拔“神槍手”，舉行了1000米射擊比賽，最后甲、乙兩名戰(zhàn)士進入決賽．在相同條件下，兩人各射靶10次，經(jīng)過統(tǒng)計計算，甲、乙兩名戰(zhàn)士的總成績都是99.68環(huán)，甲的方差是0.28，乙的方差是0.01，則下列說法中，正確的是(

)A．甲的成績比乙的成績穩(wěn)定 B．甲、乙兩人成績的穩(wěn)定性相同C．乙的成績比甲的成績穩(wěn)定 D．無法確定誰的成績更穩(wěn)定C3．小辰家買了一輛小轎車，小辰連續(xù)記錄了七天中每天行駛的路程：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天路程(千米)36292740437233請你用學過的統(tǒng)計知識解決下面的問題：(1)小辰家的轎車每月(按30天計算)要行駛多少千米？

解：4.74×8×1200×12÷100＝5460.48≈5500(元)．故小辰家一年的汽油費用大約是5500元．3．小辰家買了一輛小轎車，小辰連續(xù)記錄了七天中每天行駛的路程：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天路程(千米)36292740437233請你用學過的統(tǒng)計知識解決下面的問題：(2)若每行駛100千米需汽油8升，汽油每升4.74元，請你算出小辰家一年(按12個月計算)的汽油費用大約是多少元？(精確到百元)4．甲、乙兩臺包裝機同時包裝質(zhì)量為500克的白糖，從中各隨機抽出10袋，測得實際質(zhì)量如下(單位：g)：

甲：501

500

503

506

504

506

500

498

497

495

乙：503

504

502

498

499

501

505

497

502

499 (1)分別計算兩個樣本的方差；解：∵x甲＝(501＋500＋503＋506＋504＋506＋500＋498＋497＋495)÷10＝501(g)，x乙＝(503＋504＋502＋498＋499＋501＋505＋497＋502＋499)÷10＝501(g)，

∴s甲2＝12.6，s乙2＝6.4；

解：∵s甲2＞s乙2，

∴乙包裝機包裝的質(zhì)量比較穩(wěn)定．

4．甲、乙兩臺包裝機同時包裝質(zhì)量為500克的白糖，從中各隨機抽出10袋，測得實際質(zhì)量如下(單位：g)：

甲：5