2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的切線的證明》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，在VABC中，AB=AC,以AB邊為直徑作。交3C于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OE1AC

于點(diǎn)E,ED,48的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：EF是。的切線；

⑵若防=4,且sinF4，求。的半徑與線段AE的長(zhǎng).

2.如圖，。是VA5c的外接圓，AB是＞。的直徑，點(diǎn)。為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連

接CD,若ZBCD=ZA,

⑴求證：直線。是。的切線;

(2)若AC=2BC,AD=6,求。的半徑.

3.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。，連接AC,尸是2c的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作班〃AC且

與AF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,AE與8C相交于點(diǎn)尸，連接AC.

⑴求證：BE是。的切線.

(2)求學(xué)的值.

4.如圖，為是。。直徑，弦。交于點(diǎn)E,ZBAC=2ZABD,過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線,

垂足為點(diǎn)尸，連結(jié)”，BC.

(備用圖)

(1)求證：DE是。的切線.

(2)求證：△38為等腰三角形.

(3)若r=3,DF=g壺，求AF的長(zhǎng).

5.如圖，A8是C。的直徑，點(diǎn)。在射線剛上，點(diǎn)。是。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)5作班_LDC

于點(diǎn)E,8c平分—A3E.

(1)求證：直線。C是。的切線；

⑵若DC=8,DA=4,求AB的長(zhǎng).

6.如圖，VABC內(nèi)接于：O,是。的直徑，過(guò)。作CCAB交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

8交AC于點(diǎn)E、尸是線段OE的中點(diǎn)，連接CF.

(1)求證：W是。的切線；

(2)若03=3,BC=2,求CV的長(zhǎng).

7.如圖，在菱形A5CD中，AE是邊BC上的高，以AE為直徑的。分別交AB,AC于

點(diǎn)F,G,連接尸G.

⑴求證：AD是。的切線；

(2)求證：AG=FG.

8.如圖，以線段為直徑作。，交射線AC于點(diǎn)0,AD平分NC4B交。于點(diǎn)。，

過(guò)點(diǎn)。作直線DE1AC于點(diǎn)E,交村的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接勖并延長(zhǎng)交射線AC于

點(diǎn)

M

(1)求證：直線。E是。的切線；

(2)若AE=5,tan//=(,求。的半徑.

9.如圖，在VA2C中，AB=BC,以8C為直徑作0,交AC于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)Z)作時(shí)_L于點(diǎn)?

(1)求證：DF是。的切線；

⑵若4￡)=26(O的半徑為5,求AF的長(zhǎng).

10.如圖1,將RtA4BC的頂點(diǎn)。放在。上，邊BC馬。相切于點(diǎn)C,邊AC與。交

于點(diǎn)D.已知ZfiC4=60。，IB90?,BC=6,。的半徑為4.從圖1的位置開(kāi)始，

將VA5c繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為40。＜。＜360。).

⑴如圖2,當(dāng)AC恰好經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，求證：A3是。的切線；

(2)如圖3,若夕=20。時(shí)，邊BC與。的另一交點(diǎn)為E,求CE的長(zhǎng).

11.如圖，AB為。的直徑，。為1。上一點(diǎn)，連接AC,BC,。為A3延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，連接8,且4CD=ZA.

c

(1)求證：。是。的切線；

(2)若。的半徑為逐，VABC的面積為26，求8的長(zhǎng)；

⑶在(2)的條件下，E為。上一點(diǎn)，連接CE交線段0A于點(diǎn)尸，若基=；，求所

CrZ

的長(zhǎng).

12.如圖①，獨(dú)輪車俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，是交通運(yùn)輸工具史上的一

項(xiàng)重要發(fā)明，至今在我國(guó)農(nóng)村和一些邊遠(yuǎn)地區(qū)仍然廣泛使用.如圖②所示為從

獨(dú)輪車中抽象出來(lái)的幾何模型.在VASC中，以VA5c的邊AS為直徑作。，交

4。于點(diǎn)P,4=NC,且垂足為點(diǎn)D.

(1)求證：PD是。的切線；

⑵若3D=2,ZC=30°,求弧BP的長(zhǎng).

13.如圖M=AC,點(diǎn)。在A3上，。過(guò)點(diǎn)8,分別與“AB交于過(guò)。作O/LAC

于尸.

(1)求證：DF是。的切線；

(2)若AC與。相切于點(diǎn)G,4c=8(尸=1,求。的半徑.

14.如圖，A8是。的直徑，AC,3c是弦，過(guò)點(diǎn)。作。D〃3c交AC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A

作。的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)乙連接尸5

P

(1)求證：PC是。的切線；

(2)如果4=2/CPO,OD=\,求PC的長(zhǎng).

15.如圖，，。為VA5C的外接圓，。是A8的中點(diǎn)，連接OC交A8于點(diǎn)。，延長(zhǎng)"至

點(diǎn)E,使得AC平分㈤B.

⑴求證：直線4召是。的切線.

(2)若，。的半徑為5,AB=8,求AC的長(zhǎng).

（3）在（2）的前提下，點(diǎn)尸在。上，》中的內(nèi)心G在"邊上，求BG的長(zhǎng).

參考答案

1.⑴見(jiàn)解析

（2））。的半徑為6,AE=:

【分析】（1）連接8,利用等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，平行線的判

定與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；

（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系定理列出比例式即可求得圓的半徑，利用相似

三角形的判定和性質(zhì)列出比例式即可求得入￡的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：連接“，如圖，

/.ZABC=ZC.

OB=OD,

.\ZOBD=ZODB.

ZODB=ZC.

：.OD//AC,

DE1AC,

:.OD±DE.

OD是。的半徑,

??.EF是。的切線;

(2)解：在R3OD尸中，

sinF=,OB=OD,

OF5

?OD3

**OD+4~59

:.OD=6.

即。的半徑為6.

OB=OA=OD=6,

.?.”=7^+05+04=4+6+6=16,

FO=BF+OB=10.

OD1EF,AE±EF,

/.OD//AE,

/./\F0D^/\FAE,

.OD_F0

'AE-FA

?6JO

,^E~i69

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，同

圓的半徑相等，平行線的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線.

2.(1)證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、相似三

角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定是解題關(guān)鍵.

(1)連接OC,先根據(jù)圓周角定理可得ZACB=90。，從而可得ZACO+N3co=90。，再

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得4co=4，則4CD+/BCO=90。，然后根據(jù)圓的切線的

判定即可得證；

(2)先證出△BCDs^CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得。=3,2。=|,再根據(jù)線段

的和差可得的長(zhǎng)，由此即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接”，

/.ZACB=90°,

NACO+N5co=90。，

,/OA=OC,

：.ZACO=ZA,

：.ZA+ZBCO=90°,

?/ZBCD=ZA,

：.ZBCD+ZBCO=90°,

NOCD=90。,BPOC±CD,

又Yoe是。的半徑，

；?直線8是,0的切線.

(2)解：在ABCD和C4D中,

fZBCD=ZA

]ZD=ZD'

ABCDs^CAD,

?BCBDCD

??就一而一AO，

?/AC=2BC,AD=69

?BDCD_1

??~CD~~6~2'

i3

/.CD=3,BD=-CD=-

229

39

/.AB=AD-BD=6——

22

???。的半徑為=

3.⑴見(jiàn)解析

（2）4

【分析】（1）連接。/利用圓周角定理，平行線的性質(zhì)，圓的切線的判定定理解

答即可;

（2）過(guò)點(diǎn)尸作PHLAC,先由角平分線的性質(zhì)得出=再證明V/WC是等腰直

角三角形，再求解即可.

【詳解】（1）證明：連接。/

四邊形A5CD是正方形,

ZBAC=ZABO=45°9

尸是BC的中點(diǎn),

SF=GF,

.\ZBAE=ZCAE=22.5°,

BE〃AC,

/.ZBEA=ZCAE=22.5°,

/.ZBEA=ZBAE=22.5°,

/.ZABE=180。—2x22.5°=135。，

ZOBE=ZABE-ZABO=135°-45°=90°,

,\OD.LBE,

Q08是。的半徑,

??BE是。的切線;

(2)解：過(guò)點(diǎn)尸作尸

AE平分/3AC,PB±AB,PH1AC,

;.PB=PH,

四邊形AS。是正方形,

.-.ZACB=45°,

是等腰直角三角形,

PH_172

PB_^2

"~CP~^2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的判定，角平分線的性質(zhì)及正

方形性質(zhì)，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線.

4.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

2

【分析】此題重點(diǎn)考查等膘三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的

判定、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較

大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)。作直線AC的垂線，垂足為點(diǎn)尸，所以"=90。，由8=03,得

ZODB=ZABD,推導(dǎo)出ZAOD=2ZABr),ZBAC=2ZABD,所以ZAOD=,則C?〃AC,

求得Z.ODF=180。-NF=90。，即可證明DF是C。的切線；

(2)延長(zhǎng)DO交3C于點(diǎn)L,由A3是：。的直徑，得ZACB=90。，可證明AC〃小，則

ZOLB=ZODF=90°,所以“垂直平分BC,則加=8,所以ABCD為等腰三角形；

(3)作O"_LAC于點(diǎn)可證明四邊形。尸CL和四邊形owa都是矩形，則

OH=CL=DF=3歷,所以皮=CL=］夜，而O5=8=r=3,由勾股定理得祝=布京=密=：,

則CH=OZ=g,DL=OD+OL=^,求得AC=2Cf/=1,CF=DL=^,所以AF=C尸-AC』|.

【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)。作直線AC的垂線，垂足為點(diǎn)。

:.ZF=90°,

OD=OB,

:.ZODB=ZABD,

:.ZAOD=ZODB+ZABD=2ZABD,

ZBAC=2ZABD9

.\ZAOD=ZBAC,

:.OD//AC,

Z.ODF=180°-ZF=90°,

OD是。的半徑，且0UOD,

:.DF是:。的切線.

(2)證明：延長(zhǎng)。。交BC于點(diǎn)L,

筋是，。的直徑，

.\ZACB=90°,

.".ZACB+ZF=180°,

/.AC//DF,

ZOLB=ZODF=90°,

:.OL工BC,

：.BL=CL,

“垂直平分BC,

/.BD=CD,

△BC。為等腰三角形.

(3)解：作。"_LAC于點(diǎn)H,則A"=C"

ZF=/FCL=ZDLC=NOHC,

二四邊形DFCL和四邊形OHCL都是矩形，

:.OH=CL=DF=-42,

3

.-.BL=CL=-y/2,

3

,ZOLB=90°,OB=OD=r=3,

OL=siOB2-BI3=J32-(|V2)2=1,

：.CH=OL=-,DL=OD+OL=3+-=—,

3'33'

714

AC=2CH=2x-=—,

33'

CF=DL=—,

3，

.,AF=CF-AC=^=1

??."的長(zhǎng)為，

5.⑴見(jiàn)解析

(2)12

【分析】本題考查的是切線的判定、勾股定理、平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),

掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可得”=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線得出=

證明OC〃3E,得出NOCZ)=NE=90。，即可證明.

(2)在△COD中根據(jù)勾股定理求出04=6,即可求解.

【詳解】(1)證明：???BESC于點(diǎn)E,

/.4=90°,

,/OC=OB,

：.ZOCB=ZABC,

3c平分/ABE,

/.ZEBC=ZABC,

ZOCB=NEBC,

：.OC//BE,

：.NOCD=NE=90°,

「OC是：。的半徑，且。CLOC,

直線DC是。的切線.

(2)解：VDC-+OC-=OD2,且DC=8,DA=4,OC=OA,

82+(9A2=(4+(M)2,

解得:0A=6,

/.AB=2OA=129

???AB的長(zhǎng)為12.

6.⑴見(jiàn)解析

S、21\/2

()8

【分析】(1)證明NOb=90。，則。CLbC,由OC是。的半徑即可得到結(jié)論；

(2)利用勾股定理求出AC=dAB2-BC2=4e,證明ABC^DBC,求出OD=60,再

證明ABCsAEO,求出OE=羋，由C/=代入即可得到答案.

42

【詳解】(1)證明：:AB為。的直徑

ZACB=90°,

:?ZDCE=90°,

???點(diǎn)尸是。E的中點(diǎn),

/.DF=FC=FE,

/FCE=/FEC,

?.?DO±AB,

：.ZEOA=90°,

/.ZOEA+ZOAE=90°,

OC=OA9

ZOCA=ZOAE9

又ZFEC=ZOEA,

/.ZFCE=ZOEA,

：.ZFCE+ZOCA=90°,即ZOCF=90°,

：.OC1CF.

,.,oc是。的半徑，

C尸是。的切線；

(2)解：?.?08=3,

AB=2OB=6,

?/BC=2,ZACB=90°,

AC=^AB2-BC2=472，

?/ZAOE=ZACB=90°,ZA=ZA9

/.ZOEA=ZB,

NFEC=/OEA,

?二/FEC=ZB,

/BOD=/DCE=90。,

/.ABCsDBC,

?BCAC

??麗一而'

?2_4A/2

??一二，

3OD

??OD=6A/2,

?.?ZAOE=ZACB=90°,ZA=ZA9

ABCsAEO,

?BCAC

**~OE~~OA9

.24A/2

??-=---，

OE3

?"_3四

4

DE=OD-OE=^^,

4

;點(diǎn)尸是桃的中點(diǎn)，ZDCE=90°,

???CF=1—八DE.=2-1母--.

28

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

7.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到4V/3C，求出心，隹，然后由直徑得到AD

是。的切線；

(2)連接GE,首先得到ZAEG=ZACB,然后由AG=AG得到ZAFG=ZAEG=ZAC3,然

后結(jié)合菱形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】(1)證明：四邊形A5CD是菱形，

.-.AD//BC.

AE1BC,

:.AD±AE.

又AE為的直徑，

3是(。的切線.

(2)證明：如圖1,連接宓，

D

陽(yáng)田,AE是Q的直徑，

E

圖1

ZAEC=90°,ZAGE=NCGE=90°,

:.ZAEG+ZCEG=ZACB+ZCEG=90°,

即ZAEG=ZACB.

又AG=AG,

ZAFG=ZAEG=ZACB.

四邊形ABC。是菱形，

AB=BC,

貝Ij/&1C=ZACB,

ZBAC=ZAFG,AG=FG.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓與四邊形綜合題，切線的判定，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，

掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.⑴見(jiàn)解析

⑵奐

,"18

【分析】（1）連接“，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到⑦，根據(jù)角平分線

的定義得到NO3NDAC,證明8//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE人8,根據(jù)切

線的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)垂直的定義得到ZAEF=90。，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到防=12,根據(jù)勾股

定理得到=〃爐+92=13,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接

/.ZODA=ZOAD,

,/AD平分/C4B,

/.?OAD?DAC,

ZODA=ZDAC,

/.OD//AC,

*/DE，AC,

/.DE八OD,

?「O。是。的半徑，

???直線。石是。。的切線;

9

(2)解：：DE±AC9

：.ZAEF=90°9

AE=5,/anZF=,

EF12

「?￡F=12,

/.AE=^AE2+EF2=13，

VAE±EF,OD工EF,

/.AE//OD,

/.AODFS^AEF,

?OPOF

*AE-AF

.OD13-OD

??可=13'

???8?，

即。的半徑為興

lo

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)，解直角三角形，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是

圓的切線是解題的關(guān)鍵.

9.⑴見(jiàn)解析；

(2)AF=2.

【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得N8C="=〃，則可證明。。〃鈿，然后根據(jù)平

行線的性質(zhì)可得出8，。尸，最后根據(jù)切線的判定即可得證；

(2)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出403=90。，在RtaABD中，根據(jù)勾股定理

可求出的，然后根據(jù)等面積法求出最后在母仞尸中根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接“，

則OD=OC,

:.ZODC=ZC

AB=BC,

:.ZA=ZC,

：.ZODC=ZA9

:.OD//AB.

/方，AB于點(diǎn)F,

：.ZAFD=90°,

：.ZODF=ZAFD=90°,gpOD±DF.

0。是(。的半徑,

.?刀匠是C。的切線.

(2)解：如圖，連接

BC是的直徑,

ZBDC=90°,BPBDLAC.

AB=BC,。的半徑為5,

AB=BC=10,CD=AD=2^5

在RtABCD中，由勾股定理，得BD=屈匚*=何下同=4召.

-ADBD=-ABDF,

22

:DF=^BD=

AB

AF=\lAD2-DF2=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓與等腰三角形.正確引出輔助線，熟練掌握直徑所對(duì)的圓

周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，面積法求三角形的高

是解題的關(guān)鍵.

10.(1)見(jiàn)解析

(2)y

【分析】本題主要考查了切的判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求

弧長(zhǎng)，

對(duì)于（1）,作。尸，相，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得AC=2BC,即可知A。，再直角三

角形的性質(zhì)得。F=。。，然后根據(jù)。尸是。的半徑可得答案；

對(duì)于（2）,先求出/OCB=70。，再根據(jù)OE=OC,可得/0后。=/0應(yīng)=70。，進(jìn)而求出40。，

最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出答案.

【詳解】（1）解：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)尸，

AC=2BC=2x6=12,

.?.AO=12—4=8,

.-.0F=10A=1x8=4=0C,OF是。的半徑,

.：AB是。的切線；

（2）解：如圖3,連接OC,OE,

夕=20。時(shí)，NOCB=70°,

又OE=OC,

:.NOEC=NOCE=70°,

ZEOC=180°-ZOEC-NOCE=40°,

.倍的長(zhǎng)為他上=世

??CQi-ijyn]809,

IL(1)見(jiàn)解析

(2)CD=26

(3)BF=V5+1

【分析】(1)連接OC,由AB為。的直徑，可得ZA+N/RC=90。，再證明/ABC=/3CO,

結(jié)合已知4a>=",可得"CD=90。，從而得出結(jié)論;

(2)過(guò)。作)"于"，連接OC,利用VABC的面積為26求出C"的長(zhǎng)，禾I」用

勾股定理求出?！钡拈L(zhǎng)，證明DCM'COM,得到星=%，即可得出。的長(zhǎng);

(3)過(guò)。作西1加于過(guò)E作于",連接。E,根據(jù)垂直得到ff=等=累

CJTC/VZIVlr

從而得到會(huì)=累=：,利用勾股定理求出川的長(zhǎng)，設(shè)m=X,則他=2x,由A8=2石

C/KZiVlrZ

可得：BM+MF+HF+AH=2y[5,求出心的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖:

。的直徑,

OB=OC,

ZABC=ZBCO,

又4co=ZA,

:.NBCD+NBCO=90°,即ZDCO=90°,

s.OCLCD,

是「。的切線;

(2)過(guò)。作)，怒于連接oc,如圖:

。的半徑6,

AB=2逐，

MC的面積為2行，

:.^ABCM=245,即:x2行CM=2后

CM=2,

在RtMOC中，0M=yj0C1-CM-=1

ZDMC=ZCMO=90°,ZCDM=90°-ZDCM=ZOCM,

.DCMs^cOM,

CDCMcr>_2

.女=而，H即n不=「

,CD=2y/5;

(3)過(guò)。作〃，居于V,過(guò)￡作出口鉆于H,連接?！?如圖:

CMLAB,EHLAB,

CFCMMF

EF1

CF2

HEHFI

"CM~MF~2

由(2)知CM=2,BM=45-1

:.HE=1,MF=2HF,

RtAOEH中，OH=^OE--HE1=J(廚-I2=2

AH=OA-OH=y/5-2

設(shè)HF=x,貝ljAlF=2x,

由AB=26可得：BM+MF+HF+AH=2y[5

.?.(V5-l)+2x+x+(V5-2)=2>/5

解得：x=L

:.HF=1,MF=2,

BF=BM+MF=-1^+2=y/5+1,

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合知識(shí)，涉及切線的判定、三角形面積、三角形全等及

相似的判定和性質(zhì)、勾股定理等，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相

似或全等三角形.

12.⑴見(jiàn)解析

(24*

【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角并結(jié)合已知可得出4=/OB4=/C,則可證明。//3C,

再關(guān)鍵平行線的性質(zhì)得出。尸，尸〃最后根據(jù)切線的判定即可得證；

(2)根據(jù)圓周角定理求出40尸=60。，證明VP03是等邊三角形，得出尸8=80,在

RtZXMD中，根據(jù)含3。。角的直角三角形的性質(zhì)求出尸3,最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即

可.

【詳解】(1)證明：連接。尸，如圖

c

p

JPD±BC，

/.ZPDC=90°,

OA=OP,

:.ZA=ZOPA,

ZA=ZC,

:.ZOPA=ZC,

:.OP//BC,

ZOPD=NPDC=90°,

:.OP±PD,

又丁OP為半徑，

二?PQ是。的切線；

(2)解：連接心，如圖，

,ZA=ZC,ZC=30°,

.-.Z4=30°,

/.ZPOB=2ZA=2x30。=60°,

OP=OB

??.P05為等邊三角形，

:.PB=OP,ZOPB=60°9

由(1)得“叫=9。。，

.../階。=90。-60。=30。

PD1BC,

:.PB=2BD=2x2=4,

：.OP=PB=4,

???弧族的長(zhǎng)=黑盧=:兀.

loU3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì),

圓周角定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見(jiàn)解析

(2)3

【分析】(1)連接連接由ZC=ZB,得NODB=NC,則8〃AC,所

以N8尸=180O-ZAFD=90。，即可證明。尸是：。的切線;

(2)連接連接OG,可證明四邊形。次燈是正方形，貝產(chǎn)3=。3=。￡>=。尻4>。3=90。,

設(shè)尸G=OG=C?=r,則AG=8-「r=7-r,ft4=8-r,由勾股定理得AG。+OG。=。田，求得

半徑廠即可.

【詳解】(1)證明：連接“，則8=03.

：./ODB=/B.

AB=AC,

:./C=/B.

ZODB=ZC.

:.OD//AC.

DFYAC,

..ZAFD=90°.

NODF=1800-ZAFD=90°.

是。的半徑，且用，OQ,

是。的切線.

(2)解:連接OG,

AC與。相切于點(diǎn)G,

:.AC±OG.

ZOGF=ZODF=ZGFD=90°.

，四邊形。國(guó)G是矩形，

OG=OD.

???四邊形。。回G是正方形.

/.FG=OG=OD=OB,/DOG=90°.

設(shè)/G=OG=O5=r,

AB=AC=8,CF=1,

AG=8—1—r=7—r,OA=8—r.

.ZOGA=90°

AG2+OG2=O^.

/.(7-r)2+r2=(8-r)2.

解得｛=3,4=-5（不符合題意，舍去）.

故。的半徑為3.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、

正方形的判定與性質(zhì)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.(1)證明見(jiàn)解析

(2)273

【分析】(1)連接OC,可證明。。是AC的垂直平分線，從而得出”=CP,進(jìn)而證

明VPCO式VPAO,可得至ljNPCO=NPAO=90。，進(jìn)一步得出結(jié)果；

(2)可證明ZDAO=/CPO,進(jìn)而得出ZAPO=NZMO=30。，在RtA4PO中求出AP,進(jìn)而

得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖，連接0C,

P

ZPAO=90°.

「48是（。的直徑，

ZACB=90°.

.*OD//BC,

ZADO=ZACB=90°.

：OA=OC,

CD=AD,

二OP是線段AC的垂直平分線,

?AP=CP.

OP=OP9

/.PC。空心o(sss),

，ZPCO=ZPAO=90°,

???點(diǎn)。在。O上，

??.PC是。的切線.

(2)解：由(1)得：VPCO^VPAO,

/.ZAPO=ZCPO.