三角形的垂心與應(yīng)用

一.基本原理

(1)三角形三條高線的交點(diǎn).

—>fff—>—>

(2)垂心為。oOAOB=OBOC=OCOA

(3)垂心性質(zhì).

點(diǎn)H是△被7所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HAHB=HBHC=HCHA。點(diǎn)H是△放的垂心.由

HAHB=HBHC^HB(HC-HA)=O^HBAC=O^HBLAC,

同理詼_L贏，豆，前.故〃是△胸的垂心.(反之亦然(證略))

(4)布里安香定理：

若AA5C的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)肛=相的圖像上，則AABC的垂心也在反比例函數(shù)的圖像

上.

證明：由于點(diǎn)A、3在反比例函數(shù)盯="(7"。0)的圖像上，所以乙力=加，4方=根.

mmm(xR-x4)

故%-％=-------一"，貝!l、，、，m、，一

/XBXXk-yA-y_m_yy

ABKAB-B--AB

XA-XBXAXBm

ZTZT*Y

由于&B=------,則過(guò)點(diǎn)C與直線AB垂直的直線心的斜率為"弛，所以4為:

XAXBm

xAxBx-myXAXBXC-myc.同理，過(guò)點(diǎn)5且與直線AC垂直的直線4為

—my=xAxBxc-myB.聯(lián)立lB.lc的方程解得

XH=號(hào)匹一工=———，yH=-//%=----2,故XR丁舊=機(jī)，即垂心H也

XXXXXXm

AIB-C)ABCyAyByc

在反比例函數(shù)圖象上.

二.典例分析

例1.設(shè)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

(ABAC

OP=OA+A-------------------1--------------------,Ae[0,+oo),則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)VABC的(

、IAB\cosB|AC|cosC

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

z、

ABBCACBC

解析：OPBC=OABC+A+=OABC+A-\BC\+\BC\\=OABC,

|AB|COSB|AC|cosCjv117

則OP8C-O4BC=0，即APBC=O，故AP_L3C,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)VABC的垂心.

故選：C.

例2.若曲線E：丁=4尤上一點(diǎn)A(x°,4),是否存在直線，"與拋物線E相交于兩不同的點(diǎn)

B,C,使VABC的垂心為"(8,0).則直線〃?的方程為.

解析：把A(%,4)代入/=4x中，得42=4%=＞毛=4,即4(4,4),假設(shè)存在直線m與拋物

線E相交于兩不同的點(diǎn)民C,使VABC的垂心為“(8,0),設(shè)2(辦％),C(x2,%)顯然直線

1

的斜率為黑=-1,則直線"的斜率為1,設(shè)直線機(jī)的方程是"由y=4x

y=x+b

消去x化簡(jiǎn)得：丁2_4〉+4/?=0,/.%+%=4，乂，%=44A=16—16/?＞。，即人＜1.VABC

的垂心為H(8,0),??.ACLBH^ACBH=(%—8)(x2-4)+^(%—4)=0.即

22

xxx2-4xj-8X2+yry2-4^+32=0,2L22_4(_8(_^)+_4^+32=0

16

22

...必必+%%―8(%+%)+128+32=0,:.b2+16b=0,「2=0或人=—16.當(dāng)Z?=0時(shí)，直線加

16

的方程是丫=》，過(guò)點(diǎn)4(4,4),不合題意，舍去，???存在這樣的直線機(jī)，其方程是

y=x-16=無(wú)一y-16=0,故答案為：x-y-16=0

例3.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般

好，隔離分家萬(wàn)事休”.數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切

的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.而向量正是數(shù)與形”溝通的

橋梁”.在VABC中，試解決以下問(wèn)題：

⑴G是三角形的重心(三條中線的交點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)G作一條直線分別交相,AC于點(diǎn)

(i)記A8=a,AC=6,請(qǐng)用a,b表示AG;

(ii)AM=mAB,AN=nAC,求m十幾的最小值.

(2)已知點(diǎn)。是VA3c的垂心(三條高的交點(diǎn))，^.AO=-AB+-AC,求cos/B4c.

43

解析：(1)(i)記BC的中點(diǎn)為。，連接￡>G,則AO=g(4B+AC)=g(a+6),由重心性

質(zhì)可知，AG=—AD,所以AG=萬(wàn)(。+6)=§。+①.

(ii)因?yàn)?M=〃zA及⑷V=wAC,所以A8=LAM,AC=，A/V,代入①得

mn

AG=^x-AM+^x-AN,因?yàn)镸,N,G三點(diǎn)共線，所以，-+3=1,由題意可知，

3m3n3m3n

x±2nm2.4

m,ner1,所以加+〃=(加+〃)+=—l---+——>-+2r當(dāng)且僅當(dāng)

3m3n33m3〃3

24

相=〃=§時(shí)，等號(hào)成立，所以根+〃的最小值為彳.

(2)

11.31-

因?yàn)锳O=—aH—b,所以5O=AO—A5=—d-\—b,由垂心定義可知，

4343一

AO-BC-0,BO-AC=0,所以AO(AC—A5)=+=——^2+—Z?2———a-b=0

viJj?jJ.乙

②，BO?AC=J"+，z46=-a?6+與2=o③，聯(lián)立②③可得閭=也同z?=3a2,

143)43II8118

3_2

一Cl

所以cos/BAC=,8_7|

dx3a

\af\\^\~~6-

22

例4.已知雙曲線C：二-2=l(a,b>0)的離心率為&,直線乙：y=2x+4-與雙曲線C

ab

僅有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程

⑵設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為A,直線，2平行于4,且交雙曲線c于M,N兩點(diǎn)，求證：AMN

的垂心在雙曲線C上.

解析：(1)因?yàn)殡p曲線C的離心率為后，所以9^=2,即/=〃，所以雙曲線c的方

程為x2-*y2=a2

y出

=2%+4,消去得（可=〃，即

聯(lián)立直線4與雙曲線。的方程yx2-2x+4

x2-y2=a2

（可『+16（、a）+/+48=0,因?yàn)?與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以

22

=0,解得/=16,故雙曲線C的方程為二-工=1.

1616

y=2x+m,

（2）設(shè)4：y=2x+機(jī)（加工4班），Af（x,,^）,N（X2，%）則M、N滿足

x2-y2=16,

4n?2]6

消去J7得3x2+4mx+加N+16=0,所以玉+/=，xix2=—~—，如圖所不，過(guò)A引MN

20

>2=16得3/-8》-80=0,即x=T（舍去）或了=可

乃卜+與）

所以點(diǎn)H為（多―所以=3（2%+m）（2x2+m）+16（2x2+m）

（%2+4）（玉（3再-20）（%2+4）

12x^2+6根々）+32%+3m2+16m4（療+16）-8蘇+3m2+16瓶+32%

2

3再兀2+12（/+々）—32%-80m+16-16m-32x2-80

2

—m+16m+32x0+64…lz、r上，▼、,口―

2~~~二一二—1所以故H為AMV的垂心，得證.

m—lorn-32X2-64

三.習(xí)題演練

1.已知雙曲線U/-y2=i,過(guò)H（2,0）的直線/與雙曲線。的右支交于P,Q兩點(diǎn).

⑴若|PQ|=2廂，求直線/的方程,

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)R且垂直于直線/的直線〃與雙曲線。交于M，N兩點(diǎn)，其中〃在雙曲線的右支

上.

(i)設(shè)一尸MN和..QVW的面積分別為力邑，求S1+S2的取值范圍；

(ii)若M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為T(mén),證明：〃為VPQN的垂心，且P,Q,N,T四點(diǎn)共圓.

2.已知焦點(diǎn)在x軸上橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)分別為A,B,。為橢圓的中心，F(xiàn)為右焦點(diǎn),且

AFBF=-1>離心率e=變.

2

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為直線/交橢圓于尸，Q兩點(diǎn),問(wèn)：是否存在直線/,使點(diǎn)尸恰好

為,尸。河的垂心？若存在，求出直線/的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

3.已知雙曲線C：號(hào)_*l(a>0,b>0),A(1,O)為C的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)A到C的一條漸近

線的距離為立a.

2

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若"，N是C上異于A的任意兩點(diǎn)，且AMN的垂心為H,試問(wèn)：點(diǎn)H是否在定曲

線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

1.解析：（1）設(shè)P（4乂）,。（%2，%），結(jié)合題意知直線斜率不為0，設(shè)直線，：％=切+2,因

為直線/與雙曲線右支相交，故聯(lián)立雙曲線方程得

-4m3

m2—l）y2+4my+3=0,A=4（^m2+3）＞0,則%+%=,故

+m2

2=2函，即94*一2477?+7=0,解得根2=；,或

\PQ\=-Jl+m\yl-y2\=

m2-1

（舍去），因此根=±避^,從而直線/的方程為x=±X^y+2.

333

m

4

-4m3-3m2

%+為=^-故

m-111蘇一1'

正T

-m2~

21+3+3

m

\MN\=1%-%|=注意到H+S2=；|MNHPQ|

i-4

m

3+小2［蘇+；1+2丫3療+3+10

2?。ǎ?療）（療+3）2,

m,2

,令

-2m2-l1，病+」一2

mm

t=n^+-^--2G（0,+O?）,貝U

m

2j（f+4）（31+16）2,3d+28r+64。）產(chǎn)+28f+64°I2864

sr=-----------------=--------i-------=2V=2{3+7+M

令〃=；e（0,+co）,S|+S2=243+28〃+64能＞2君,綜上可知，A+S2的取值范圍是

[2后+句.

(ii)先證明M為VPQN的垂心，只需證明A/P.NQ=O,

注意到，MP-NQ=（MR+RP）（NR+RQ）=RP.RQ+MR?NR,而

RPRQ=（與_2,%）.（%—2,%）=（%-2）伍-2）+%%=（療+。,同理

MR-NR=^l+-^y3y4,NQ=（1+根

_3（1+?。?/[1+版[3（1+加）3（加+1）_0,因止匕MPLNQ,又MNLPQ,故M

m2-1m2—1nr—1m2—1

為V尸QN的垂心，因此/NMP+NQP=180,再證明P,Q,N,T四點(diǎn)共圓，即只需證明:

NN7P=/NMP.因?yàn)镸,T關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則

心廣即”=止生?止2”=比土也.止法=至與=1,同理可得心rWNM=l；

Xp—Xq-Xp-X^jXp+XMXp—XMXp一1”

1____

則tan/NZP=kLkpT=L*=>"F”=tanZNMP,即XNTp=/NMP,

1-L.Z-L11_|_k

丁、NT、PT]_1丁、NMAPM

kk

、NMPM

因此NN7P+/NQP=180,因此P,Q,N,T四點(diǎn)共圓.

2.解析：（1）不妨設(shè)A（—a,O）,B（a,O）,X,F（c,O）,AF=（c+a,O）,BF（c-a,O）,

6

2

/.AF-BF=（c+〃,0）?（c-a,0）=02_/=_],又e-----,./_2c2,解得：/=2,c-j,

a2

2222

.-,Z,=a-c=2-l=l,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y+y=l；

⑵由題意知：M（0,1）,則FM，尸。，.即"=4.?.左=1,不妨令P&,%）,Q值,%），

0—1

PFMQ=O

設(shè)直線/為P=x+Z,方為-尸的垂心，「.Pb，MQ,QFA.MP,即

QFMP=O'

即兩式相加,得:

X22?

----Fy=1

2

%+%—2玉%2+弘+%一2%）2=。，聯(lián)立：,2，得:3f+4比+2t-2=0，

y=x+t

4t2t

%+%=--—%+%=H

即A=24-8產(chǎn)>0,解得：，X'■

、、_2r—2、、_t2-2

X1X233

4

代入上式可得：3r+-4=0,解得：§或，=1,當(dāng)"1時(shí)直線/過(guò)點(diǎn)M,不合題意,

直線方程為尸元后4

3.解析：（1）C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V-9=1；

（2）情形一：M,N中沒(méi)有一點(diǎn)為（-1,0）,且直線MN的斜率存在,

設(shè)直線，MN：y=kx+m,M（%,%），N&M,則AM和AN的斜率分別為：

KM=』7,3N=*7,易得邊AM的高線4的斜率為-紅。，方程為：

玉一［入2.1%

y-%=-紅二（x-X?）,即乂丁=（1r）（X—9）+必力,邊AN的高線4的斜率為：勺2=一三二11，

X%

方程為：y2y=（「％）（無(wú)一玉）+另%，

聯(lián)立4,4,消去兒可得x=—+=

%-%+尤2%一百，2

物龍2（%一%）+上（考一工；）+"7（%—占）+4%（西%）_左（%+x2）+m-k（xlx2+yly2）

上（％2一%）+加（入2一%）k+m

+2

）辰2：',（1_左2）尤2_2^1]_機(jī)2_]=0,所以玉+尤2=2kmm+l

聯(lián)UIMN>C匚豆，占龍2

91-k2

m2

y—m22

（）一加）2Tm-k

x=----