5.7切線長(zhǎng)定理（分層提分練）

A

一、單選題

（2024?西藏日喀則?二模）

1.如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA,列?分別切。。于4,3兩點(diǎn)，若P4=6,則尸8=()

A.3B.6C.9D.12

（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）

2.如圖所示，△NBC的內(nèi)切圓。。分別與BC,/C相切于點(diǎn)E,F,且/。=6,

BE=4,CF=8,貝!|A/3C的周長(zhǎng)為（）

A

BE

A.36B.38C.40D.42

（23-24九年級(jí)上?云南昭通?階段練習(xí)）

3.如圖，4B、AC,8。是。。的切線，切點(diǎn)分別是尸.、C、D,若/5=10,4。=6則

的長(zhǎng)是（）

C

BD

A.2B.4C.6D.8

試卷第1頁(yè)，共12頁(yè)

（21-22九年級(jí)下?廣東深圳?周測(cè)）

4.如圖，PA,出切。。于A,8兩點(diǎn)，CD切。。于點(diǎn)E,交P/,PB于C,D.若。。

的半徑為1,的周長(zhǎng)等于26，則線段的長(zhǎng)是（)

A.V3B.3C.2A/3D.3G

（24-25九年級(jí)上?云南昆明?期中）

5.如圖，AB,AC,是。。的切線，切點(diǎn)分別是尸，C,D,若48=5,AC=3,則瓦)

的長(zhǎng)是（）

七

BD

A.4B.3C.2D.1

（24-25九年級(jí)上?遼寧大連?期中）

6.如圖，△ABC與它的內(nèi)切圓。。分別相切于點(diǎn)。、E、r\若△NBC周長(zhǎng)為20,BC=6,

則4D長(zhǎng)為（）

A

BEC

A.8B.6C.5D.4

（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）

7.下列。。中，不能確定標(biāo)=前的是（）

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

（23-24九年級(jí)上?云南昆明?期末）

8.如圖，△4BC的內(nèi)切圓。。與、BC、C4分別相切于點(diǎn)。、E、F且4D=2,BC=5,

則△ABC的周長(zhǎng)為（）.

A.7B.14C.10D.4

（23-24九年級(jí)上?內(nèi)蒙古?階段練習(xí)）

9.如圖，PA,尸8為。。的兩條切線，C,。切。。于點(diǎn)E,分別交尸4PB于點(diǎn)、C,D.F

為上的點(diǎn)，連NRBF,若PA=5,ZP=40°,則△PCD的周長(zhǎng)和N/FB的度數(shù)分別為

（23-24九年級(jí)下?福建泉州?階段練習(xí)）

10.如圖，PA、PB切圓。于/,8兩點(diǎn)，CO切圓O于E,交PA,PB于C、D,若圓

O的半徑為r,△尸CD的周長(zhǎng)等于3r,則tanZAPB的值是（）

試卷第3頁(yè)，共12頁(yè)

二、填空題

（22-23九年級(jí)上?云南昆明?期中）

11.如圖，PA,尸3分別切。。于點(diǎn)，，B,PA=2,/尸=60。那么4B的長(zhǎng)為

（23-24九年級(jí)上?廣東肇慶?期末）

12.如圖，PA、尸3是。O的兩條切線，/、8是切點(diǎn)，若乙4PB=60°,貝|/。尸8等于,

（23-24九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）

13.如圖，已知。。是△4BC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、￡、R若CD=5,則CE的長(zhǎng)為.

（23-24九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期末）

14.如圖，PA,尸8分別切。。于4B,尸/=10cm,C是劣弧43上的點(diǎn)（不與點(diǎn)/、8重

合），過(guò)點(diǎn)C的切線分別交尸4PB于點(diǎn)E、F.則尸的周長(zhǎng)為cm.

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

A

E

O

B

（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）

15.如圖，PA、PB是。。的切線，CD切。。于點(diǎn)E,△尸CD的周長(zhǎng)為12,則尸/=

（24-25九年級(jí)上?四川廣元?期中）

16.如圖，。。內(nèi)切于△NBC,D,E,尸分別為BC,/C上的切點(diǎn).若△/2C的

周長(zhǎng)為60,且48:8C:/C=4:5:6,則4D長(zhǎng)是.

三、解答題

（24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?期中）

17.小亮對(duì)《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問(wèn)題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正

南、正西和正北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹(shù)，向樹(shù)的方向

走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹(shù)下.求：

⑴大樹(shù)到城堡南門的距離;

（2）城堡外圓的半徑.

試卷第5頁(yè)，共12頁(yè)

（24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）

18.如圖，PA、必是。。的切線，切點(diǎn)分別為/、反點(diǎn)C在凝上，過(guò)點(diǎn)C的切線分別交

PA、P8于點(diǎn)。、E,已知△尸QE的周長(zhǎng)20,求P/的長(zhǎng).

（22-23九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）

19.如圖，△ABC中，BC=14,AC=9,AB=13,它的內(nèi)切圓分別和切于點(diǎn)。,

E,F,求/及8。和CF的長(zhǎng).

（23-24九年級(jí)上?云南保山?期末）

20.如圖，在△/BC中，NO平分/A4c交2C于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，2。長(zhǎng)為半徑的。。

與42相切于點(diǎn)3,與5c相交于點(diǎn)。.

（1）求證：/C是。。的切線；

（2）若A8=5,NC=13,設(shè)ANBO的面積為H，Zk/BC的面積為S,,〃?=芳.求常數(shù)機(jī)的值.

（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）

21.如圖，△4BC中=。為NC邊上一點(diǎn)，。/為△48。內(nèi)切圓，G、E、F為切

點(diǎn).

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

A

⑴求證：BE=CF；

⑵若8。=10,CD=4,求的長(zhǎng).

（23-24九年級(jí)上?甘肅定西?階段練習(xí)）

22.如圖，PA、尸8是。。的切線，48為切點(diǎn)，2048=30。.

⑴求一/尸8的度數(shù)；

（2）當(dāng)NP=3時(shí)，求。。的半徑.

（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）

23.在矩形ABC。中，AB=6cm,8c=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)沿N8邊以lcm/s的速度向

點(diǎn)8移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿8C以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),

另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒：

⑴如圖1,幾秒后，A3尸。的面積等于8cm②？

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若以尸為圓心、P4為半徑的。尸與2。相切（如圖1）,求f值；

⑶若以。為圓心，PQ為半徑作

①如圖2,以0為圓心，尸。為半徑作。。.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的/值，使。。

正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出［值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

②如圖3,若。。與四邊形8尸。的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，則/的取值范圍為.（直接寫

試卷第7頁(yè)，共12頁(yè)

出結(jié)果，不需說(shuō)理）

B

（24-25九年級(jí)上?山東日照?期中）

24.如圖，在中，ZC=90°,其內(nèi)切圓分別與4C、AB、相切于點(diǎn)。、￡、

F,若ZE=6,BE=9,則圓的半徑為（）

A.2B.4C.5D.3

（24-25九年級(jí)上?天津河北?期中）

25.如圖，周長(zhǎng)為15cm的三角形紙片小剛想用剪刀剪出它的內(nèi)切圓OO,他先沿著

與OO相切的剪下了一個(gè)三角形紙片已知4C=4cm,則三角形紙片瓦龍的周長(zhǎng)

C.8cmD.7cm

（24-25九年級(jí)上?北京?期中）

26.如圖，。。的直徑/3=12,/加■和是它的兩條切線，與。。相切于點(diǎn)E,并與

AM,8N分別相交于。，C兩點(diǎn)，設(shè)=BC=y,則y關(guān)于x的圖象大致為（）

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

（24-25九年級(jí)上?河北石家莊?期中）

27.已知△4BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，。/的半徑為1,。是上一動(dòng)點(diǎn)，DM,DN

分別切ON于點(diǎn)N,ON的另一條切線交。M,DN千點(diǎn)、E,F,則ADEF周長(zhǎng)/的取

值范圍是（）

A.4</<V23B.V23<Z<4A/2

C.472</<6D.472</<2710

（23-24九年級(jí)上?江蘇徐州?期中）

28.如圖，正方形/3CD邊長(zhǎng)為4cm,以正方形的一邊8C為直徑在正方形ABCL?內(nèi)作半圓,

過(guò)A作半圓的切線，與半圓相切于尸點(diǎn)，與DC相交于E點(diǎn)，則的面積（））cm2

A.12B.24C.8D.6

試卷第9頁(yè)，共12頁(yè)

（24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期中）

29.如圖，AB、BC、CD、D4都是。。的切線，8c=8,CD=6,則48-/。=.

（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）

30.如圖，在Rt^4BC中，ZC=90°,BC=3,4c=4,點(diǎn)。是線段/C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)。為圓心，OC為半徑作圓.當(dāng)。。與邊48相切時(shí)，則半徑OC=.

（24-25九年級(jí)上?北京?期中）

31.如圖，為RtZ\A8C的內(nèi)切圓，點(diǎn)。、E、尸為切點(diǎn)，若/。=6,BD=4,則△/BC

的面積為.

（24-25九年級(jí)上?黑龍江牡丹江?期中）

32.如圖，把RMO/B置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,4）,8的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)

尸是RM048內(nèi)切圓的圓心.將RLCMB沿x軸的正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x

軸重合，第一次滾動(dòng)后圓心為耳，第二次滾動(dòng)后圓心為鳥(niǎo)，…，依此規(guī)律，第2023次滾動(dòng)

后P2023的坐標(biāo)是.

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

33.如圖，。。是△4BC的內(nèi)切圓，點(diǎn)。，E,尸為切點(diǎn).

(2)若48=8,AD=2,AC=5,求BC的長(zhǎng).

(24-25九年級(jí)上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中)

34.如圖，為。。的直徑，過(guò)圓外一點(diǎn)E作。。的兩條切線EC,EB,切點(diǎn)分別為點(diǎn)D,

B,EC交A4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接OE,AD.

(1)4。與OE有怎樣的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由；

(2)若EB=6,CD=4,求。。的半徑.

(24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?期中)

35.已知：△NBC是邊長(zhǎng)為8cm的等邊三角形，點(diǎn)。在邊上，過(guò)點(diǎn)8且分別與邊

AB,2c相交于點(diǎn)。，E,EF1AC,垂足為足

試卷第11頁(yè)，共12頁(yè)

A

D,

(1)求證：直線防是。。的切線；

(2)當(dāng)直線。尸與。。相切時(shí)，求：。。的半徑.

(24-25九年級(jí)上?四川廣元?期中)

36.如圖所示，。。的半徑是4,PA、PB分別與。。相切于點(diǎn)N、點(diǎn)2,若P月與PB之間

⑴若點(diǎn)C是圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，//C2的大小為定值嗎？若是定值，請(qǐng)求出它的度數(shù).

⑵求的周長(zhǎng).

(2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))

37.在RtZi/3C中，ZC=90°,是ZUBC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，E,F.

(1)圖1中三組相等的線段分別是CE=C尸，AF=,BD=；若4C=3,

BC=4,則。。半徑長(zhǎng)為；

(2)如圖2,延長(zhǎng)/C到點(diǎn)/，使=過(guò)點(diǎn)M作兒W//8于點(diǎn)N.

求證：是。。的切線.

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

1.B

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵：從圓外一點(diǎn)可以引圓

的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

利用切線長(zhǎng)定理即可直接得出答案.

【詳解】解：由切線長(zhǎng)定理可知：

PB=PA=6,

故選：B.

2.A

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心及切線長(zhǎng)定理，靈活運(yùn)用切線長(zhǎng)定理是解題的

關(guān)鍵.由切線長(zhǎng)定理可知尸，BD=BE,EC=FC,再根據(jù)線段的和差即可求得答案.

【詳解】解：???△4BC的內(nèi)切圓。。分別與BC,NC/C相切于點(diǎn)。，E,F,

AD=AF,BD-BE,EC=FC,

AD=6,BE=4,CF=8,

AF=6,BD=4,CE=8,

BC=BE+EC=n,AB=AD+BD=U),AC=AF+FC=1A,

???△/BC的周長(zhǎng)=3C+ZB+4C=36.

故選：A.

3.B

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理；由切線長(zhǎng)定理得/P=/C=6,BD=BP,即可求解.

【詳解】解：.??/8、AC,8。是。。的切線，

切點(diǎn)分別是P、C、D,

AP=AC=6,BD=BP,

???BP=4B—AP=4,

:.BD=4,

故選：B.

4.A

【分析】連接0408,尸，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出CE=C4OE=O3,PA=PB,

OALPAQBLPB,結(jié)合△尸CO的周長(zhǎng)等于2?,得出尸/=尸3=百，計(jì)算tana4P。，

tanZBPO,的值，得出/4P8=/4P。+/BPO=60。，最后得出△4P5為等邊三角形，即可

答案第1頁(yè)，共29頁(yè)

求解.

【詳解】解：連接。4。區(qū)/用0P,

"PA,尸3切。。于A,B兩點(diǎn)，CD切。。于點(diǎn)E,

.-.CE=CA,DE=DB,PA=PB,OA1PA,OB1PB,

???△PCD的周長(zhǎng)等于2VL

???PC+PD+CE+DE=PC+PD+CA+DB=PA+PB=26,

???PA=PB=y/3,

-.■OALPA,OB1PB,

???tanZ^PO=—=—,tanZSPO=—,

PA3PB3

ZAPO=NBPO=30°,

：.NAPB=NAPO+ZBPO=60°,

.,.△/PB為等邊三角形，

???AB=PA=6,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長(zhǎng)定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是掌握過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線，這點(diǎn)到兩個(gè)切點(diǎn)的距離相等.

5.C

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵：“從圓外一點(diǎn)可以引

圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角”；

本題首先根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得NP=/C=3,再由=可求得尸B的長(zhǎng)，最后

再次利用切線長(zhǎng)定理，即可求得2。的長(zhǎng)；

【詳解】解：「48,NC是。。的切線，

.-.AP=AC=3,

答案第2頁(yè)，共29頁(yè)

???AB=5,

；.PB=AB-AP=5-3=2,

-BP,她是OO的切線，

BD=PB=2,

故選：C.

6.D

【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可知：BD=BE,CE=CF,AD=AF,進(jìn)

而推出4D+3E+CE=10,即：AD+BC=W,求解即可.

【詳解】解：???△4BC與它的內(nèi)切圓分別相切于點(diǎn)E、F,

BD=BE,CE=CF,AD=AF,

周長(zhǎng)為20,

.-.BD+BE+CE+CF+AD+AF=20,

.-.2(AD+BE+CE)=20,

：.AD+BE+CE=10,即：AD+BC^10,

■.AD=10-BC=4；

故選D.

7.D

【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)、圓心角與弧之間的關(guān)系、切線的性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握切線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓心角與弧之間的關(guān)系、切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷析即可

解答.

【詳解】解：?.?BOJ./C,

NAOB=NBOC=90°,

■■AB=BC，故A不符合題意；

???BOA.AC,

.??2。是線段/C的垂直平分線，即荔與前關(guān)于2。對(duì)稱，

■-AB=BC^故B不符合題意；

■.PA,尸C是。。的切線，

答案第3頁(yè)，共29頁(yè)

：.ZOAP=ZOCP=90°,

■.■OA=OC,OP=OP,

...RL/OP父RMCOP(HL),

.-.ZAOB=ZCOB,

■-AB=BC，故C不符合題意;

如圖，?.?08_LDE,

：.NOBE=NOBD=9G°,而ZDwNE,

ZAOB豐ACOB,

???不能推出蕊=元，故D符合題意.

故選D.

8.B

【分析】本題考查了圓的切線長(zhǎng)定理，由此可得/尸=/D=2,BD=BE,CF=CE,根據(jù)

三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可，掌握切線長(zhǎng)定理“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)

度相等，，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：ZUBC的內(nèi)切圓。。與/3、BC、。分別相切于點(diǎn)。、E、F,

AF=AD=2,BD=BE,CF=CE,

:.BD+CF=BE+CE=BC=5,

.?.A48C的周長(zhǎng)：

AD+DB+BC+CF+AF

=AD+AF+BC+(BD+CF)

=14

故選：B.

9.D

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理、圓周角定理、圓的切線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，連接可

得=尸=90。，CA=CE,DB=DE,PA=PB；據(jù)此即可求解.

答案第4頁(yè)，共29頁(yè)

【詳解】解：連接。4。2,如圖所示:

由切線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理得：NOAP=/OBP=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

■：NP=40°,

ZAOB=360°-ZP-ZOAP-ZOBP=140°

；.NAFB=LNAOB=7Q。；

2

△PCD的周長(zhǎng)=PC+CE+DE+尸。=PC+Czl++尸。=P/+PB=2P/=10

故選：D

10.C

【分析】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理以及切線的性質(zhì)，相似三角形及三角函數(shù)的定義，解決

本題的關(guān)鍵是切線與相似三角形相結(jié)合，找準(zhǔn)線段及角的關(guān)系.

連接。4、OB、OP,延長(zhǎng)交尸/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.利用切線求得C4=CE,DB=DE,

32

尸/=尸8再得出"=28=—廠，利用放AAFPS放AO/R得出/尸=一尸8,在RQFBP中,利

23

用勾股定理求出BF,再求tan/4ps的值即可.

【詳解】解：連接CM、OB、OP,延長(zhǎng)。交上4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

-PA,PB切圓O于/,8兩點(diǎn)，CZ）切圓O于E,

ZOAF=ZPBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

???△尸0）的周長(zhǎng)=/＞。+。￡'+?！?/＞。=F。+4。+尸。+。3=丑/+尸2=3廠，

答案第5頁(yè)，共29頁(yè)

3

；.PA=PB=-r,

2

在吊△瓦了和耳△(?/尸中，ZFAO=ZFBP,ZOFA=ZPFB,

??.RtABFPSR於OAF,

AFAO_r_2

商_評(píng)_］一1,

2

.-.AF=-FB,

3

在Rt△五BP中，

■■PF2~PB2=FB2,

■■\PA+AF^-PB2=FB2,

-r+tSFFB2,

1o

解得用=M〃，

18

BF12

tmZAPB=—=±—

T

PB2r

2

故選：c.

11.2

【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理，由切線長(zhǎng)定理知尸4=尸夕，根據(jù)已知條件即可判定△尸是

等邊三角形，由此可求得的長(zhǎng).

【詳解】解：???力、尸5分別切。。于4、B,

???PA=PB,

???々二60。，

*'?^PAB是等邊三角形，

*'.AB=PA=2,

故答案為：2.

12.30°##30度

【分析】本題考查的是切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，熟記切線長(zhǎng)定理的含義是解本題的關(guān)鍵；由切線

長(zhǎng)定理可得N4Po=NBPO=|ZAPB=30°.

答案第6頁(yè)，共29頁(yè)

【詳解】解：?4/、是。。的兩條切線，NAPB=60。,

ZAPO=NBPO=-ZAPB=30°.

2

故答案為：30°

13.5

【分析】直接利用切線長(zhǎng)定理即可求解.

【詳解】解：由題意得C。、CE都是。。切線，D、￡是切點(diǎn)，

CD=CE=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，牢記“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等”是

解題的關(guān)鍵.

14.20

【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到加=尸8,AE=EC,FC=FB.即可求出尸的周長(zhǎng)

=2P/=20cm.熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?夫/、必分別切。。于4B.

：.PA=PB

???過(guò)點(diǎn)C的切線分別交尸4PB于點(diǎn)、E、F.

AE=EC,FC=FB.

???XPEF的周長(zhǎng)=PE++P尸

=PE+PF+CF+EC

^PE+AE+PF+FB

=PA+PB

=2PA

=20cm.

故答案為：20

15.6

【分析】此題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.

首先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到C/=CE,DE=DB,PA=PB,然后根據(jù)△PC。的周長(zhǎng)為12得

到尸C+PO+C0=12,然后等量代換得到2"=12,進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：P4、必是。。的切線，CD切。。于點(diǎn)E,

答案第7頁(yè)，共29頁(yè)

；,CA=CE,DE=DB,PA=PB

???△PC。的周長(zhǎng)為12,

??.PC+PD+CD=n

??.PC+PD+CE+DE=12

??.PC+PD+CA+DB=U

；.PA+PB=12

???2PA=12

??.P4=6.

故答案為：6.

16.10

【分析】此題主要是考查了切線長(zhǎng)定理.由切線長(zhǎng)定理可求出ZABC,4C的長(zhǎng)，再根據(jù)

切線長(zhǎng)定理列出方程組，解出方程組即可求出結(jié)論.

【詳解】設(shè)43=4加，貝IJ3C=5加，AC=6m.

由5加+6加=60,

解得加=4.

..45=4x4=16,BC=5x4=20,40=6x4=24,

設(shè)CF=x,AD=y,BE=z,

-AC,AB,BC分別為O。的切線，

；.CE=CF=x,AF=AD=y,BD=BE=z,

x+y=24①

貝i卜y+z=16(2)

z+x=20③

①+②+③，得2(x+y+z)=60

x+y+z=30.④

④一②，得x=14,則歹=10,

/.AD=W.

故答案為：10.

17.(1)12里

⑵4.5里

【分析】本題考查勾股定理，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)

答案第8頁(yè)，共29頁(yè)

鍵.

（1）由N5切圓于。，5c切圓于C,連接。。，得到0C1BC,BD=BC=9

里，由勾股定理求出4c=1出-BC?=12（里），

222

（2）在RtA/。。中，由勾股定理列式/。2=002+402,（i2-r）=r+6,所以求出

0D=4.5（里），即可得到答案.

【詳解】（1）解：如圖，表示圓形城堡，

由題意知：48切圓于。，8c切圓于C,連接

OD1AB,0C1BC,BD=BC=9里,

；AD=6（里），

AB=AD+BD=15（里），

:.AC=^AB2-BC2=12（里），

則大樹(shù)到城堡南門的距離12里；

（2）解：設(shè)城堡的半徑為〃里，

40=（12-r）里，AD=AB-BD=\5-9^6（里），

???OD1AB,

.,.在Rt^AOD中,AO-=OD2+AD2

：.（12-r）2=r2+62,

:.r=4.5（里）.

城堡的半徑為4.5里.

18.10

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，關(guān)鍵是把△立）￡的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為尸4+尸8=2??；根據(jù)切線長(zhǎng)

定理得尸4=尸8,AD=CD,BE=CE,由止匕得的周長(zhǎng)為川+尸8=2P4,從而可求得結(jié)果.

【詳解】解：?.?P/、必是。。的切線，

答案第9頁(yè)，共29頁(yè)

???PA=PB；

???過(guò)點(diǎn)。的切線分別交尸4PB于點(diǎn)、D、E,

AD=CD,BE=CE；

?：4PDE的周長(zhǎng)20,

.'.PD+CD+CE+PE=20f

:.PD+AD+BE+PE=20,

即R4+PB=2PZ=20,

???夫4=10.

19.AE=4,BD=9,CF=5

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理.設(shè)=根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到

AF=AE=x,BE=BD=13—x,CD=CF=9—x,則13—x+9—x=14,然后解方程求出x,從

而得到/￡、BD、。尸的長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)/￡=x,

???△/3C的內(nèi)切圓分別和BC,45,/C切于點(diǎn)E,F,

：.AF=AE=x,BE=BD,CD=CF,

BE=BA—AE=13—x,CF=CA—AF=9—x,

：.BD=13—x,CD=9—x,

???BD+CD=BC,

13-x+9-x=14,解得x=4,

??.AE=4,BD=9,CF=5.

20.⑴見(jiàn)解析

5

⑵加二R

【分析】本題考查了切線的證明、角平分線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，

掌握?qǐng)A中相關(guān)定理的內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)。作OEL/C,由角平分線的性質(zhì)定理可得?！?。3,即可求證；

(2)在RtzXZBC中求出8C,設(shè)。。的半徑為，，則?！?。8=.，

CE=AC~AE=13~5=8,OC=BC-OB=l2-r,在RtZUSOE中求出8。即可求解.

【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)。作OEJ_/C,垂足為E,如圖，

答案第10頁(yè)，共29頁(yè)

c

BO長(zhǎng)為半徑的與AB相切于點(diǎn)B,

OBVAB,

?.?NO平分/A4c,

.-.OE=OB,

.,.OE是。。的半徑，又OE_LAC,

：.AC^QO的切線;

(2)解：由(1)知

ZABC=90°

根據(jù)勾股定理得BC=yjAC2-AB2=V132-52=12，

VAB,NC均為。。的切線，切點(diǎn)分別為8和瓦

AE=AB

設(shè)。。的半徑為『，則OE=O8=r,CE=/C-/E=13-5=8,OC=BC-OB=12-r,

在RtACO^中，根據(jù)勾股定理得OU?=CE2+OE2,

即(12-r)2=82+r2,

解得

gpjgo=y

10

:.m="5

S2BC1218

21.(1)見(jiàn)解析

⑵BE=7

【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理;

(1)根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得4G=/尸，BG=BE,根據(jù)=由線段的差相等，即可求

解;

答案第H頁(yè)，共29頁(yè)

(2)設(shè)BE=x,則?！?。方=10—x,根據(jù)5￡=。尸，即可求解.

【詳解】(1)???。/為△45。內(nèi)切圓，G、E、方為切點(diǎn)，

：,AG=AF,BG=BE

???AB=AC,

??.AB-AG=AC-AF即BG=CF

.?.BE=CF

(2)設(shè)BE=x,

v57)=10,

??.DE=DF=10-x

vCD=4,

^CF=CD+DF=14-x

?；BE=CF,

??.x=14-x,解得x=7,

:?BE=7

22.(l)/4P8=60。；

⑵。。的半徑為行.

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角可得=NOB4=30。，根據(jù)圓切線的性質(zhì)可得

ZPAO=ZPBO=90°,從而得到/P/5=/PR4=60。，求得是等邊三角形，據(jù)此求解

即可；

(2)根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到//尸。=/5尸。=30。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及

勾股定理計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)■.-OA=OB,

NOAB=NOBA=30。,

"PA,尸3是。。的切線，

ZPAO=ZPBO=90°,

NPAB=ZPBA=60°,

；.AP4B是等邊三角形，

；.NAPB=60°；

(2)解：連接。尸，

答案第12頁(yè)，共29頁(yè)

A

■■-PA.尸2是。。的切線,

???。尸平分一4尸2,

ZAPO=ABPO=30°,

.■.OP=2OA,

?.?/尸=3,OP2=OA1+AP2,

.-.（2OA）2=OA2+32,

OA=y/3，

.??。。的半徑為行.

23.（1）2秒或4秒

12

（3）①0或可或-10+8收；②0</<-10+2.

【分析】（1）由題意可知=BQ=2t,從而得到尸3=6T,BQ=2t,然后根據(jù)△PQB

的面積為8cm2列方程求解即可；

（2）如圖1所示：連接PE.依據(jù)勾股定理可求得8。的長(zhǎng)，然后依據(jù)切線長(zhǎng)定理可知

DE=AD=8,從而可求得BE的長(zhǎng)，由圓的半徑相等可知PE=/P=/,然后在Rt/XPEB中

依據(jù)勾股定理列方程求解即可；

（3）①先判斷。。不與8c相切，然后分。。與相切；。。與CD相切，根據(jù)半徑

等于尸。構(gòu)建方程求解即可.

②先求得。。與四邊形。尸。C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值，然后可確定出t的取值范圍.

【詳解】（1）解：由題意知，/尸=7,80=2"則2尸=67,

.：SABPL；BP-BQ=8

.-.|（6-Z）-2?=8,

解得t=2或t=4,

故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或4秒時(shí)，△AP0的面積為8cm2；

答案第13頁(yè)，共29頁(yè)

(2)解：如圖1,設(shè)切點(diǎn)為E,連接尸￡.

???ADLAP,

OP與4D相切，

???OP分別與4。，相切，

??.AD=DE=8.

???OP與8。相切，

PEVBD,

在中，依據(jù)勾股定理可得8O=V?*=10.

??.BE=BD—DE=2.

vAP=PE,

PE=t,PB=6—t.

在RtAPEB中，依據(jù)勾股定理可得，(6-?)2=Z2+22,

Q

解得/=§;

(3)解:①由題意知。。不與48,8c相切，

當(dāng)。。與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E,連接。E,

則四邊形NB0E是矩形,

答案第14頁(yè)，共29頁(yè)

：.QE=AB=PQ,

,-.62=（6-f）2+（2f）2,

12

解得f=o或不；

當(dāng)。。與。c相切時(shí),

解得a=-10+8近，Z2=-10-8>/2（舍去）,

綜上，當(dāng)f的值為?；颍?9或-10+80時(shí)，。。正好與四邊形的一邊（或邊所在的直

線）相切;

②解：（I）當(dāng)f=o時(shí)，如圖4所示:

。。與四邊形DPQC有兩個(gè)公共點(diǎn)；

圖4

（II）如圖5所示:

當(dāng)。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，。。與四邊形。尸。。有兩個(gè)公共點(diǎn)，則。。=尸0,

得方程（67）2+（24=36+（8-2^,

答案第15頁(yè)，共29頁(yè)

解得：4=一10—2面（舍），Z2=-10+2A/41,

二當(dāng)0</<-10+2兩，。。與四邊形CAP。有三個(gè)公共點(diǎn).

故答案為：0</<-10+2歷.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了三角形的面積

公式、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、圓的性質(zhì)，依據(jù)題意列出關(guān)于/的方程是解題的關(guān)鍵.

24.D

【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理、正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：AD=AE=6,

BF=BE=9,CD=CF,先證明四邊形。。尸C是正方形，再利用勾股定理列方程可得CD

的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)在內(nèi)切圓圓心為點(diǎn)。，連接OD,。尸，

???Rt44BC的內(nèi)切圓分別與NC、AB、8c相切于點(diǎn)。、E、F,

:.4D=AE=6,BF=BE=9,CD=CF,NODC=NOFC=90°,

Z.C=90°,

二四邊形。。尸C是矩形，

???CD=CF,

，四邊形。。尸C是正方形，

OD=CD,

?.?在RtZ\/3C中，AC2+BC2=AB2,

(6+CD)2+(CD+9)2=(6+9)2,

解得：CD=3(負(fù)值舍去)，

OD=CD=3,

..?圓的半徑為3,

故選：D.

25.D

【分析】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的性質(zhì)，設(shè)三角形N8C與。。相切于M、

答案第16頁(yè)，共29頁(yè)

N、F,DE與。。相切于G,根據(jù)切線長(zhǎng)定理和三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論.，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì).

【詳解】解：設(shè)三角形/8C與。。相切于M、N、F,DE與。。相切于G,如圖所示：

由切線長(zhǎng)定理可知：AM=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN,

'：AB+AC+BC=15cm,AC=4cm,

AM+CN=AC=4cm,AB+BC=Ucm,

??C^BDE=DB+DE+BE—BD+DG+GE+BE=BM+BN=AB+BC—AC-7cm,

故選：D.

26.A

【分析】過(guò)。作。尸_L8N交8c于R由切線的性質(zhì)可證四邊形■力是矩形,

"==根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到工=05=y,CE=D\=x,則

DC=DE+CE=x+y,在Rt△。尸C中根據(jù)勾股定理，就可以求出y與x的關(guān)系，再判斷其

函數(shù)圖象即可.

【詳解】解：過(guò)。作止交BC于尸,

與。。切于點(diǎn)/、B,

又,：DF1BN,

ABAD=ZABC=NBFD=90°,

???四邊形是矩形,

BF=AD=x,DF=AB=\2,

'：BC=y,

FC=BC—BF=y—x,

?.?OE切。。于E,AM、BN與。。切于點(diǎn)/、B,

答案第17頁(yè)，共29頁(yè)

DE=DA=x,CE=CB=y,則DC=DE+CE=x+y,

在Rt△。尸C中，由勾股定理得：(x+y)2=(y-x)2+122,

整理為V=一

號(hào)與x的函數(shù)關(guān)系式是＞=一，

?.)是X的反比例函數(shù)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，矩形的判定與性質(zhì)以及

勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，綜合運(yùn)用以上知識(shí).

27.B

【分析】連接AM,根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線性質(zhì)、勾股定理求得/=2北石匚1，根據(jù)

垂線段最短可得，當(dāng)/。工8c時(shí)，4D最小,求出/。最小值為更，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)2(或

2

C)重合時(shí)，ND最長(zhǎng)，此時(shí)/。=3,即可得出3844043,從而可求得/最大與是最小

2

值，即可得出答案.

【詳解】解：連接AM,設(shè)E尸切。/于G,

DM,DN分別是ON的切線,

DM=DN,

???跖是。/的切線，

.-.EM=EG,FN=FG,

：.EF=EG+FG=EM+FN,

：.力EF局長(zhǎng)I=DE+EF+DF=DE+EM+FN+DF=DM+DN=2DM,

???DM?是。/的切線，

AM±DM,

?1?DM=^AD2-AM2=^AD2-\，

答案第18頁(yè)，共29頁(yè)

3=2,402-1,

.?.當(dāng)40最小時(shí)，/最小，當(dāng)4D最大時(shí)，/最大；

根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)4D18C時(shí)，4D最小,

???△4BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，AD1BC,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8(或C)重合時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)40=3,

■■—<AD<3,

2

???V23</<4>/2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最

短.根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線性質(zhì)、勾股定理求得/=2715匚[，以及當(dāng)么。SBC時(shí)，最

小，點(diǎn)。與點(diǎn)8(或C)重合時(shí)，40最長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

28.D

【分析】此題主要考查圓的切線長(zhǎng)定理，正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是

運(yùn)用切線長(zhǎng)定理得出=N尸，EF=EC.由于NE與圓。切于點(diǎn)尸，根據(jù)切線長(zhǎng)定理有

AF=AB=4cm,EF^EC；設(shè)砂=￡C=xcm.則。E=(4-x)cm,/E=(4+x)cm,然后在

三角形BCE中由勾股定理可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△4OE

的面積.

【詳解】解：與圓。切于點(diǎn)尸，

顯然根據(jù)切線長(zhǎng)定理有/斤=48=4cm,EF=EC,

設(shè)EF=EC=xcm,

貝UDE=(4一x)cm,AE=(4+x)cm,

在三角形NAE中由勾股定理得：

(4-x)2+42=(4+x)2,

..X=],

CE=1cm,

答案第19頁(yè)，共29頁(yè)

DE=4-1=3cm,

S“DE=4D-DE4-2=3x44-2=6cm2.

故選：D

29.2

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，設(shè)/2、BC、CD、與。。的切點(diǎn)分別為E、F、M、

N,根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得出/E=/N,BE=BF,CF=CM,DM=DF,由此即可解決問(wèn)

題.

【詳解】解:設(shè)N8、BC、CD、D4與。。的切點(diǎn)分別為E、F、M、N,

?；AB、BC、CD、都是。。的切線，

AE=AN,BE=BF,CF=CM,DM=DF,

?:BC=8,CD=6,

；.BF+CF=8,CM+DM=6,

:.BF-DM=2,

：.AB-AD

=(AE+BE)-(AN+DN)

=AE+BE-AE-DN

=BE-DN

=BF-DM

=2，

故答案為：2.

30.-

2

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，勾股定理，當(dāng)與。。相切時(shí)，則

OD1AB,由切線長(zhǎng)定理可得8。=3C=3,由勾股定理得48=5,設(shè)。。半徑為「，則

OA=4-r,再由勾股定理即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，當(dāng)與。。相切時(shí)，

答案第20頁(yè)，共29頁(yè)

A

ZADO=ZACB=90°,

.?.8C與。。相切，

：.BD=BC=3,

在RtZUBC中，由勾股定理得：ABNAC'BC?MV=5,

:.AD=AB-BD=5-3=2,

設(shè)。。半徑為r,則O4=4-r,

在Rt2\4DO中，由勾股定理得：OA2=AD2+OD2,

.?.（4-r）2=22+r2,解得：r=|,

3

故答案為：—.

31.24

【分析】根據(jù)題意，連接尸，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得四邊形CE。尸是正方形，則

CE=EO=OF=FC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得4E=4D=6,BF=BD=4,設(shè)。。的半徑為

r,則CE=CP=r,運(yùn)用勾股定理可得（4+（6+4=（4+6『，則有/C=6+2=8,

8c=4+2=6,由幾何圖形面積的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接。及。尸，

是直角三角形A8C的內(nèi)切圓，點(diǎn)“從尸為切點(diǎn),

ZC=ZCEO=ZCFO=90°,

答案第21頁(yè)，共29頁(yè)

???四邊形是矩形，

???CE=CF,

???矩形形CEO尸是正方形，

CE=EO=OF=FC,

???點(diǎn)。、E、尸為切點(diǎn),

AE=AD=6,