試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)相似三角形的判定與性質(zhì)綜合歸納練2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考1．如圖，是的直徑，是位于兩側(cè)圓上的點(diǎn)，連接，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線：(2)若，求的直徑．2．如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上的動(dòng)點(diǎn)，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)若時(shí)，求線段的長(zhǎng)．3．如圖1，外接于，直徑交于點(diǎn)E，已知，．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖2，F(xiàn)是線段上一點(diǎn)（不與C，E重合），的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，，．①求證：；②若，求證：O，G，A三點(diǎn)共線．4．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，于點(diǎn)，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接．(1)求證：(2)求證：為的切線；(3)若，，求的值，5．如圖，在中，內(nèi)接于，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．6．如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)的直線與相切，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．7．如圖，經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)、，分別與、相交于點(diǎn)、，連接、交于點(diǎn)，且平分．(1)求證：；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的值．8．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1)如圖1，求拋物線的解析式．(2)如圖（2），若點(diǎn)是拋物線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為，連接，和，的面積為，求與t之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)如圖3，在（2）的條件下，交y軸于點(diǎn)D，過(guò)P作垂直于x軸于點(diǎn)，是第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，，且，過(guò)D點(diǎn)作軸，滿足，點(diǎn)K在線段上，連接，，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．9．已知菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，，求的值；(3)如圖3，保持圖2中菱形的形狀不變，移動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，若，，求點(diǎn)到的距離．10．如圖，是的直徑，是的弦，為上一點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為10，，求的長(zhǎng)．11．如圖，在矩形中，．(1)如圖1，矩形的頂點(diǎn)分別在和邊上，點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，以點(diǎn)為位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的頂點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上；（不要求寫(xiě)作法）(2)在（1）中，若，求矩形的面積；(3)如圖2，在一個(gè)矩形空地上，王師傅準(zhǔn)備修建一個(gè)矩形的花壇，要求點(diǎn)位于對(duì)角線上，且點(diǎn)分別在和邊上，設(shè)的長(zhǎng)為，矩形的面積為，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值？并求出最大值．12．如圖，是的直徑，是的切線，、是的弦，且于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑為，求線段的長(zhǎng)．13．如圖1，圖2，中，，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，與交點(diǎn)為，求證：；(2)尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中作出點(diǎn)落在斜邊上時(shí)的，并求出長(zhǎng)；(3)如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若點(diǎn)落在射線上，延長(zhǎng)線交于，求的長(zhǎng)；(4)若是以為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出長(zhǎng)．14．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，是的外接圓，交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)已知的半徑為，，求的長(zhǎng)．15．在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，以和為邊作（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），直線與射線交于點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)是直角三角形，時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求證：四邊形是菱形；(3)直線與射線交于點(diǎn)，若，直接寫(xiě)出的值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《相似三角形的判定與性質(zhì)綜合歸納練2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考》參考答案1．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定定理，直角所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，得到，得出，得到，繼而得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到，得出，求出，繼而得到，即可得到答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，．是的直徑，．即．．，．即．．是的半徑，是的切線．（2）解：，．．即．．．即的直徑為．2．(1)見(jiàn)解析(2)1【分析】本題主要查了圓與三角形的綜合題，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)可得，再由圓周角定理以及平分，可得，結(jié)合，可得是等腰直角三角形，可證明，即可求證；（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，證得是等腰直角三角形，可得，再由，可得，可設(shè)，則，，根據(jù)，可得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，可設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：（舍去）或，∴，∴．3．(1)1(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，可得，可得，利用勾股定理求得，再解直角三角形求得即可解答；（2）①設(shè)M為線段的中點(diǎn)，連接，，得到點(diǎn)B，G，E，F(xiàn)都在上，利用圓周角定理可得，再利用角度轉(zhuǎn)換即可得到；②連接，，求得，再根據(jù)相似得到，可得和，通過(guò)證明，可得，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，連接，．∵是的直徑，∴．∵，，∴，∴，∴垂直平分線段，∴．∵，∴．在和中，，∴．∴．∴．（2）解：①∵，∴．又∵，∴．∵，，∴．設(shè)M為線段的中點(diǎn)，連接，．則，∴點(diǎn)B，G，E，F(xiàn)都在上，∴．∴．∵，∴．∴，∴．∴．②如圖，連接，．∵，∴．∵，∴．則．由①知，，∴．∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∴O，G，A三點(diǎn)共線．4．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，繼而得到，即可得到；（2）作的直徑．連接，，，證明，得，，繼而證明，可推出．繼而可證明，即可證明結(jié)論；（3）由（2）可得，推出．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，則．根據(jù)，建立方程可求得，，繼而求得．證明，得，可求得，，．根據(jù)，可得，，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)，∴．∵，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖①，作的直徑．∵，∴，∴．由（1）可得，∴．連接，，，，，，，，，，，，，，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，即．∵為的直徑，∴為的切線；（3）解：由（2）可得，∴．如圖②，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，則．∵，∴，∴，解得，∴，，∴．∵，，∴，∴，即，解得，，∴．∵，∴，解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用性質(zhì)定理，屬于中考?jí)狠S題．5．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖，連接，利用切線的性質(zhì)與圓周角定理證明，可得，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）由（1）知，，證明，可得，結(jié)合，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，連接，為的切線，，為的直徑，，，，，，．（2）解：由（1）知，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，等量代換可得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，可證，根據(jù)切線的定義可知，從而可證；設(shè)的半徑為，則，，根據(jù)，可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，解方程即可求出的半徑．【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接，，，，，，，為的切線，，，，；（2）解：，設(shè)，則，，設(shè)的半徑為，則，，，，，，，即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找到邊之間的關(guān)系，根據(jù)邊之間的關(guān)系求出圓的半徑．7．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，則可證明，然后證明，從而得到結(jié)論；（2）先證明，則可判斷，利用相似三角形的性質(zhì)可計(jì)算，，進(jìn)而證明，然后利用相似比，即可求解．【詳解】（1）（1）證明：，，，平分，，，，；（2）由（1）得，，，，，又，，，，即，∴，；，，，．8．(1)(2)(3)【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)求解即可得；（3）延長(zhǎng)和交于，連接，過(guò)用于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，先根據(jù)圓周角定理可得，則，再證出，則，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程可得的值，由此即可得．【詳解】（1）解：∵時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，∴，∴，∵點(diǎn)也在拋物線上，∴，解得，∴．（2）解：如圖，過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，由題意得：，∴，．∵，，，∴，∴，所以與之間的函數(shù)關(guān)系式為．（3）解：如圖，延長(zhǎng)和交于，連接，過(guò)用于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，∵，，，∴，，，，∵軸，軸，∴，∴，∴，即，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓上，由圓周角定理得：，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，即，∴，∵軸，軸，∴軸，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，設(shè)，，∴，，∵，∴，∴，∴，即，∴或（不符合題意，舍去），∴，∴，又∵，∴，即，解得或（不符合題意，舍去），∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，較難的是題（3），通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．9．(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正切的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）由菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得；然后根據(jù)等角的余角相等即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，則；在中運(yùn)用勾股定理可得，即；設(shè)，則，再證明可得，進(jìn)而得到，然后代入計(jì)算即可；（3）由（2）可得、，結(jié)合菱形的性質(zhì)以及運(yùn)用勾股定理可得；如圖：過(guò)M作于G，過(guò)P作于H，設(shè)，根據(jù)正切的定義可得、；再證明可得，證明可得；由可得，即，然后解方程組求得m的值即可．【詳解】（1）解：∵菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴設(shè)，∵菱形，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴．（3）解：由（2）可得：，，∵菱形，，∴，在中，，∴，解得：，∴，如圖：過(guò)M作于G，過(guò)P作于H，設(shè)，∵，，∴∴，即，∴，同理：；∵，，∴，∴，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∵，∴，即，∴即，，解可得：，將代入整理得：，解得：或（不合題意舍棄），∴，即點(diǎn)到的距離．10．(1)見(jiàn)解析(2)15【分析】（1）連接，利用平行線的判定定理證明，求得，據(jù)此即可證明是的切線；（2）連接，，證明，推出，利用勾股定理求得，推出是等邊三角形，在中，利用正切函數(shù)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，連接，，由（1）知，是的切線，，是的直徑，，，，，，，，，，的半徑為10，，，，解得（負(fù)值已舍去），在中，，，，是等邊三角形，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．11．(1)見(jiàn)解析(2)；(3)當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．【分析】本題是四邊形綜合題型，主要考查了位似圖形的畫(huà)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題．（1）根據(jù)位似圖形的定義，連接并延長(zhǎng)與相交于P，過(guò)P作交于M，作交于Q，四邊形即為矩形的位似圖形；（2）先求出，然后根據(jù)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出，再根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（3）用x表示出，然后根據(jù)，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出，再根據(jù)矩形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．【詳解】（1）解：作矩形的位似矩形如圖所示；；（2）解∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴；（3）解：時(shí)，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查圓的切線性質(zhì)，直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角性質(zhì)和三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)是的切線，得出．根據(jù)，可證．得出．根據(jù)同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)得出即可；（2）連接．根據(jù)直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)得出，．可證．得出．根據(jù)勾股定理．再證．求出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的切線，∴．∵∴，∴，∴．∵，∴．（2）解：如圖，連接．∵為直徑，∴，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∴．13．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析，(3)(4)或6【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到，于是得到即可證明；（2）如圖，以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)E為圓心，點(diǎn)B為圓心，以，為半徑畫(huà)弧，二弧交于點(diǎn)D，連接，則即為所求，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，利用等積法，勾股定理解答即可；（3）先證明，求得，，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)N，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理得到，求得，，，結(jié)合，得證，列式，解答即可．（4）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)M，證明，，得到，根據(jù)，得到，得到；當(dāng)時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)R，則，證明，得到，利用勾股定理，三角形相似可求得，得到．【詳解】（1）證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得,∵，∴，∴，∴．（2）解：如圖，以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)E為圓心，點(diǎn)B為圓心，以，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，則即為所求，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∴，，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∴，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)N，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，解得．．（4）解：如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，故，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)R，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，∴．；綜上所述，的長(zhǎng)為或6．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．14．(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】本題主要考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求線段的長(zhǎng)度．連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可知，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可證，從而可證結(jié)論成立；連接，首先利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求，根據(jù)可知，從而可求，根據(jù)圓周角定理可得，從而可證，根據(jù)平行線分線段成比例定理可知，從而可得：．【詳解】（1）解：如下圖所示，連接，平分交于點(diǎn)，，，，，，，，，，是的切線