/福建省福州市福九聯(lián)盟（高中）2024?2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在等比數(shù)列中，，，則的公比為（

）A． B． C． D．2．下列求導正確的是（）A． B．C． D．3．平潭島是祖國大陸距離臺灣最近的地方，島上的龍鳳頭海濱浴場（沙灘玩?；蛴^賞日出）、猴研島（離臺灣最近地方）、長江澳風車田（日落美景）、殼丘頭遺址博物館（了解南島語族文化）自然風光優(yōu)美、文化底蘊深厚，是游客喜歡的打卡景點.某天甲、乙、丙三位同學準備從這個景點任選一個景點游玩，則不同游玩方案的種數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可以是（

）

A． B．C． D．5．已知函數(shù)在處取得極大值，則實數(shù)的取值為（）A．或1 B．2或 C． D．16．漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每個月延遲個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：出生時間年月—月年月—月年月—月年月—月……改革后法定退休年齡歲個月歲個月歲個月歲個月……那么年月出生的男職工退休年齡為（）A．歲個月 B．歲個月 C．歲個月 D．歲個月7．有4張分別標有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張標有1、2、3、4的藍色卡片，從這8張卡片中任選4張排成一列，如果4張卡片上的數(shù)字之和等于10，則不同的排列種數(shù)為（）A．72 B．144 C．288 D．4328．已知，，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知二項式的展開式中各二項式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（）A．展開式共有項 B．二項式系數(shù)最大的項是第項C．展開式的常數(shù)項為 D．展開式中各項的系數(shù)和為10．已知橢圓的左，右焦點為，，，分別為它的左右頂點，點為橢圓上的動點（不在軸上），下列選項正確的是（）A．的周長為 B．存在點使得C．直線與直線的斜率乘積為 D．的最小值為111．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．的最小值為；B．有兩個零點；C．若點是函數(shù)圖象上的動點，則點到直線距離的最小值為D．若恒成立，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則13．如圖，將一張的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則剪下的小正方形的邊長為cm時，這個紙盒的容積最大.14．“朗博變形”是借助指數(shù)運算或?qū)?shù)運算，將化成，的變形技巧，已知函數(shù)，，若，則的最小值為四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前項和為，對一切正整數(shù)，點在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.16．已知函數(shù)(1)求的極值；(2)證明：17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，且，，，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)若與底面所成角的正切值為2，求平面與平面所成角的余弦值.18．設(shè)函數(shù)(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若，討論在上的單調(diào)性；(3)當時，，求實數(shù)的取值范圍.19．在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的乘積，形成一個新數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“延拓”.如數(shù)列1，2第一次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，第二次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，4，2.將數(shù)列，，經(jīng)過次“延拓”后所得數(shù)列的項數(shù)記為、所有項的乘積記為.(1)給定數(shù)列，，，回答下列問題：①寫出該數(shù)列的第一次與第二次“延拓”后得到的數(shù)列，并求出與的值；②將定數(shù)列，，經(jīng)過次“延拓”后所得數(shù)列的項數(shù)記為，現(xiàn)將，，，，構(gòu)成數(shù)列，求的值；(2)已知數(shù)列，，，其中，，，該數(shù)列經(jīng)過3次“延拓”后，能被45整除，則滿足上述條件的數(shù)列，，有幾個？

參考答案1．【答案】A【詳解】，，.故選A.2．【答案】B【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選B.3．【答案】C【詳解】因為每位同學均有種選擇，由分步計數(shù)原理可知，不同游玩方案的種數(shù)為，故選C.4．【答案】B【詳解】由圖象知函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)，對于A，定義域為，因為，所以此函數(shù)是偶函數(shù)，不滿足條件，排除A，對于D，定義域為，因為，且，所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，不滿足條件，排除D，對于C，因為和在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，不滿足條件，排除C，對于B，定義域為，因為，所以此函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，則，所以當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減；又因為，且時，，故B選項符合題意.故選B．5．【答案】C【詳解】由函數(shù)，可得，因為是函數(shù)的極值點，可得，即，解得或，當時，，令，解得或；令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，此時，在處函數(shù)取得極小值，不符合題意，舍去；當時，，令，解得；令，解得或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，此時，在處函數(shù)取得極大值，符合題意，綜上可得，實數(shù)的值為.故選C.6．【答案】C【詳解】由題知每個月延遲個月，則每年延遲個月，所以年月出生的男職工退休年齡延遲個月，又，故退休年齡為歲個月，故選C.7．【答案】D【詳解】分三類：第一類，當所取的4張卡片上分別標有1，2，3，4時，滿足題意的不同排法共有（種）；第二類，當所取的4張卡片上分別標有1，1，4，4時，滿足題意的不同排法共有（種）；第三類，當所取的4張卡片上分別標有2，2，3，3時，滿足題意的不同排法共有（種）；因此，滿足題意的所有不同的排法共有（種）.故選D.8．【答案】C【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，即，則有，故.記，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，即.綜上可得：.故選C.9．【答案】BD【詳解】由題知，得到，所以展開式共有項，故選項A錯誤，對于選項B，因為，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知二項式系數(shù)最大的項是第項，所以選項B正角，對于選項C，二項式的展開式的通項公式為，由，得到，所以展開式的常數(shù)項為，所以選項C錯誤，對于選項D，令，則，所以展開式中各項的系數(shù)和為，故選項D正確，故選BD.10．【答案】ABD【詳解】橢圓，則，則，對于A：因為，所以的周長為，故A正確；對于B：當在橢圓的短軸頂點時取得最大值，不妨取，此時，所以為鈍角，所以存在點使得，B正確；對于C：因為，設(shè)，則，故C錯誤；對于D：因為，所以，當且僅當，即時取等號，故D正確；故選ABD.11．【答案】ACD【詳解】對于A，由于，所以，令，解得，若，，若，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故A正確；對于B，時，，當，，時，，當，，，所以有一個零點，故B錯誤；對于C，在點處的切線與直線平行時，點到直線距離最小，令，解得，所以，所以切點為，故到直線的距離為：.故C正確；對于D，等價于（*），設(shè)，等價于，則，①當時，，則在上單調(diào)遞增，又，若，則與（*）矛盾舍去.②當時，由可知，滿足，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，與取交集，.故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】因為，則或，解得或，又，所以，則.13．【答案】1【詳解】設(shè)剪下的小正方形的邊長為，由題知紙盒的容積為，則，令，得到（舍）或，所以當時，，當時，，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以在處取到最大值，最大值為.14．【答案】1【詳解】依題意：，即，則，設(shè)，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，令，顯然在上單調(diào)遞增，,設(shè)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設(shè)知，當時，，當時，，經(jīng)驗證，滿足，所以.（2）因為，則，又為常數(shù)，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.16．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【詳解】（1）易知的定義域為，又，令，得到，當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，極小值為，無極大值.（2）要證明，即證明，即證明恒成立，令，則，令，得到，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即恒成立，所以成立.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交與點，連接.因為底面是菱形，所以點是的中點

又因為為的中點，所以

因為平面，且平面，

因此平面；（2）因為平面，所以在平面上的射影為，所以為與底面所成角.

所以，因為，則

方法一：因為底面是菱形，，設(shè)中點為，易知，，兩兩互相垂直，故以點A為坐標原點，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，

顯然平面的一個法向量是，

而，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，解得，，，

故

所以平面與平面所成角的余弦值為.

方法二：如圖：取的中點，因為為中點，所以由已知平面，所以平面，底面是菱形，，故以點為坐標原點，，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系且，則，，，，，，

顯然平面的一個法向量是，

則

，設(shè)平面的法向量為，則取，解得，，所以，

故

所以平面與平面所成角的余弦值為

法三：因為平面，所以在平面上的射影為，所以為與底面所成角.

所以，因為，則

過點作的平行線交的延長線于，交的延長線于，由于，則，因此、、、四點共面

所以平面平面，過點作交于，則面，因為面，所以，過點作于，連接，又，所以平面，因為平面，所以，所以為平面與底面所成角，因為為的中點，則，因為底面是菱形，，所以，，則在中，所以

即平面與平面所成角的余弦值為.18．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解】（1）當時，，，即切點為，

，則切線的斜率，

切線的方程為，即.（2）依題意定義域為，，

①若，則，，即在上單調(diào)遞增，

②若，由，則，當時，則，，在上單調(diào)遞增，

當時，則，時，，時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，（3），依題意當時，，整理可得（*），

當時，，（*）成立①，

當時，（*）可變式為成立，設(shè)，等價于②，

，

設(shè)，，，?，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，，因為時，，時，，

在區(qū)間在單調(diào)遞增，在區(qū)間在單調(diào)遞減，則，由②可知，當時，，只需滿足，

由①②可得，當時，成立，實數(shù)的取值范圍.19．【答案】(1)①第一次得到數(shù)列：1，2，2，，，第2次得到數(shù)列：1，2，2，4，2，，，2，；，；②(2)96【詳解】（1）①數(shù)列1，2，第一次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，，，第2次“延拓”后得到數(shù)列1，2，2，4，2，，，2，，，.②數(shù)列1，2，第次“延拓”后得到數(shù)列，記為，，，，，第次“延拓”后，每兩項之間添加1項，共添加了項，

總項數(shù)，故，即，又，即，