板塊四立體幾何與空間向量提優(yōu)點(diǎn)9截面或交線問(wèn)題知識(shí)拓展1.空間幾何體截面的主要原理為兩個(gè)基本事實(shí)及兩個(gè)性質(zhì).(1)兩個(gè)基本事實(shí)①如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過(guò)此點(diǎn)的一條直線；②如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).(2)兩個(gè)性質(zhì)①如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行；②如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行.2.立體幾何中的截面類型(1)平面截球：圓面.(2)平面截正方體：三角形、四邊形、五邊形、六邊形.(3)平面截圓柱曲面：圓、橢圓、矩形.(4)平面截圓錐曲面：橢圓、雙曲線(單支)、拋物線.精準(zhǔn)強(qiáng)化練類型一截面問(wèn)題類型二交線問(wèn)題類型突破類型一截面問(wèn)題考向1多面體中的截面問(wèn)題例1√畫(huà)出截面圖形如圖1，C，D分別是所在棱的中點(diǎn)，(多選)在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面.平面α以任意角度截正方體，所截得的截面圖形可能為A.等腰梯形

B.非矩形的平行四邊形C.正五邊形

D.正六邊形√√四邊形ABCD為等腰梯形，故A正確；圖1

圖2在正方體ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如圖2所示)交C1D1，A1B1，AB，CD分別于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得四邊形EFGH中，EF∥HG，且EH∥FG，故四邊形EFGH是平行四邊形，但不一定是矩形，故B正確；圖3

圖4經(jīng)過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切就可得到五邊形(如圖3所示)，但此時(shí)不可能是正五邊形，故C錯(cuò)誤；六邊形的頂點(diǎn)為正方體各棱的中點(diǎn)，六邊形為正六邊形(如圖4所示)，故D正確.考向2球的截面問(wèn)題例2因?yàn)锳B2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC，又因?yàn)镾A⊥平面ABC，故三棱錐S－ABC的外接球球O的半徑取AC的中點(diǎn)D，連接BD，BD必過(guò)點(diǎn)G，如圖所示，作幾何體截面的方法(1)利用平行直線找截面；(2)利用相交直線找截面.規(guī)律方法已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面α滿足AC∥α，BC1∥α，若直線AC到平面α的距離與BC1到平面α的距離相等，平面α與此正方體的各個(gè)面都相交，則交線圍成的圖形為A.三角形 B.四邊形

C.五邊形

D.六邊形訓(xùn)練1√如圖，設(shè)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別為AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH，HM，MN，NE，A1B，CD1，AD1，A1C1，∴FG∥MN，F(xiàn)G＝MN，同理可得EF∥MH，EF＝MH，GH∥NE，GH＝NE，∴E，F(xiàn)，G，H，M，N共面，∵AC∥EF，AC?平面EFGHMN，EF?平面EFGHMN，∴AC∥平面EFGHMN，同理可得BC1∥平面EFGHMN，∵E為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A到平面EFGHMN的距離與點(diǎn)B到平面EFGHMN的距離相等，即平面EFGHMN為所求的平面α，故與正方體的交線為正六邊形EFGHMN.類型二交線問(wèn)題考向1多面體中的交線問(wèn)題例3√因?yàn)樵谡襟wABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，取C1D1，DD1，BB1的中點(diǎn)分別為G，F(xiàn)，E，連接FG，F(xiàn)Q，QP，PE，ER，RG，根據(jù)正方體的特征，易知，若連接PG，EF，RQ，則這三條線必相交于正方體的中心，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，設(shè)過(guò)P，Q，R的截面與平面AD1以及平面AB1的交線分別為l，m，則l，m所成的角為A.90° B.30° C.45° D.60°又GR∥EF∥QP，所以P，Q，F(xiàn)，G，R，E六點(diǎn)必共面，即為過(guò)P，Q，R的截面；所以EP即為直線m，F(xiàn)Q即為直線l；連接AB1，AD1，B1D1，因?yàn)镋P∥AB1，F(xiàn)Q∥AD1，所以∠B1AD1即為異面直線EP與FQ所成的角或其補(bǔ)角，又因?yàn)檎襟w的各面對(duì)角線相等，所以△AB1D1為等邊三角形，因此∠B1AD1＝60°，即l，m所成的角為60°.考向2與球有關(guān)的交線問(wèn)題√取AB，AA1，A1B1，BB1的中點(diǎn)分別為F，E，H，G，N為四邊形ABB1A1的中心，例4在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中點(diǎn)M為球心，4為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線長(zhǎng)為A.2π B.3π C.4π D.8π連接MN，CF，MH，ME，MG，MF，HF，EG，因?yàn)锳B＝AA1＝4，故四邊形ABB1A1為正方形，G，N，E三點(diǎn)共線，H，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，MN⊥平面ABB1A1，且GN＝EN＝NH＝NF＝2，因?yàn)镸為CC1的中點(diǎn)，所以題中所求交線軌跡為以N為圓心，2為半徑的圓，球與側(cè)面ABB1A1的交線軌跡如圖所示，故交線長(zhǎng)l＝2×π×2＝4π.找交線的方法(1)線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn)；(2)面面交線法：各棱面與截平面的交線.規(guī)律方法已知正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和5，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則以下底面的一個(gè)頂點(diǎn)為球心，2為半徑的球面與此正三棱臺(tái)的表面的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______.訓(xùn)練2由題意，得△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，側(cè)面均為全等的等腰梯形，2π在四邊形ABB1A1中，AB＝5，A1B1＝2，AA1＝BB1＝3，如圖，在棱AB上取BF＝2，連接A1F，易知△AA1F為等邊三角形，分別是與平面ABC，平面ABB1A1，平面ACC1A1的交線，即∠A1AB＝60°，則以下底面的一個(gè)頂點(diǎn)A為球心，

【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√1.過(guò)一個(gè)圓錐的側(cè)面一點(diǎn)(不是母線的端點(diǎn))作圓錐的截面，則截面與該圓錐側(cè)面的交線可以是圖形①圓；②橢圓；③拋物線的一部分；④雙曲線的一部分中的 A.①②③④ B.①③④ C.①②

D.①②④根據(jù)截面與圓錐的位置關(guān)系，所得的圖形如圖所示，故截面與該圓錐側(cè)面的交線可以是圖形①圓；②橢圓；③拋物線的一部分；④雙曲線的一部分.√2.已知過(guò)BD1的平面與正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分別交于點(diǎn)M，N，則下列關(guān)于截面BMD1N的說(shuō)法中，不正確的是如圖①，當(dāng)點(diǎn)M，N分別與頂點(diǎn)重合時(shí)，顯然截面BMD1N是矩形；A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形如圖②，當(dāng)M，N為棱AA1，CC1的中點(diǎn)時(shí)，顯然截面BMD1N是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定理易知截面BMD1N不可能為正方形；根據(jù)對(duì)稱性，其他情況下截面BMD1N為平行四邊形.故選C.√3.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為連接BC1，AD1，D1F，如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，所以EF∥BC1，在正方體中AD1∥BC1，所以EF∥AD1，所以A，D1，F(xiàn)，E在同一平面內(nèi)，以平面AEF截該正方體所得的截面為平面EFD1A，√4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱B1B，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱C1C的中點(diǎn)，則過(guò)線段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為取BC的中點(diǎn)為H，A.等腰梯形 B.三角形

C.正方形

D.矩形如圖連接AH，GH，D1G，AD1，由題意得GH∥EF，AH∥A1F，∵GH?平面A1EF，EF?平面A1EF，∴GH∥平面A1EF，∵AH?平面A1EF，A1F?平面A1EF，∴AH∥平面A1EF，∵GH∩AH＝H，GH，AH?平面AHGD1，∴平面AHGD1∥平面A1EF，過(guò)線段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為等腰梯形AHGD1.√√√√7.(2024·茂名模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則

√√√對(duì)于A，如圖所示，連接AC，A1C1，A1B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以∠A1C1B或其補(bǔ)角即為EF與BC1所成的角，因?yàn)椤鰽1BC1是等邊三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以EF與BC1所成的角為60°，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€A1B1，A1D1所成角是90°，且兩條直線相交于A1，所以過(guò)點(diǎn)A1與兩直線所成角為60°的直線有4條，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知平面A1EFC1為過(guò)A1，E，F(xiàn)三點(diǎn)的截面，該截面為梯形，對(duì)于D，如圖所示，分別取AA1，CC1的靠近A，C的三等分點(diǎn)G，H，連接GD1，GE，HD1，HF，易知GE∥HD1，HF∥GD1，故點(diǎn)D1，G，E，F(xiàn)，H共面，該截面圖形為五邊形，故D正確.所以O(shè)1C＝O1D＝O1A＝AD，則△AO1D為正三角形，所以∠DAB＝60°，由題意得平面CEF⊥平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD＝O1C，所以點(diǎn)A到平面CEF的距離即為AD與O1C的距離，在△AO1D中，過(guò)點(diǎn)O1作AD的垂線O1M，過(guò)點(diǎn)D作AO1的垂線DN，設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r，R，如圖所示，若AD＝AF＝2，則PD＝PF＝4，即D，F(xiàn)在以P為球心，4為半徑的球面上，所以平面ABC與球面所成弧是以A為圓心，2為半徑的四分之一圓弧，故弧長(zhǎng)為π；分如下三種情況，①如圖1，延長(zhǎng)MP交B1C1于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作B1C1的垂線交A1C1于點(diǎn)S，連接AS，