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8章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直(第1課時(shí))直線與平面垂直的判定及直線與平面所成角復(fù)習(xí)引入

異面直線平移至共面——立體問題平面化

異面直線所成角探索新知思考：在生活中，有哪些實(shí)例給我們直線與平面垂直的直觀感受呢?旗桿垂直于地面鉛筆垂直于桌面晷針垂直于晷面那么同學(xué)們能將其數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)的語言來表示這些實(shí)例嗎？直線與平面垂直的定義

AB旗桿AB所在直線與地面垂直，即與地面上任意一條直線都垂直.學(xué)習(xí)新知

線面垂直定義

注意

2.定義中的“任意一條直線”與“每一條直線”、“所有直線”等價(jià)，

但不能換為“無數(shù)條”3.畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示．思考：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．將這一結(jié)論推廣到空間，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？過一點(diǎn)垂直于已知直線的平面有多少個(gè)？過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條;過一點(diǎn)垂直于已知直線的平面只有一個(gè)．點(diǎn)到平面的距離：

過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．α

P.O.l垂線段“點(diǎn)面距”點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離探索新知直線與平面垂直的判定思考：如何檢測的旗桿是否垂直于地面？（探究線面垂直的充分條件）測量旗桿與地面內(nèi)每一條直線是否都為直角追問：“測量每一條”的工作量太大，有沒有其他更為簡便的判定方法？簡化為“每一條”——證無限證有限探究：過紙片△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）．（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線與桌面所在平面α垂直．即直線AD

與平面α內(nèi)的兩條相交直線BC，AD都垂直

學(xué)習(xí)新知線面垂直判定如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

符號語言作用圖形語言證明線面垂直【思考】兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，兩條平行直線也可以確定一個(gè)平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無數(shù)條直線”呢？【練習(xí)】下列說法正確的是()A.若直線

l

與平面α內(nèi)的所有直線都垂直，則l

⊥α；B.若直線

l

與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則

l

⊥α；C.若直線

l

與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則

l

⊥α；D.若

l

⊥α，則直線

l

垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線．lmαnACD應(yīng)用新知例3：求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．【證明】你能用直線與平面垂直的定義證明這個(gè)結(jié)論嗎？abnm1.利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟：(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直；(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.2.線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化直線與平面垂直的判定探索新知直線與平面所成角思考：我們知道，當(dāng)直線和平面垂直時(shí),該直線叫做平面的垂線。

如果直線和平面不垂直,如何給它命名？這條直線叫做這個(gè)平面的斜線。

思考：如何求平面的斜線和平面所成角過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和平面所成的角。學(xué)習(xí)新知線面角平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的夾角，叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角).簡稱線面角.范圍

Pl圖8.6-14斜線斜足垂線射影AO思考：

BAOPC應(yīng)用新知例4：

確定斜線與平面的交點(diǎn)（斜足）；過斜線上除斜足外的某一點(diǎn)作平面的垂線（需證明）；連接斜足和垂足（常為特殊點(diǎn)），即為射影；斜線和射影所夾角即為所求角；求解垂線、斜線和射影構(gòu)成的直角三角形直線與平面所成的角的求解步驟練習(xí)（第152頁）1．如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？ABOS不一定，如圓錐的母線與底面所成角都相等，但圓錐的任意兩條母線是相交直線，不是平行直線．ABCDSABCD外中

垂內(nèi)PABCOPABCODEFPABCODEF典例分析探究點(diǎn)一

線面垂直概念的理解例1（2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的①正五邊形的兩條邊;②梯形的兩條邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.則可以證明該直線與平面垂直的是______（填序號）.①③

√探究點(diǎn)二

證明直線與平面垂直

√√√探究點(diǎn)三

求直線與平面所成的角

［素養(yǎng)小結(jié)］求直線與平面所成的角的一般步驟:（1）尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線;（2）垂足和斜足所在直線即為斜線在平面上的射影,