第十章函數(shù)的極限與連續(xù)§10-4函數(shù)的連續(xù)性☉函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義☉間斷點(diǎn)☉左連續(xù)、右連續(xù)☉初等函數(shù)的連續(xù)性☉最大值、最小值性質(zhì)本節(jié)主要內(nèi)容一、函數(shù)連續(xù)性的概念事物總是在變化的,

有許多現(xiàn)象給人以“連續(xù)”變化的感覺.

例如,

氣溫的變化、正常兒童身高的增長、海水的漲落、行駛在途中的汽車燃料的減少等等,

這些量的變化就是“連續(xù)”的,

也就是“漸變”,

而非“突變”.

飛機(jī)升高或下降過程中高度的改變、例如，某中學(xué)生在這一年中長高了許多,

可是一天內(nèi),

一個小時(shí)內(nèi),

他的身高又會改變多少呢?

用t表示時(shí)間,

h表示身高,

那么h是t的函數(shù).

在從某一確定時(shí)刻t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi),

可以想象,

|Δt|很小時(shí),

身高的改變|Δh|就很小,

當(dāng)Δt→0時(shí),

就應(yīng)該有Δh→0,

這就是“連續(xù)”的特征.

1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念設(shè)函數(shù)y=f(x),

x=a是其定義域內(nèi)一點(diǎn),

當(dāng)x從a變到a+Δx時(shí),

函數(shù)增量Δy=f(a+Δx)-f(a).令x=a+Δx,

則當(dāng)Δx→0時(shí),

x→a,

定義1

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a及其附近有定義,

那么就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處連續(xù),

稱x=a是f(x)的一個連續(xù)點(diǎn).定義中對函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處連續(xù)要求了以下條件:(1)f(x)在點(diǎn)x=a有定義(即有函數(shù)值f(a));

這三條中任何一條不滿足,

就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處不連續(xù),

這時(shí)點(diǎn)x=a叫做函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).從函數(shù)圖像上看,

函數(shù)在某點(diǎn)x=a處連續(xù),

就是圖像在點(diǎn)(a,f(a))處無斷開,

在某點(diǎn)x=b處不連續(xù),

就是圖像在x=b處斷開了.例1

說明下列函數(shù)在指定點(diǎn)處是否連續(xù):

(1)因?yàn)閒(x)在x=0無定義,

所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處不連續(xù)(如圖10-11(a)所示).

解(2)因?yàn)間(x)在x=1無定義,

所以函數(shù)g(x)在點(diǎn)x=1處不連續(xù)(如圖10-11(b)所示).

g(x)在x=2有定義,

g(2)=3,

所以,

函數(shù)g(x)在點(diǎn)x=2處連續(xù).(3)φ(x)在x=1有定義,

φ(1)=1,

所以函數(shù)φ(x)在點(diǎn)x=1處不連續(xù)(如圖10-11(c)所示).(4)h(x)在x=-1有定義,

h(-1)=-1-1=-2,

所以函數(shù)h(x)在點(diǎn)x=-1處不連續(xù)(如圖10-11(d)所示).

定義2

那么就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處左連續(xù);

那么就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處右連續(xù).如圖10-11所示,

函數(shù)h(x)在點(diǎn)x=-1處右連續(xù);

函數(shù)g(x)在點(diǎn)x=2處既左連續(xù)又右連續(xù).根據(jù)定義1、定義2容易知道:

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處連續(xù)的充分必要條件是圖10-11f(x)在點(diǎn)x=a處既左連續(xù)又右連續(xù).2.函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在某個區(qū)間上有定義的函數(shù),

如果區(qū)間是半開區(qū)間或閉區(qū)間,

在有定義的端點(diǎn)處說函數(shù)連續(xù),

指的只是左連續(xù)或右連續(xù),

這樣就可以說明函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的意義:

如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的每一個點(diǎn)處都連續(xù),

那么就說f(x)在該區(qū)間上連續(xù),

并稱f(x)是這個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).在某個區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),

在該區(qū)間上,

函數(shù)的圖像就是一條連續(xù)無間斷的曲線.

關(guān)于初等函數(shù)的連續(xù)性,

有下面的結(jié)論:

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.例2說出下列函數(shù)在哪些區(qū)間上連續(xù):(1)f(x)=2sinx-3cosx;

解(1)因?yàn)閒(x)=2sinx-3cosx是初等函數(shù),

其定義域?yàn)?-∞,+∞),

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù).(2)由分母x+3≠0,

得x∈(-∞,-3)∪(-3,+∞),

即函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?-∞,-3)∪(-3,+∞).

所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,-3)和(-3,+∞)上連續(xù).例3

求下列極限:

解

(1)函數(shù)f(x)=3sin2x+5cos2x是初等函數(shù),

其定義區(qū)間為(-∞,+∞),

即f(x)處處連續(xù),

=3sinπ+5cosπ=-5.

其定義域?yàn)?-1,+∞),又0∈(-1,+∞),

3.利用連續(xù)性求極限由定義1,

如果已知x=a是函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn),

這樣,

當(dāng)a是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),

例4

解

y=lnu在點(diǎn)u=e處連續(xù),

根據(jù)定理1,

下面再給出一個利用連續(xù)性求某些復(fù)合函數(shù)極限的方法.

定理1

設(shè)函數(shù)y=f(u),

u=φ(x),

f(u)在點(diǎn)u=b處連續(xù),

二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.最大值、最小值性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)在D上有定義,

c∈D,

對任意的x∈D:

如果都有f(c)≥f(x),

那么稱f(c)是函數(shù)f(x)在D上的最大值;如果都有f(c)≤f(x),

那么稱f(c)是函數(shù)f(x)在D上的最小值.

定理2

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),

那么f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值.如圖10-12所示,

函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),

在x=c1處有最小值f(c1),

在x=c2處有最大值f(c2).圖10-12*2.介值性質(zhì)定理3(介值性質(zhì))

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),

且兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)≠f(b),

m是介于f(a)與f(b)之

間的任意一個數(shù),那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,

使得f(c)=m.

特別地,

如果f(a)與f(b)符號相反,

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,

使得f(c)=0.

從圖像上看,

介值性質(zhì)的意義是:

如果y=m是介于兩條水平直線y=f(a)與y=f(b)之間的一條水平直線,

那么連續(xù)的曲線y=f(x)與直線y=m至少要相交一次(如圖10-13(a)所示).在特殊情形下,

f(a)與f(b)符號相反,

這時(shí)取m=0,

則直線y=0(即x軸)介于水平直線y=f(a)與y=f(b)之間,

連續(xù)曲線y=f(x)至少要與x軸相交一次,

即至少有一個交點(diǎn)(c,0),如圖10-13(b)所示.

由f(c)=0可知,

x=c是方程f(x)=0的一個實(shí)數(shù)根.例5

證明方程x3-3x+1=0在0與1之間有實(shí)數(shù)根.

證設(shè)f(x)=x3-3x+1,

f(x