超幾何分布的試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.超幾何分布是描述以下哪種隨機現(xiàn)象的概率分布？

A.抽樣不放回

B.抽樣放回

C.抽簽

D.拋硬幣

2.在一個裝有5個紅球和3個藍球的袋子里，隨機抽取3個球，不放回。求抽到2個紅球和1個藍球的概率。

A.0.0512

B.0.0769

C.0.0952

D.0.1128

3.超幾何分布的參數(shù)包括：

A.總體大小N

B.成功的個數(shù)K

C.抽樣次數(shù)n

D.樣本中成功的個數(shù)k

4.在一個裝有10個合格品和5個不合格品的箱子中，隨機抽取3個產(chǎn)品，不放回。求抽到2個合格品和1個不合格品的概率。

A.0.0512

B.0.0769

C.0.0952

D.0.1128

5.超幾何分布的概率公式為：

A.P(X=k)=C(K,k)*C(N-K,n-k)/C(N,n)

B.P(X=k)=C(N,k)*C(K,n-k)/C(N,n)

C.P(X=k)=C(N,n)*C(K,k)/C(N-K,n-k)

D.P(X=k)=C(N-K,k)*C(K,n-k)/C(N,n)

6.超幾何分布的期望值E(X)為：

A.E(X)=n*K/N

B.E(X)=n*(N-K)/N

C.E(X)=K*(N-K)/N

D.E(X)=N*(N-K)/K

7.超幾何分布的方差D(X)為：

A.D(X)=n*K*(N-K)/(N-1)*(N-n)

B.D(X)=n*(N-K)*(N-n)/(N-1)*K

C.D(X)=K*(N-K)*(N-n)/(N-1)*n

D.D(X)=N*(N-K)*(N-n)/(N-1)*(N-K)

8.超幾何分布適用于以下哪種情況？

A.抽樣放回

B.抽樣不放回

C.抽簽

D.拋硬幣

9.超幾何分布的分布函數(shù)F(x)為：

A.F(x)=Σ[C(K,k)*C(N-K,n-k)/C(N,n)]，k=0,1,2,...,n

B.F(x)=Σ[C(N,k)*C(K,n-k)/C(N,n)]，k=0,1,2,...,n

C.F(x)=Σ[C(N-K,k)*C(K,n-k)/C(N,n)]，k=0,1,2,...,n

D.F(x)=Σ[C(N,k)*C(K,n-k)/C(N-K,n-k)]，k=0,1,2,...,n

10.超幾何分布的隨機變量X的概率密度函數(shù)f(x)為：

A.f(x)=C(K,k)*C(N-K,n-k)/C(N,n)，k=0,1,2,...,n

B.f(x)=C(N,k)*C(K,n-k)/C(N,n)，k=0,1,2,...,n

C.f(x)=C(N-K,k)*C(K,n-k)/C(N,n)，k=0,1,2,...,n

D.f(x)=C(N,k)*C(K,n-k)/C(N-K,n-k)，k=0,1,2,...,n

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.超幾何分布的隨機變量X的取值范圍是0到N。

2.當(dāng)N很大，n很小時，超幾何分布近似于二項分布。

3.超幾何分布的期望值E(X)等于樣本大小n。

4.超幾何分布的方差D(X)等于nK/N。

5.超幾何分布的概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)是遞增的。

6.在超幾何分布中，當(dāng)n增加時，概率P(X=k)會減小。

7.超幾何分布的隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的。

8.超幾何分布的概率密度函數(shù)f(x)是離散的。

9.超幾何分布適用于所有類型的抽樣問題。

10.當(dāng)總體中成功的個數(shù)K遠小于總體大小N時，超幾何分布近似于二項分布。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述超幾何分布的定義及其適用條件。

2.解釋什么是超幾何分布的期望值和方差，并給出計算公式。

3.說明超幾何分布與二項分布的區(qū)別。

4.如何通過模擬實驗來估計超幾何分布的概率？

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述超幾何分布在實際問題中的應(yīng)用，并舉例說明。

2.分析在什么情況下超幾何分布會近似于二項分布，并解釋其原因。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.在一個袋子里有10個白球和5個黑球，隨機抽取3個球，不放回。求抽到2個白球和1個黑球的概率，使用的是哪種分布？

A.超幾何分布

B.二項分布

C.泊松分布

D.正態(tài)分布

2.超幾何分布的隨機變量X的方差D(X)公式中，分母的(N-1)是因為：

A.總體中成功的個數(shù)減去1

B.樣本大小減去1

C.總體大小減去1

D.總體大小減去樣本大小

3.如果總體大小N很大，樣本大小n相對于N很小，那么超幾何分布的隨機變量X的期望值E(X)將接近于：

A.n

B.N

C.N/n

D.K/N

4.在一個裝有50個正品和30個次品的箱子中，隨機抽取10個產(chǎn)品進行檢測，不放回。求至少抽取到5個正品的概率，最合適的分布是：

A.超幾何分布

B.二項分布

C.泊松分布

D.正態(tài)分布

5.超幾何分布的隨機變量X的概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)與以下哪個選項無關(guān)？

A.總體大小N

B.成功的個數(shù)K

C.樣本大小n

D.抽樣方法

6.超幾何分布的隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是：

A.連續(xù)的

B.離散的

C.可以是連續(xù)的也可以是離散的

D.取決于總體大小N

7.在一個裝有100個元件的箱子中，已知其中有20個有缺陷。隨機抽取5個元件進行測試，不放回。求至少抽取到1個有缺陷的元件的概率，使用的是哪種分布？

A.超幾何分布

B.二項分布

C.泊松分布

D.正態(tài)分布

8.超幾何分布的隨機變量X的期望值E(X)是：

A.n

B.N

C.K

D.K/N

9.當(dāng)總體大小N很大，成功的個數(shù)K相對較小，樣本大小n相對于N很小時，超幾何分布的概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)將如何變化？

A.增大

B.減小

C.保持不變

D.不可預(yù)測

10.超幾何分布的隨機變量X的方差D(X)是：

A.n*K/N

B.N*(N-K)/N

C.K*(N-K)/N

D.N*(N-K)/K

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.A

解析思路：超幾何分布適用于抽樣不放回的情況。

2.B

解析思路：使用超幾何分布公式計算，P(X=2)=C(5,2)*C(3,1)/C(8,3)=0.0769。

3.A,B,C,D

解析思路：超幾何分布的參數(shù)包括總體大小N、成功的個數(shù)K、抽樣次數(shù)n和樣本中成功的個數(shù)k。

4.A

解析思路：使用超幾何分布公式計算，P(X=2)=C(10,2)*C(5,1)/C(15,3)=0.0512。

5.A

解析思路：超幾何分布的概率公式為P(X=k)=C(K,k)*C(N-K,n-k)/C(N,n)。

6.A

解析思路：超幾何分布的期望值E(X)=n*K/N。

7.A

解析思路：超幾何分布的方差D(X)=n*K*(N-K)/(N-1)*(N-n)。

8.B

解析思路：超幾何分布適用于抽樣不放回的情況。

9.A

解析思路：超幾何分布的分布函數(shù)F(x)是離散的，因為它是概率質(zhì)量函數(shù)的累積和。

10.A

解析思路：超幾何分布的隨機變量X的概率密度函數(shù)f(x)是概率質(zhì)量函數(shù)，對于離散隨機變量來說是概率。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

解析思路：超幾何分布的隨機變量X的取值范圍是0到N。

2.√

解析思路：當(dāng)N很大，n很小時，超幾何分布的分布律接近二項分布的分布律。

3.√

解析思路：超幾何分布的期望值E(X)=n*K/N，與樣本大小n成比例。

4.√

解析思路：超幾何分布的方差D(X)=n*K*(N-K)/(N-1)*(N-n)，與成功的個數(shù)K和總體大小N有關(guān)。

5.×

解析思路：超幾何分布的概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)在k增加時先增加后減少。

6.×

解析思路：在超幾何分布中，當(dāng)n增加時，概率P(X=k)不一定減小，取決于K和N的大小。

7.×

解析思路：超幾何分布的分布函數(shù)F(x)是離散的，因為它是概率質(zhì)量函數(shù)的累積和。

8.√

解析思路：超幾何分布的概率密度函數(shù)f(x)是概率質(zhì)量函數(shù)，對于離散隨機變量來說是概率。

9.×

解析思路：超幾何分布適用于不放回抽樣的情況，而不是所有類型的抽樣問題。

10.√

解析思路：當(dāng)總體中成功的個數(shù)K遠小于總體大小N時，超幾何分布的分布律接近二項分布的分布律。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.超幾何分布是描述不放回抽樣的概率分布，適用于從有限總體中抽取樣本，且總體中成功的個數(shù)是已知的。其適用條件包括：總體大小N是有限的，成功的個數(shù)K是已知的，樣本大小n是有限的，且抽取的樣本是不放回的。

2.超幾何分布的期望值E(X)是樣本中成功的平均個數(shù)，計算公式為E(X)=n*K/N。方差D(X)是成功的個數(shù)與總體大小的函數(shù)，計算公式為D(X)=n*K*(N-K)/(N-1)*(N-n)。

3.超幾何分布與二項分布的區(qū)別在于抽樣方式。超幾何分布是放回抽樣的概率分布，而二項分布是不放回抽樣的概率分布。另外，超幾何分布適用于總體大小有限的情況，而二項分布適用于總體大小無限或總體大小大于樣本大小的情況。

4.通過模擬實驗估計超幾何分布的概率，可以通過以下步驟進行：首先，確定總體大小N、成功的個數(shù)K和樣本大小n；然后，使用計算機生成一個包含N個元素的隨機樣本，其中K個元素是成功的；接著，重復(fù)生成多個樣本，并計算每個樣本中成功的個數(shù)；最后，計算所有樣本中成功的個數(shù)的平均值，這個平均值就是超幾何分布的估計概率。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.超幾何分布在實際問題中的應(yīng)用非常廣泛，例如在質(zhì)量檢驗、生物統(tǒng)計、市場調(diào)查等領(lǐng)域。例如，在質(zhì)量控制中，可以從一批產(chǎn)品中隨機抽取一定數(shù)量的樣本進行檢查，使用超幾何分布可以計算