高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省滄州市滄州五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.與的方向相反 B.C.與的方向相同 D.【答案】C【解析】由于，所以，因此與方向相同.故選：C.2.已知和是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，，三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得.故選：B.3.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)的夾角為，所以在上的投影向量為.故選：B.4.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足題意.故選：B.5.在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，解得，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因?yàn)?，所以為銳角，所以，所以.故選：A.6.設(shè)為單位向量，，當(dāng)，夾角為時(shí)，在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，在上的投影向量為．故選：D．7.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡(jiǎn)可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.故選：B.8.向量，（），函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)間的距離為，若（）是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】=.因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)間的距離為，所以所以.令，則因?yàn)椋运?.故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖是八卦模型圖，其平面圖形記為圖中的正八邊形，其中，則給出下列結(jié)論（）A. B.C.在向量上的投影為 D.【答案】AB【解析】圖中的正八邊形，其中，對(duì)于A：，故A正確．對(duì)于B：，故B正確．對(duì)于C：在向量上的投影，，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D：，，但對(duì)應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.下列說法正確的是（）A.在中，若，則為銳角三角形B.若，則在方向上的投影向量為C.若，且與共線，則D.設(shè)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則【答案】BD【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以，于是，所以為鈍角三角形，所以錯(cuò)；對(duì)于，因?yàn)?，則在方向上的投影向量為，所以對(duì)；對(duì)于，假設(shè)對(duì)，則，從而，于是，所以與不共線，所以與與共線矛盾，所以錯(cuò)；對(duì)于，取中點(diǎn)，連接、，延長到，使，連接、，則四邊形為平行四邊形，于是，又因?yàn)?，所以，所以、、共線，且，所以，所以D對(duì)．故選：BD．11.下列說法中錯(cuò)誤的為（）A.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.向量不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若，則在方向上投影的數(shù)量為D.三個(gè)不共線的向量，滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【解析】對(duì)于A：，與的夾角為銳角，可得，且與不共線，，即有，且，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對(duì)于C：若，則在方向上的投影的數(shù)量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：過分別作、、的垂線，垂足分別為、、，如圖，三個(gè)不共線的向量，滿足，，即，即，易得≌，則，同理可得，即點(diǎn)到三邊的距離相等，則是的內(nèi)心，故D正確．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，若，，且，則__________.【答案】13【解析】90°，，又||＝12，||＝5，則.13.已知海島在海島的北偏東的方向上，且兩島的直線距離為.一艘海盜船以的速度沿著北偏東方向從海島出發(fā)，同時(shí)海警船以的速度從海島進(jìn)行追趕，經(jīng)過小時(shí)后兩船相遇，則海警船的航行方向是北偏東_______.【答案】【解析】設(shè)海警船的航行方向是北偏東，由題知，，，在中，由正弦定理得到，得到，又，所以，得到.14.某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢ABCDEFGH，該十字飛鏢由四個(gè)全等的三角形和一個(gè)正方形組成．在△ABC中，，，BC＝4，邊DE上有4個(gè)不同的點(diǎn)，，，，且，記，則______.【答案】96【解析】延長交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?

在中，，所以，

設(shè)邊上的高為，，

解得，即，，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求在上的投影向量的模；（2）若，向量，求與夾角的余弦值．解：（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄康哪椋?）因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?即，.所以.16.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為的三邊，，的中點(diǎn)，求證：．解：由題意知，，，由題意可知，．．17.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.解：（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．解：（1）因?yàn)?，由余弦定理，得，?所以.（2）因?yàn)?，由正弦定理，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.19.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系.在仿射坐標(biāo)系中，若，記.（1）在仿射坐標(biāo)系中.①若，求；②若，且，的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，B，C分別在x軸，y軸正半軸上，，E，F(xiàn)分別為BD，BC中點(diǎn)，求的最大值.解：（1）①因?yàn)?，，所以；②由，即，得，，，因?yàn)榕c的夾角為，則，得.（2）依題意設(shè)，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，為中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，則，在中依據(jù)余弦定理得，所以，代入上式得，，在中，由正弦定理，設(shè)，則，，其中，是取等號(hào)，則.河北省滄州市滄州五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.與的方向相反 B.C.與的方向相同 D.【答案】C【解析】由于，所以，因此與方向相同.故選：C.2.已知和是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋遥?，三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得.故選：B.3.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)的夾角為，所以在上的投影向量為.故選：B.4.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足題意.故選：B.5.在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋獾?，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因?yàn)?，所以為銳角，所以，所以.故選：A.6.設(shè)為單位向量，，當(dāng)，夾角為時(shí)，在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，在上的投影向量為．故選：D．7.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡(jiǎn)可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.故選：B.8.向量，（），函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)間的距離為，若（）是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】=.因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)間的距離為，所以所以.令，則因?yàn)?，所以所?.故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖是八卦模型圖，其平面圖形記為圖中的正八邊形，其中，則給出下列結(jié)論（）A. B.C.在向量上的投影為 D.【答案】AB【解析】圖中的正八邊形，其中，對(duì)于A：，故A正確．對(duì)于B：，故B正確．對(duì)于C：在向量上的投影，，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D：，，但對(duì)應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.下列說法正確的是（）A.在中，若，則為銳角三角形B.若，則在方向上的投影向量為C.若，且與共線，則D.設(shè)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則【答案】BD【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以，于是，所以為鈍角三角形，所以錯(cuò)；對(duì)于，因?yàn)?，則在方向上的投影向量為，所以對(duì)；對(duì)于，假設(shè)對(duì)，則，從而，于是，所以與不共線，所以與與共線矛盾，所以錯(cuò)；對(duì)于，取中點(diǎn)，連接、，延長到，使，連接、，則四邊形為平行四邊形，于是，又因?yàn)?，所以，所以、、共線，且，所以，所以D對(duì)．故選：BD．11.下列說法中錯(cuò)誤的為（）A.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.向量不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若，則在方向上投影的數(shù)量為D.三個(gè)不共線的向量，滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【解析】對(duì)于A：，與的夾角為銳角，可得，且與不共線，，即有，且，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對(duì)于C：若，則在方向上的投影的數(shù)量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：過分別作、、的垂線，垂足分別為、、，如圖，三個(gè)不共線的向量，滿足，，即，即，易得≌，則，同理可得，即點(diǎn)到三邊的距離相等，則是的內(nèi)心，故D正確．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，若，，且，則__________.【答案】13【解析】90°，，又||＝12，||＝5，則.13.已知海島在海島的北偏東的方向上，且兩島的直線距離為.一艘海盜船以的速度沿著北偏東方向從海島出發(fā)，同時(shí)海警船以的速度從海島進(jìn)行追趕，經(jīng)過小時(shí)后兩船相遇，則海警船的航行方向是北偏東_______.【答案】【解析】設(shè)海警船的航行方向是北偏東，由題知，，，在中，由正弦定理得到，得到，又，所以，得到.14.某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢ABCDEFGH，該十字飛鏢由四個(gè)全等的三角形和一個(gè)正方形組成．在△ABC中，，，BC＝4，邊DE上有4個(gè)不同的點(diǎn)，，，，且，記，則______.【答案】96【解析】延長交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?

在中，，所以，

設(shè)邊上的高為，，

解得，即，，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求在上的投影向量的模；（2）若，向量，求與夾角的余弦值．解：（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以在上的投影向量的模為．?）因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得?即，.所以.16.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為的三邊，，的中點(diǎn)，求證：．解：由題意知，，，由題意可知，．．17.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.解：（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．解：（1）因?yàn)?，由余弦定理，得，?所以.（2）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得，所?從而，即，故.因