第二節(jié)等差數(shù)列

考試要求：1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

2.探索并掌握等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和

公式的關(guān)系.

------------X必備知識(shí)?回顧教材重“四基——

一、教材概念-結(jié)論-性質(zhì)重現(xiàn)

1.等差數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母史表示.

遞推公式為：。吐La“=d(〃￡N*).

微提醒”“

注意定義中“從第2項(xiàng)起”“同一個(gè)常數(shù)”的意義.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

(1)首項(xiàng)為a\,公差為d的等差數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為l)d.

(2)若已知以，公差是d,則這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是a〃=ak+5—k)d.

微提醒”“

當(dāng)今0時(shí)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式可以看成關(guān)于〃的一次函數(shù)a〃=d〃+(ai—").

二等！中I?

由三個(gè)數(shù)小4,8組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做

。與的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a±b.

4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣公式：Un—am+(〃一/"”(〃,m七N，)od="：.：；(〃工〃1).

(2)若｛&｝為等差數(shù)列,且m+/i=p+g=2如則加+m=即+附=26°(6，/?,p,

q,IP￡N").

(3)若｛a〃｝是等差數(shù)列,公差為d,則以，ak+m,a,…出MWN)是公差為〃0

的等差數(shù)列.

(4)若｛&｝,｛/%｝是等差數(shù)列，則｛/%”+被”｝也是等差數(shù)列.

5.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及其性質(zhì)

⑴設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,其前〃項(xiàng)和S產(chǎn)竺等=〃m+g0d.

⑵數(shù)列S〃”S2M-S〃”S3,“一S2"”…也是等差數(shù)歹|J.

⑶闈為等差數(shù)列.

(4)〃為奇數(shù)時(shí)，Sn=〃a中(。>|i=tln+l)>S=.i>,S<B=----4/d-,所以Sfij—S=

a中?

〃為偶數(shù)時(shí)，SLS奇=竽

微提醒■■■■

藪列｛a〃｝是等差數(shù)列<=>數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=+(Qi—〃=S”=An2+

8〃(A,B為常數(shù))，所以當(dāng)今0時(shí)，等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可以看成關(guān)于〃的二

次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.

二、基本技能?思想?活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

1.判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“J”，錯(cuò)的畫“X”.

(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等

差數(shù)列.(X)

(2)等差數(shù)列/〃｝的單調(diào)性是由公差d決定的.(V)

(3)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為()的二次函數(shù).(X)

(4)若僅“｝是等差數(shù)列，公差為d,則數(shù)列｛G〃｝也是等差數(shù)列.(J)

2.已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若3=2,痣+川。=28,則S9=()

A.36B.72

C.144D.288

B解析：因?yàn)槔?出0=2。|+164=28,0=2,所以〃=*所以S<)=9X2+等x

：72.

3.己知等差數(shù)列優(yōu)〃｝滿足：G=13,。13=33,則數(shù)列｛.｝的公差為()

A.1B.2

C.3D.4

B解析：公差"=答苧=2.

13—3

4.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為白，從第10項(xiàng)起開始比1大，則這個(gè)等差數(shù)列的公差

d的取值范圍是()

A.d>2B.d<之

7525

C.—<cl<—D.—<^—

75257525

D解析：由題意可得削>1'即!手+941'解得2Vd4

7525

U9<1,已+8dWl,

5.已知等差數(shù)列5,彩3；,…，則前?〃項(xiàng)和8=.

亮(15〃一〃2)解析：由題知公差d=-今所以S“=〃〃i+的尸〃=975〃-5/)=

—(15/?-w2).

、、關(guān)鍵能力-研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼7

考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本量運(yùn)算——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.(多選題)記S〃為等差數(shù)列伍”｝的前〃項(xiàng)和.已知S4=0,如=5,則下列選項(xiàng)正

確的是()

A.42+。3=0

B.=2H—5

C.Sn=n(n—4)

D.d=~2

ABC解析：由題意可知，|2解得％一—3,故如=2〃一

(的=+4d=5,(d=2.

5,S〃=〃2—4〃.故選ABC.

2.記S〃為等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，若3s3=S2+S4,內(nèi)=2,則3=()

A.-12B.-10

C.10D.12

B解析：設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為乩由3s3=S?+S4,

得3[3%+吟3d]=2ai+出尹d+4s+生產(chǎn)24將切=2代入上式，解得d

=-3,故公=的+(5—1)d=2+4X(—3)=—10.

3.(2022?全國乙卷)記S為等差數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3S2+6,則公差

d=.

2解析：因?yàn)?s3=3S?+6,所以2(0+42+43)=3(41+42)+6,

因?yàn)椋ā保秊榈炔顢?shù)列，所以6。2=3。1+3。2+6,所以3(G—m)=3d=6,解得d=

2.

解題通法

將條件用s,d表示出來后，往往需要解二元一次方程組，如果出現(xiàn)消元等計(jì)算

錯(cuò)誤，會(huì)致使結(jié)果不對(duì).

考點(diǎn)2等差數(shù)列的判斷與證明——徐合性

「典例引領(lǐng)」

例D/(2022?日照模擬)已知數(shù)列｛〃〃｝,例〃｝滿足的=1,〃“+1=1—親，'=2："

其中

求證：數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式.

證明：因?yàn)闉?i一d=’-------!_=丁$------!_=*------!_=2,

2a-1

n+i2即-12an-l2an-l2an-l

所以數(shù)列｛仇｝是公差為2的等差數(shù)列.

又從=」一=2,所以兒=2+(〃-1)X2=2〃，

2a「l

所以2〃=」一，解得4〃=生匚.

2an-l2n

同源異考/

本例的條件變?yōu)椋海。堑炔顢?shù)列且滿足?。?,外是a和如+1的等比中項(xiàng),設(shè)

。尸％+〔一比，〃WN+,求證：數(shù)列｛c0｝是等差數(shù)列.

證明：由題意得品=1,

則Cn=+1—=(ln+1?！?2-(bt(ln+1=2(1?！?1,

因此cll+1—CM=2d(a〃+2—%+1)=2心，所以｛c”｝是等差數(shù)列.

解還通法

等差數(shù)列的4個(gè)判定方法

(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)〃都有m+1—。〃等于同一個(gè)常數(shù).

(2)等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2。〃+1=。”+如+2.

(3)通項(xiàng)公式法:得出z=p〃+夕后，再根據(jù)定義判定數(shù)列｛〃”｝為等差數(shù)列.

(4)前〃項(xiàng)和公式法：得出S〃=A/+8〃后，再使用定義法證明數(shù)列伍〃｝為等差數(shù)

列.

「多維訓(xùn)練」

已知數(shù)列僅“｝的前〃項(xiàng)和為S”且滿足。〃+2s〃?S〃I=O(/7^2),?i=1.

(1)求證：｛2｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

(1)證明：因?yàn)樾?2明?Si=0(〃22),

所以an=—2Sn?5M-1.

又Un=Sn—S〃一1(〃22),所以Sn-\—S”=2S”■S〃一1(〃22).

又S#0,因此2--=2(/?>2).

SnS“-i

故由等差數(shù)列的定義知｛日是以己=2=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

(2)解:由⑴知4=正+(〃-l)d=2+(〃-1)X2=2〃,

SnS]

即Sn=-.

2n

由于當(dāng)〃22時(shí)，有?！?一2S〃?=一二

2n(n-l)

又因?yàn)椴贿m合上式，

(11

幾=1,

所以1

------;——r,n>2.

2n(n-l)

考點(diǎn)3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

考向1等差數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)

例?*(1)在等差數(shù)列｛a”｝中，已知白3+〃8=6,則3a2+416的值為()

A.24B.18C.16D.12

D解析：由題意知/+〃8=2ai+9d,3s+ai6=40+18d=2(a3+a8)=12.故選

D.

⑵設(shè)S”是等差數(shù)歹四｝的前〃項(xiàng)和,若最(則廣()

A.1B.-1

C.2D.1

A解析：方法一：也=等號(hào)=%因?yàn)?=三，所以包=1.故選A.

S55(。1+。5)5a3a39S5

方法二：因?yàn)?=三=>3士"=三=2的=-13乩

a39%+2d9

萬斤以Sg_9(即+的)—9(2%+8d)—9(-5d)_]

S55(。1+1)5(2%+44)5(-9d)'

解題通法

等差數(shù)列中最常用的性質(zhì)

(2)若"?+〃=〃+〃，貝I?！??！?〃"+&/.

考向2等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

例?，個(gè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛切｝的前〃項(xiàng)和為3,前3〃項(xiàng)和為21,則前2〃項(xiàng)和為

()

A.18B.12

C.1()D.6

C解析：因?yàn)椋ā埃堑炔顢?shù)列，

所以Sn,S2n-Sn,$3〃一S2r成等差數(shù)列，

即2(S2〃-S〃)=S〃+(S3〃—S2〃).

因?yàn)镾〃=3,S3〃=21,

所以2(S2〃-3)=3+21—S',解得S2n=10.

解題通法

在等差數(shù)列｛〃”｝中，S為其前〃項(xiàng)和，則

(1)Sm,S2ni-Sm,S3nLSim…成等差數(shù)列.

(2)52〃=n(a\+ain)=…=n(cin+1).

(3)S2〃-1=⑵?—1)“〃.

「多維訓(xùn)練」

1.已知等差數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃,若241=49+7,則S25=()

145

A.VB.145

175

c.D.175

2

D解析：因?yàn)??！?49+413=09+7,所以ai3=7,

所以S25=?+"25)X25=25*3=]75故選D.

2

2.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S”若Sio=l,530=5,則SM=()

A.7B.8

C.9D.1()

B解析：方法一：設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為乩

(lOai+—d=1,(d=—,

則I30X29解得I臂

|30a1+—d=5,[a.=-,

所以S4()=二義40+竺經(jīng)X」-=8.故選B.

1002150

方法二：設(shè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和為S=A"+8〃，

由題意知產(chǎn)力+1°85解得平'

(9004+308=5,(8=套

所以$尸工+白，所以&o=8.故選B.

30015

方法三：由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sio,S20—S10,S30—S20,S40—S30成等差數(shù)列，所

以2(S2O—SIO)=SIO+(S3O-S2O),所以S2o=Sio+￥=l+g=J.所以〃=(S20—Sio)一

Sio=-,所以80-5=1+3x2=3,所以S40=8.故選B.

33

方法四：由等差數(shù)列的性質(zhì)知｛押｝是等差數(shù)列，

所以包也包也即三包1也成等差數(shù)列，

10，2030，4010'20'6'40'

1__￡

所以阻=工+遼=工，所以§40=8.故選B.

40625

考點(diǎn)4等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值一一琮合性

「典例引領(lǐng)」

例0?記S為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，已知切=-7,S3=-15.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S”，并求S”的最小值.

解：(1)設(shè)數(shù)列｛知｝的公差為d,由題意得3m+3d=T5.

由ai=-7得〃=2,

所以數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為〃〃=，，+(〃-1)4=2〃-9.

(2)由(1)得S〃=七%?〃=/-8〃=(〃-4)2—16,

所以當(dāng)〃=4時(shí)，S“取得最小值，最小值為一16.

解題通法

1.等差數(shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)和S”存在最值的情況：

如果小>0,QVO時(shí)，數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“有最大值；

如果你V0,,/>()時(shí)，數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”有最小值.

2.借用通項(xiàng)的部項(xiàng)變號(hào)法：

?1>(),d<0,滿足［即1'°'S〃取得最大值s〃；

(即1+1—0，

的<0,6>0,滿足【即1""S〃取得最小值S”.

Um+1之0，

「多維訓(xùn)練」

在等差數(shù)列｛〃〃｝中，3=7,公差為4前〃項(xiàng)和為S”當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)，S〃取

得最大值，則d的取值范圍為.

(d〈0,

(一1,一()解析：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)S〃有最大值，可得即

d<0,

74-7d>0,解得一IVdV一(

｛7+8dV0,

一、一題N解?深化綜合提“素養(yǎng)”/—

「試題呈現(xiàn)」

在等差數(shù)列｛而｝中，已知m=20,前〃項(xiàng)和為S,且Sio=Si5.求當(dāng)〃取何值時(shí),

品取得最大值，并求出它的最大值.

［四字程序］

讀想算思

〃取何值時(shí)，Sn1.S”的表達(dá)式.1.求通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化與化歸

取得最大值2.求最值的方法Cln.

2.求前〃項(xiàng)和S

1.利用等差數(shù)列1.數(shù)列的單調(diào)

等差數(shù)列，的=的項(xiàng)的符號(hào).性.

2.Sn=-1/r—

2()?Sio=Si52.利用二次函數(shù)2.二次函數(shù)的性

—125n

的性質(zhì)6質(zhì)

「一題多解

法」

思路參考：先求出公差d,再由小確定S取得最大值時(shí)〃的值.

解：因?yàn)閙=20,Sio=Si5,

所以10X20+北巴d=15X20+Sid,

22

所以d=

3

由a?=204-(?-I)X(-|)=-1,?4-y.

因?yàn)槟?20>0,，/=一：<0,

所以數(shù)列｛〃”｝是遞減數(shù)列.

由〃”=—9〃+的W0,得〃213,即03=0.

33

當(dāng)“W12時(shí),an>0;當(dāng)〃214時(shí)，an<0.

所以當(dāng)〃=12或13時(shí)，S”取得最大值，

且最大值為5i2=Si3=12X20+^|^x(-1)=13().

思路參考：先求出公差d,再由S”的表達(dá)式確定其最大值.

解：因?yàn)榉?20,5io=Si5,

所以10乂20+竺%/=15乂20+竺3乩

22

所以d=—

3

*=20〃+^^?(一9

5,125

=-―〃2-十一n

=-沁-學(xué)+妥?

因?yàn)椤ā闚*,所以當(dāng)〃=12或13時(shí)，S”有最大值，且最大值為Si2=Si3=130.

法

思路參考：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

解：由Sio=Si5得Si5—S!o=aii+ai2+ai3+ai4+ai5=0,

所以5al3=0,即ai3=0.

又4=箸段=常，

所以當(dāng)〃=12或13時(shí)，S”有最大值.

所以Si2=12X20+冷Ux(-1)=130.

法」4/

思路參考：結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)解答.

解:因?yàn)榈炔顢?shù)列｛?。那啊?xiàng)和S〃是關(guān)于〃的二次函數(shù),且Sio=Si5,

所以10X20+等415X20+^4

所以"=一:

又號(hào)^=12.5,

所以〃=12或13時(shí)，S〃取得最大值.

所以82=12X20+與Ux(-1)=130.

「思維升華」

1.基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要具備良好的數(shù)學(xué)閱讀技能、運(yùn)算求解能力、

推理能力和表達(dá)能力.本題的解答體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，試題

的解答過程展現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的魅力.

2.基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，木題創(chuàng)設(shè)了數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情景，通過知識(shí)之間的聯(lián)

系和轉(zhuǎn)化，將最值轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型.本題的切入點(diǎn)十分開放，可以從不同

的角度解答題目，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性；同時(shí)，解題的過程需要知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)

了綜合性.

「類題試練」

等差數(shù)列｛?。校O(shè)S為其前〃項(xiàng)和，且53=5II,則當(dāng)〃為多少時(shí)，S

最大？

解：（方法一）由S3=Sl,

得3切+吆〃=1Is+小土/,則d=--6/I.

2213

2

從而S“=g〃2+（Q]—0/2=—^（7?—7）+^fl|.

又s>0,所以一巴■V0.故當(dāng)〃=7時(shí)，8最大.

13

（方法二）由于S〃=<〃P+而是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3=Su,可知Sn=air-Vbn的

圖象關(guān)于〃=過1=7對(duì)稱,由方法一可知二次項(xiàng)系數(shù)a=—4V0,故當(dāng)n=7時(shí)，

213

s〃最大.

（方法三）由方法一可知，d=-2m.

JL<5

斯>0,

要使s”最大，則有

Qn+1—0,

Ql+（九-1）（一卷的）-

即

%+幾（一5%）<0,

解得6.54/1W7.5,故當(dāng)〃=7時(shí)，S“最大.

（方法四）由S3=S“可得2m+l3d=0,

即（ai+6d）+（m+7"）=0,故。7+。8=0.

又由ai>0,S3=Su可知dVO,

所以。7>0,48V0,

所以當(dāng)11=7時(shí)，S”最大.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（四十）

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.在等差數(shù)列｛m｝中，小+扇+。6=15,則此等差數(shù)列的前9項(xiàng)之和為（）

A.5B.27

C.45D.90

C解析：依題意。1+制+俏=15,即3ai+l2d=15,即3a5=15,所以公=5.

所以59=彳0+。9）=9〃5=45.故選C.

2.（2022?威海三模）等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S〃,若G=4,59=18,則公差

〃=（）

A.1B.-I

C.2D.-2

B解析：因?yàn)镾9=n歿也=9〃5=18,

所以45=2,所以2d=45—43=2—4=—2,

解得d=-l.

3.一百零八塔是中國現(xiàn)存的大型古塔群之一，位于銀川市南60公里的青銅峽水

庫西岸崖壁下，佛塔依山勢(shì)自上而下，按1,3,3,5；5,7,9,11,13,15,

17,19的奇數(shù)排列成十二行，塔體分為4種類型；第1層塔身覆缽式，2~-4層

為八角鼓腹錐頂狀，5?6層呈葫蘆狀，7?12層呈寶瓶狀，現(xiàn)將一百零八塔按從

上到下，從左到右的順序依次編號(hào)1,2,3,4,…，108.則編號(hào)為26的佛塔所

在層數(shù)和塔體形狀分別為（）

一百零八塔全景

A.第5行，呈葫蘆狀

B.第6行，呈葫蘆狀

C.第7行，呈寶瓶狀

D.第8行，呈寶瓶狀

C解析：因?yàn)?+3+3+5+5+7=24,故編號(hào)為26的佛塔在第7行，呈寶瓶

狀.故選C.

4.已知等差數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和為S“2s8=S7+Sio,則Si=()

A.21B.11

C.-21D.0

D解析：由2s8=S7+So,得57=SIO-Ss,

所以〃8=。9+。10,則-48=411=(),

所以S21=⑷+、）21=2戶=2imi=o.故選D.

5.（2022?長(zhǎng)春模擬）在等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知|俏|=|頌|,且公差上0,則其前〃

項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為（)

A.6B.7

C.8D.9

C解析：因?yàn)閨〃6|=|aii|且公差辦0,所以〃6=—aii,

所以。6+。11=。8+。9=0,且。8<0,。9>0,

所以<…，

所以使S”取最小值的n的值為8.故選C.

6.(多選題)等差數(shù)列僅〃｝的前〃項(xiàng)和為5〃，公差”=1.若0+3〃5=57,則以下結(jié)

論一定正確的是()

A.出=1B.S〃的最小值為S3

C.51=56D.S〃存在最大值

AC解析：因?yàn)閍i+3〃5=S7,所以ai+3(ai+4d)=7ai+q&/,

又因?yàn)?=1,解得勿=一3.

對(duì)選項(xiàng)A,45=41+44=1,故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B,a〃=—3+八一1=〃一4,

因?yàn)椤╨=—3<0,d3=—1<0,44=0,6/5=1>0,

所以S〃的最小值為S3或a,故B錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C,S6—5|=〃2+。3+。4+。5+%=5。4,

又因?yàn)槌?0,所以S6—Si=0,即S1=S6,故C正確；

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)閙=—3<0,d=l>0,所以S無最大值，故D錯(cuò)誤.

7.設(shè)等差數(shù)列伍”｝的前〃項(xiàng)和為5〃，若46=243,則段=.

22翻圻.Sn_y(ai+an)_lla6_22

5解本,S5—施1+。5)-5a3—5?

8.設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝,｛兒｝的前〃項(xiàng)和分別為S〃，T”,若對(duì)任意正整數(shù)〃都有$=

笄I，則*+Wr的值為________?

471—3b^+by加+久

F解析：因?yàn)椋āǎ?｛兒｝為等差數(shù)列，

41

所以丁9?a3a9Ja3?9+^3a6

匕5+匕7%+以2b62如2b6匕6

因?yàn)镾ii_%+aii_2a6_2X12-3_19

JTu如+/12b(,4x11-3411

所以，^+的_=12.

匕$+匕7%+b441

9.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前三項(xiàng)的和為一9,前三項(xiàng)的積為一15.

⑴求等差數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛%｝為遞增數(shù)列,求數(shù)列｛|編｝的前〃項(xiàng)和S〃.

解：(1)設(shè)公差為d,則依題意得42=—3,則41=-3-",43=-3+公

所以(一3一〃)(一3)(—3+力=-15,得法=4,d=±2,

所以an——2〃+1或。〃=2〃-7.

(2)由題意得?！?2〃-7,所以㈤=17-

(2n-7,n>4,

2n

①時(shí)，S〃=—(ai+a2H----Fan)=\i=6/z—/r;

②〃24時(shí)，S〃=一切―42-tn+oid-----2(。1+。2+。3)+(。1+。2H--------------Fa”)

=18—6〃+〃2.

綜上，數(shù)列｛|Z|｝的前〃項(xiàng)和S〃=''-'

.九2-6n+18,n>4.

B組新高考培優(yōu)練

10.(2022?廣西模擬)將1到200中被3整除余I且被4整除余2的數(shù)按從小到

大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛如｝，則02=()

A.130B.132

C.142D.144

C解析：被3整除余IE被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣

的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10,公差為12的等差數(shù)列，所以a,=10+12(〃-1)=⑵7—2,

故ai2=10+12(12—1)=142.故選C.

11.德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有

很大的影響.他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，1()歲時(shí)，他在進(jìn)行1+2+3

+…+100的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前

后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)

列通項(xiàng)a〃=2nToo,則ai+sd---Faioo=()

2n-ioi

A.98B.99

C.100D.101

.2n-100,2(101-n)-1002n-100,2n-102

C解析:由題意,a〃+aioi—”=------F4----；---=-----+n

2n-1012(101-71)-1012n-1012n-101

所以a\4-?10()=?2+6799==?5o+fl51,

所以ai+a2H---Faioo=(ai+000)+(02+099)d---F(?5o+?5i)=5OX2=100.

12.(多選題)已知數(shù)列伍〃)是公差不為0的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S〃，滿足山+

5〃3=S8,下列選項(xiàng)正確的有()

A.6/io=OB.Sio最小

C.S?=Si2D.S2o=O

AC解析：根據(jù)題意,A列｛m｝是等差數(shù)列,若m+5a3=S8,

即⑶+50+10d=8m+28",變形可得如=一9&

又由cin—a\4-(n—1)d=(〃-10)d,

則有aio=O,故A一定正確；

不能確定m和d的符號(hào)，不能確定Sio最小，故