題組層級快練（五十一）

1.（2022?豫北名校聯(lián)考）已知直線機U平面處則“直線/_L平面a”是“直線的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析充分性：???直線LL平面a,垂直于平面a內所有直線,

又???直線平面a,???直線LL直線也充分性成立；

必要性：若/J_加且直線加U平面a,則直線/_L平面a不一定成立，必要

性不成立.故選B.

2.如圖，三棱柱/WC—4MG中，側棱A4垂直于底面431G,底面三角

形4小G是正三角形，石是BC的中點，則下列說法正價的是（）

A.CG與SE是異面直線

B.AE與SG是異面直線，且AEJ_31G

C.人。平面人8辦人?

D.AG〃平面ASE

答案B

解析對于A,CCi,以￡都在平面8SGC內，故錯誤；對于B,AE,歷G為在兩個平行

平面中且不平行的兩條直線，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以AE與&G

是異面直線，且AK_L〃C,又坊C〃3C,故AZ?_L3C,故正確；對于C,上底面AOC是一

個正三角形，不可能存在AC_L平面故錯誤；對于D,AiG所在的平面與平面ABE

相交，且4G與交線有公共點，故錯誤.

3.如圖，在四面體ABCD中，已知A8_LAC,BD1AC,那么。在平面48c內的射影”必

在（）

A.直線4B上B.直線BC上

C.直線AC上D.△A8C內部

答案A

解析由AB_L4C,BO_LAC,又ABCBD=B,AB,BZ）U平面AB。，則ACJ_平面ABO,

而ACU平面ABC,則平面A8C_L平面ABO,因此O在7面ABC內的射影”必在平面ABC

與平面A8O的交線48上.故選A.

4.如圖，AC=2R為圓。的直徑，NPC4=45°,垂直于圓。所在的平面,

8為圓周上不與點A,。重合的點，AS_LPC垂足為S,AN_LP8垂足為M

則下列結論不正確的是（）

A.平面4NS_L平面尸8c

B.平面ANS_L平面附8

C.平面以6_1_平面PBC

D.平面ABCJJ'F面以C

答案B

解析因為辦_L平面A3C,3CU平面A3C,所以布_LBC,又48_L8。，PAOAB=A,PA,

P8U平面布8,所以8CJ_平面％&又八NU平面A8P,所以BC_LAN,又因為AN1PB,

BCCPB=B,PB,BCU平面PBC,所以4N_L平面PBC,又ANU平面4NS,4NU平面PAB.

所以平面ANS_L平面P8C,平面以8_1_平面P8C,所以A、C正確，D顯然正確.故選B.

5.（2022?武漢模擬）如圖，在正四面體0一/WC中，D,E,r分別是43,P

BC,CA的中點，下面四個結論不成立的是（）//\\

A.8C〃平面尸OFA/JA\\C

B.。2L平面以￡

C.平面夕。尸_1_平面PAEB

D.平面PQE_L平面A8C

答案D

6.如圖所示，在四邊形43C。中，AB=AD=CD=\,BD=?8QJ_CD將四邊形43co

沿對角線8。折成四面體A'-BCD,使平面A'8。，平面BC。，則下列結論中正確結論

的個數(shù)是（）

①A'C±BD,②NBA'C=90°；③CA'與平面A'BD所成的角為30。：④四面體4一

BCD的體積為《

A.0B.I

C.2D.3

答案B

解析*：AB=AD=CD=\yBD=?：.AB±AD,

?.?平面A'8。_1"平面BCD,BDtCD,平面4'BOG平面8co=BQ,

.?.CD_L平面A'BD,

取B。的中點。，連接OA'（圖略），

B=A'D,OLBD.

又平面A'3。_1_平面8。〃平面A'BOP平面8CQ=B。，A'OU平面4'BD,

：.ArO_L平面BCD又..飛。，。。，

二.OC不垂直于BD.

假設A'C_LB。，:。。為A'C在平面BC。內的射影，

J.OCLBD,與OC不垂直于8。矛盾，故①錯誤；

由CO_L平面A'BD,又A'8U平面A'BD,

：.CDlArB.

,.WB=A'。=1,BD=@,

「.A'8_LA'D,又COCA'D=D,CD,A'OU平面A'CD,

：.ArB_L平面A'CD,

又A'CU平面A'CD,

：.ArBlAfC,故②正確;

ZCA1。為直線C4'與平面A'3。所成的角，ZCA/。=45°,故③錯誤；

VA-BCD=VC-ABD=~^S^A-BD?。。=不故④錯誤.故選B.

7.如圖，四棱錐S-ABCQ的底面為正方形，SO_L底面A8C。，則下歹ijS

結論中不正確的是（）

A.ACISR/：\

B.ADLSC2c

C.平面S4CL平面SB。

D.BDLSA

答案D

解析本題考查空間中線線、面面垂直的判斷，三垂線定理的應用.由SZ）_L底面4BCD,

得S8在平面A8CO內的射影為08.又。8與AC垂直，所以S8_LAC,A正確；由SC在平

面A4CD內的射影QC與AD垂直，得SC_LA。，B正確；由ACJ_S4,AC±I3D,SBCBD

=B,可得AC_L平面5B。，從而有平面SACJ■平面5B。，C正確；若B/）_L54,則4。垂直

SA在平面ABCO內的射影QA,與已知條件矛盾，D錯吳.故選D.

8.在正方體ABCQ—AdiG。］中，P,。分別為棱8c和棱CG的中點，則下列說法不正確

的是（）

A.8G〃平面AQP

B.平面APQ截正方體所得截面為等腰梯形

C.AOJ_平面4QP

D.異面直線QP與4G所成的角為60°

答案C

解析本題考查線面平行妁判定、正方體的截面、線面垂直的判定以及異

面直線所成角的求解.如圖，因為P,Q分別為棱8c和CG的中點，所

以3G〃0Q.又4GQ平面AQP,所以BG〃平面AQP,故A正確；連接

ADi,DiQ,由A知BCM'PQ,又8G〃4。i,所以PQ〃4".又由已知條

件得OQ=4P,所以等腰梯形APQD]即為平面AQP截正方體所得截面,故B正確；由正

方體性質知A|O_L平面A5G。，假設AQ_L平面AQP,則平面A8GO[〃平面AQP,與平

面/WG7）|G平面矛盾，故C錯誤；連接AB,由A知8ci〃PQ,所以N4GB

為異面直線QP與4G所成的角.因為AAC歸為等邊三角形，所以N4G8=60°,故D

正確.故選C.

9.如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面ABC,PA

=2AB,則下列結論：

?PB±AE；②平面A8C_L平面P8C；③直線BC〃平面PAE；@ZPDA

=45°.

其中正確的有（把所有正確結論的序號都填上）.

答案①④

解析對于①，因為以_L平面A3C,所以以_1_4￡,又PAOAB=At所以EA_L

平面叢8,從而可得E4_LP從故①正確.對于②，由于見J?平面A8C,所以平面ABC與

平面P8C不可能垂直，故②不正確.對于③，由于在正六邊形中8C〃4D,所以8c與EA

必有公共點，從而8。與平面以￡有公共點，所以直線8c與平面出￡不平行，故③不正確.對

于④，由條件易得△以。為直角三角形，且陰LW,又出=，B=AD,所以NPZM=45°.故④

正確.綜上，①④正確.

10.（2022?重慶檢測）如圖所示，在四棱錐P—48CD中，布_1底面ABCQ,

且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足時，平面

平面PCD（只要填寫一個你認為正確的條件即可）

答案0M_L〃C（或8M_LPC等）

解析底面A8c。，：.BDLPAf連接AC,則30_LAC,且以AAC=A,PA,ACC

平面PAC.

平面以C,ABDIPC,

，當OM_LPC（或8M_LPC）時，

由BOHOM=Q（或即有PC_L平面MB。，而PCU平面PCD,

二.平面M8DJL平面PCD.

11.如圖所示，ZACB=90°,OAJL平面ABC,AEJLOB交OB于E,AFI

QC交。。于尸，且AO=A8=2,則三棱錐D—AE/體積的最大值為.

答案*

解析因為D4_L平面4BC,所以。AJ_EC,XBC1AC,DAC\AC=A,所

以BC_L平面AOC,所以BC_LAR又AF_LC。，BCC\CD=C,所以A凡L平面。CB,所以

AF±EFtAFLDB,又QB_LAK,AEQAF=At所以。5_L平面所以為三棱錐。

一人石戶的高.因為4E為等腰直角三角形人8。斜邊上的高，所以。￡?=人石=也，設人尸=〃，

FE=b,則/+序=2,/\AEF的面積■"丁=：x|=J,所以三棱錐D-AEF

乙4L?乙乙

的體積吟（當且僅當a=b=\時等號成立）.

D/U

12.如圖，S是圓錐的頂點，八8是圓錐底面圓。的直徑，點。在圓錐底面

圓。上，。為8c的中點.

（1）求證；平面SO￡>_L平面S8C；

（2）若△SA8為正三角形，且8c=24C=4,設三棱錐S-ABC的體積為匕，

圓錐的體積為L，求權的值.

V|

答案⑴略（2）苧

解析（1）證明：由已知可知，SO_L底面圓0,

IBC在底面圓。內,：.BClSOt

0點C在底面圓。上，??.AC_L8C,

又點。，點。分別為AB,/3C的中點，：.0D//AC,：.0D±BC.

又oonso=o,且oo,sou平面so。，，8CJ_平面so。，

又BCU平面SBC,：.平面SOD1.平面SBC.

⑵：8。=2"=4,AAB=yjAC2+K2=^42+22=2^5,

???△S/W是邊長為2小的正三角形，

.?.5。=坐乂2巾=熾

51

V2=1xnX（小,X灰二5彎

5遮一

.35兀

13.如圖，矩形A8CD所在平面與半圓弧C。所在平面垂直，M是半圓弧M

上異于c,。的點.…7c

（1）證明：直線。MJ■平面BMC;人B

（2）在線段4M上是否存在點P,使得MC〃平面尸8。？說明理由.

答案（1）略（2）。為AM的中點，理由略

解析（1）證明：由題設知，平面CMQ_L平面A4CQ,交線為CD.

又因為BC_LC。，BCU平面ABC。，所以8C_L平面CM。，故BCLDM.

因為M為半圓弧上異于C,。的點，且。。為直徑，所以。M_LCM.

又8CnCM=C,且8C,CMU平面所以QM_L平面8MC

（2）當夕為/IM的中點時，MC〃平面PBO.

證明如下：如圖，連接4c交B。于點0.

因為四邊形48co為矩形，所以。為AC中點.

連接0P,因為夕為AM口點，

所以MC〃OP.

又因為MCQ平面PBD,0PU平面PBD,

所以MC〃平面PBD.

胤重點班?選做題

14.（2022?衡水中學調研卷）在正方體A3CD—AIBGDI中，M,N分別為3歸，CD的中點,

有以下命題：①MN〃平面4B。；②MN1.C4；③平面4MN_L平面A4C,則正確命題的

序號為.

答案①②

解析①方法一：如圖1,取的中點E,連接ME,NE,

易知平面MNE//平面4BD=MN//平面AyBD.

方法二：如圖1,連接A8交4B于點孔

連接OP,FM,在正方體AG中，

MF觸DN=NM〃DF=NM〃平面A\BD.圖1

②如圖2,取CCs中點”，連接NH,

易得N”為MW在平面OCGG內的投影,

DiSNH今CDdMN.

（三垂線定理）

③如圖3,取8c的中點E,連接NE,BD,易得8Q_L平面A|AC,NE//BD,

平面44c.

延長AM交A8的延長線于點Q,

連接NQ,N。即為平面AMN與底面的交線.

由題知BQ=AB=2NC,

易知ECNQ,即NEQ平面4MM

，平面4MN與平面A\AC不垂直.

15.（2022?惠州市模擬）在平行四初形A8CO中，八8=3,BC=2.過A點作CO的垂線交。。

的延長線于點E,4￡=小.連接所交4。于點F,如圖1,將△AOE沿4。折起，使得點E

到達點P的位置，如圖2.

（I）證明：直線4OJ_平面BFR

⑵若G為P8的中點，”為CO的中點，且平面AQP_L平面ABCD,求三棱錐G-BC”的

體積.

3

答案⑴略（2）正

解析（1）證明：如題圖1.在RtZXBA七中，人8=3,AE=y[3,

.??/AEB=60°且BE=2小.

「△ADE是直角三角形，：.DE=^AD2-AE2=\,二第=第=坐.

VZAED=ZBAE=90°,

.?.△BAEsAAED,：.ZEAD=ZABE=900-60°=30°,

/.ZDAB+ZABE=ZDAB+ZEAD=90°,：.BELAD,

故在題圖2中，PF1AD,BFVAD,PFQBF=F,且BF,尸尸U平面8儀，，人。，平面BFP.

⑵???平面AOP_L平面A/3C。，且平面A/”n平面A8CO=A。，P/Y平面AQP,且由（I）知

PFlADt

.?.P"_L平面ABCD.

方法一：如圖，取B尸的中點為。，連接GO,則GO〃PF,且GO=；

PF,

二.GO_L平面ABCD,即GO為三棱錐BCH的高，GO=^PF=^PAs\n

坐

30O-

13

--

22

/.VG-BCH=^BCH-GO=；X乎X乎=看

方法二：???G為P3的中點，，三棱錐G—4C〃的高等于少少.

A

易得PF=%sin30°=彳.

?:H為C。的中點，??.△BCW的面積是四邊形ABC。的面積的;,

，三棱錐G—BC”的體積是四棱錐P—48CZ）的體積的看.

0

近3

--

■:Vp-ABCD—"^S^ABCD22

I33

，三棱錐G—8cH的體積為區(qū)乂弓=充.

[]

題組層級快練（五十二）

1.已知向量。=（1,I,0）,力=（-1,0,2）,且履+6與2〃一方互相垂直，則女的值是（）

7

A.§B.2

C.|D.1

答案A

2.如圖所示，在平行六面體A6CO-A|8CIDI中，M為AiG與巴。的交點.若筋=〃，AD

=b,AA\=c,則下列向量中與加相等的向量是（）

A.-ga+35+cB.%+/+c

D.%一）+c

答案A

3.若。=（2,3,〃?），b=（2〃，6,8）,且小力為共線向量，則機+〃的值為（）

_5

A.7B*2

C.6D.8

答案c

23

得-

解析由°,力為共線向量,-6=%,解得小=4,口=2,則機+〃=6.故選C.

2//O

4.（2022?西安五校聯(lián)考）在空間四邊形43co中，施?加+啟?力^+成?慶?等于（）

A.-1B.0

C.1D.不確定

答案B

5.已知空間四邊形Q1BC,其對角線為（用，AC,M,N分別是邊0A,CB

的中點，點G在線段MN上，且使MG=2GN,如圖，則正確用向量后，

0B,又表示向量員;的是（）

A.5G=OA+15B+|5C

8沅=的+翔+泣

4JJ

C.OG={dA-\-{oB^OC

O33

D.6G=^PA-\-\OB^OC

o33

答案c

解析連接ON.OG=dM^-MG

=口。人+,MN

=\oA+；（痂-0M）

yoA次/

1—?-i-

=dOA+gOB+QOC.故選C.

6.如圖所示，正方體ABCD-AIBIGA的棱長為a,M,N分別為48和C______D

AC上的點，A|M=AN=M",則例N與平面BBIGC的位置關系是（

J

A.相交B.平行

C.垂直D.在平面BBiGC內

答案B

解析,??加=總]+啟+病

=qZM]+AiA+：AC

JJ

I—>—?-?1―?―?

=7(B|AI-B|B)+8|8+](AB+A

JJ。)

2-1―

=§8歸+?小。1,

:.前N,后反瓦"共面.

又MNQ平面BBCC,

，MN〃平面BByCyC.

7.直線/的方向向量。=[1,一3,5),平面a的法向量〃=(一1,3,-5),則有()

A.I//aB.ILa

C./與a斜交D./Ua或/〃a

答案B

解析因為。=(1,-3,5),〃=(一1,3,-5),

所以a=—〃，a//n.

.'LL平面a.故選B.%

8.如圖，二面角1一/一夕為60°,人，8是棱/上的兩點，AC,8。分別Xc\/

在半平面a,￡內，ACll,BDJJ,且AB=AC=a,BD=2a,PMCD1yp

的長為()

A.2aB./a

C.aD.小a

答案A

解析V4C1/,BDLhA<AC,RD)=60°,且病?筋=0,AB?BD=0,Vcb=CA+

贏+肪，

：,\cb\=yl@+贏+而)2

=^?2+d2+(2a)2+2?-2flcos120°=2a.

9.給定兩個不共線的空間向量。與兒定義叉乘運算：aXb,規(guī)定：①aX力為同時與mh

垂直的向量；②。，b,aXb三個向量構成右手系(如圖1);③|aX"=M|仍|?sin(a,b).如

圖2,在長方體ABCO-ASGQi中，AB=AD=2,AA\=4,則下列結論不正確的是()

L),C

圖1另2

A.ABXAD=A4I

B.ABXAb=ADXAB

c.（怠+Q））x筋產(chǎn)Bx看i+Abx后?

D.長方體A8CD—A|8|GQ|的體積V=（ABXAD）CC]

答案B

10.已知A,B,C三點不共線,點。為平面ABC外任意一點，若點M滿足OM=qQ4+5OB

+|正，則點M________(填“

在”或“不在”)平面48c內.

答案在

11.若a=(l,1,0),b=(—\,0,2),則與。+力同方向的單位向量是________.

答案(。，當,胡)

12.如圖,四棱錐尸一ABCD中,%_L底面A8CQ,底面4BCO為梯形，AD//入

BC,CDVBC,AO=2,AB=13C=3,B4=4,M為A。的中點，N為PC上\\

的點，且PC=3PM求證：MN〃平面以B

答案略

證明方法一：BC

如圖，在平面P4C內作M/〃交于點H,連接44,在4c中，NH〃BC,且N”

=5。=1,AM=^AD=1,

又AD//BC,:.NH〃AM且NH=AM,

二.四邊形AMNH為平行匹邊形,

：.MN//AH,

又4"U平面以B,WW平面必B,

，MN〃平面PAB.

方法二(向量法)：

在平面/WC。內作4月〃CO交于點E,則人。.

分別以AE,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則P(0,

0,4),M(0,I,0),CQ、「,2,0),1,g)，BQ?-1,0),A(0,0,0),

故而=件^,AP=(0,0,4),靠=(2?-1,0).

設加="腦+疝\

:.MN,AB,AP共面.

，MN〃平面陶反又MMt平面PABt

〃平面PAB.

方法三(法向量):

建系寫點坐標如方法二.

4zi=0,

設m=(x]fyi,zi)為平面PAB的一個法向量，則由mLAP,m_L贏得"

—ji=O,

[zi=O,

1）,1=2血仃.

令xi=1,則加=（1,2啦，0）.

、[Q

:.MN,m=—^~X1—§X2g+gX0=0.

.?.加〃平面粗比

又MW平面ZM",MN〃平面/M4.

13.如圖所示，正三棱柱ABC-A山iG的所有楂長都為2,。為CG的中A______

點.求證：平面人/。./*\///\

答案略“匿/I

證明方法一：取3c的中點0,連接A。.B'

為正三角形，：.AO1BC.

?.?在正三棱柱ABC—AiBG中，平面ABC_L平面8CC曲，平面A8CP平面8CGS=8C,

A0U平面ABC,「.A。，平面BCC\B\.

取BG的中點創(chuàng)，連接001,以。為原點，OB.obi,后的方向分別為x,y,Z軸的正

方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則5(1,0,0),0(—1,1,0),Ai(0,2,?4((),

0,5)，Bi(l,2,0).設平面4田。的法向量為〃=(x,yfz),或]=(一I,2,小)，BD=(-

2,I,0).

0?B4]=0,

故J_

則n-LBA\tw±BD,

nBb=0.

—x+2y+小z=0,

令x=1,則y=2,z=一小.

-2v+y=0,

故〃=(1,2,一小)為平面AiB。的一個法向量，而4瓦=(1,2,一小)，，/誦產(chǎn)〃，即Bi

//it..?.A3|_L平面A]3D

方法二：設平面4田/)內的任意一條直線機的方向向量為風由共面向量定理，得存在實數(shù)九

u,使加=/扇i+〃BD

令BC=bfBA=c>顯然它們不共面，并且|a|=|b|=|c|=2,ab=ac=0,bc=2,

以它們?yōu)榭臻g的一個基底，則8Ai=a+c,BD=ga+b,AB\=a—c,m=XBA\-\-PBD=

(4+3,〃+4力+-,AB\?m=(a—c)'(4+3)a+〃5+2c]=4(4+%)_2〃_41=0.故麗JL

m,結論得證.

方法三：基向量的取法同上.

?.?鼐??麗=(a-c>(a+c)=|aF—|cF=O,

ABi?〃/)=(a—c)(%+，=；|aF+ab—Ja?c—"c=0,,\ABi±BAi,AB\LBD,即AB」

BAltABxLBD,由直線和平面垂直的判定定理，知平面4BD

回重點班-選做題

14.（2022?山東濰坊市模擬）如圖，棱柱4BCO-486。的所有棱長都等于2,ZABC和

NAiAC均為60°,平面AAiGC_L平面A8CD

（1）求證:BD±A4I；

⑵在直線CG上是否存在點P,使BP〃平面D4iCi，若存在，求出

點。的位置，若不存在，請說明理由.

答案略

解析(1)證明：設8。與AC交于點O,

則BQ_LAC,連接4。，

在△A4。中，A4i=2,AO=\,NAAO=60°,

所以A\O1=AA^-\-AO1—0AA\?AOcos,60°=3,

所以

所以AO_LAO.

由于平面A4iGC_L平面ABCD,

且平面A41GCA平面ABCD=AC,

AiOU平面AACC,

所以AQ_L平面ABCD.

以08,OC,04所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標系，

則A（0,-1,0）,8（小，0,0）,C（0,1,0）,D（一小,0,0）,

4（0,0,小）,C）（0,2,屈

因為曲=（一2小，0,0）,后產(chǎn)（0,1,?。?，

所以筋??礪=0X（-2小）+1X0+45X0=0,

所以而_L/CIi,即8O_LAAi.

⑵假設在直線CG上存在點P,

使8P〃平面Q4G,

設五=3,P(x,y,z),

則(x,y—1,z)=x(0,1,小),

即x=0,)，=2+I,Z=A/3A.

從而有P(0,1+L小，l),而=(一小，1+z,小/I).

設平面DA?Ci的一個法向量為n=(xi,>'i,zi),

?nA\C\=O,

n-DA\=O,

又慶i=(0,2,0),前尸(小,0,5),

f2v)=0,

則1<-,取〃=(1,0,-1),

I小內+小rzi=0,

因為8尸〃平面DAiCi,

所以〃J_加，

即〃.前=一小一小兒=0,

解得2=-1,

即點尸在GC的延長線上，且CP=CG.

題組層級快練(五十三)

1.(2022?滄州七校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCQ—AiSGn中，M,M

別為棱4。，CCi，AG的中點，則81P與MN所成角的余弦值為(

Ax/30八1

A-10-B--5

C?D1

Jo

答案A

解析如圖所示，以A為原點，分別以A8,AD,A4所在的直線為x,

z軸建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為2,則正(0,1,0),M2,2,1),3(2,0,2),尸(0,

2),所以瓦力=(-2,1,0),MN=(2,1,I).

設”與.所成的角為4所以3'嘴需=青泮尊

即BF與MN所成角的余弦值為嚅.故選A.

2.（2022?更慶診斷）如圖所示，在三棱柱ABC-AxB^中，△ABC是等邊三4FG

角形，平面A8C,AA}=AB=2.D,E,尸分別是8B1，A4,A￡的中

D

點，則直線EF與C。所成角的余弦值為（）\kl（

A.|B平夕

C.-3D.0

答案D

解析方法一：分別延長4G,AC至M,N,使GM=AiG,CN=AC,連接AG,CM,

DM,BMBRMN,如圖所示.

由題意，易知EF//AC\//CM,CD=&CM=2?。m=，瓦西瓦3=西西而可麗

=、產(chǎn)+（?。?+3?=

設直線EF與CO所成角為仇

-CD2+CM2-DM2(小)2+(2^2)2-(行)2

易知8s〃=|cosNZ)CM=2CD.CM=2X小X2地=°''

直線EF與CO所成角的余弦值為0.故選D.

方法二：如圖，將三棱柱補成四棱柱，其中兩個三棱柱全等.

取。3中點Q,連接DQ,由棱柱性質易知EF//DQ,：.ZCDQ為EF

和C。所成的角或其補角,連接CQ,由題知BC=2,8。=1,BD=l,

，CO=小，DQ=?又NC8Q=120°,???在408。中，由余弦定理

可得CQ2=22+P-2X2XIX（—；）=7,ACQ=y/7.

在△COQ中，COMCQN+OQNM7,.\ZCDQ=90°,

.?.七廠和C。所成角的余弦值為0.故選D.

方法三：如圖，以A為原點，以過點A垂直于平面ACCAi的直線為x軸,

以AC所在直線為y軸，以4A所在直線為z軸建立空間直角坐標系.

由A4=48=2,XABC為正三角形，D,E,F分別%BBi,A4”AiG

的中點，得石（0,0,1）,F（0,1,2）,C（0,2,0）,0（小，1,1）,

.\EF=(0,1,1),CD=(V3,-1,I).

VEF-CD=0-1+1=0,

:.EFtCD,

/與C。所成角的余弦值為0.故選D.

3.如圖，已知楂長為2的E方體A8CO—4由Ci。，點E為線段CG的中

點，則直線4E與平面4BC。所成角的正切值為（）

C坐

D幣

答案A

解析連接設與44交于點F,易知4〃_LA由，AFVBC,且AiBCBC=B,所以

4F

人尸平面人田連接則廠是直線人石與平面由所成的角，=芽=

_LCOi.EF,NAEACQilan/AE/匕卜

乎故選A.

4.（2022.遼寧省部分市點高中聯(lián)考）已知圓錐S。的底面半徑為r.當圓錐的體積為吟n尸

時，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為（）

A坐B堂

C坐D坐

答案A

解析本題考查圓錐的結構特征以及圓錐的體積.設圓錐的高為h,由圓錐的體積為平兀戶,

得g兀戶”=乎兀/，解得力=當，，則圓錐的母線/=亞匚冷）2+尸=坐設圓錐

啦

的母線與底面所成角為a,則sin。=]=后=竽?故選A.

2「

5.（2022?臨沂市調研卷）如圖，己知。是矩形43co所在平面外一點，PAA.

平面A8CD,E,尸分別是AB,PCt的中點.若NPZM=45°,則E/與平

面48C。所成角的大小是（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案C

解析如圖，取尸。中點G,連接AG,FG,

VE,尸分別為AB,PC的中點,

：.AE=^AB,GF//DC且GF=\DC,

又;在矩形48CQ中，46〃CO且A8=CQ,

，A七〃Gb且AE=G產(chǎn)，

四邊形AEFG是平行四邊形，

S.AG//EF.

：.AG與平面ABCD所成的角等于E廣與平面ABCD所成的角,

\?以平面48c。，ADU平面A8CO,/.PAA.AD.

過G作G”J_AO,垂足為H,G”U平面附。，則GH〃%，

?.GH_L平面ABCD,

：.ZGAH為AG與平面ABCO所成的角,

VZPDA=45°,G為P。的中點，

：.ZGAH=45°,

即E尸與平面ABC。所成的角為45°.故選C.

6.如圖，圓柱0］。2的底面半徑為1，高為2,八8是一條母線，87）是圓Q的直徑，。是上

底面圓周上一點，NCBD=30°,則異面直線AC與8。所成角的余弦值為（）

A3而

A-3F

W1D軍

C14

答案C

解析連接AOM圖略），設A02的延長線交下底面圓周于點E,連接C￡,易知NCAE即為

異面直線AC與8。所成的角或其補角，連接C。，在RtZ\8C。中，N8CQ=90°,80=2,

NCBD=30°,得8C=小，CD=l.又AB=DE=AE=BD=2,AC=7AB?+BC?=木,CE

=7DC"DE?=事,所以在中，COSNCAE=A\；NAj"『唔，即

異面直線AC與8。所成角的余弦值為喈.

7.一副三角板由一塊有一個內角為60°的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所

示，N3=NF=90。，ZA=60°,ZD=45°,4C=0E.現(xiàn)將兩塊三角板拼接在一起，取

BC中點。與AC中點M,則下列直線與平面。產(chǎn)M所成的角不為定值的是（）

A.ACB.AF

C.BFD.CF

答案B

解析本題考查直線與平面垂直的判定定理，直線與平面所成角.因為O,M分別為BC,

AC的中點，所以所以。.又且0MC0r=0,所以4C_L平面

0MF,所以BF,C尸與平面。/M所成的角分別為N8尸。和NC尸0,它們相等，均為45°.

根據(jù)直線與平面所成角的定義知，AC與平面。尸M所成的角為NCMO=NC4B=60°.故只

有A尸與平面OFM所成的角不為定值.

8.（2021.山東青島期末）如圖，正方體A8CQ-AliGOi的棱長為I,則下4____C

列四個結論不正確的是（）M'M

A.直線BC與平面ABGDi所成的角為亍/）及

、歷-------匕

B.點C到平面ABG2的距離為竽

C.異面直線。。與BG所成的角為亍

D.三棱柱AAG-BBiG外接球的半徑為坐

答案C

解析本題考查異面直線所成角、線面角、點到平面距離及外接球問題.正方體48CQ—

AISGQI的棱長為1,直線BC與平面ABG。所成的角為NC8G=?,故A正確；連接

BC由B-BiCLAB,BCiC\AB=B,得BCL平面ABC）Di,所以點C到平面A8GG

的距離為長度的一半，即乎，故B正確；因為8G〃Ad,所以異面直線QC與8G

所成的角為ZAGC,連接AC,則△AQC為等邊三角形，故異面直線。。與6G所成的角

為《，故C錯誤；三棱柱的外接球也是正方體/WCQ-48IGQI的外接球，

故外接球半徑為、~~5——=2＞故D正確.故選C.

9.（2022?武漢模擬）已知四棱錐P—A4c。的底面是菱形.ZBAD=6（）C,P3_L平面"CO,

且PO=AA,點E是棱AD的中點，尸在棱"上.若P尸F(xiàn)C=1：2,則直線E廠與平面

ABCD所成角的正弦值為.

姐案如遠

口水35

解析如圖，以。點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dr)z

設菱形4BCD的邊長為2,則D(0,0,0),E(坐,0),《0,|,

亞74

所以濟=(-‘1孫

一

”3

枚1~~B

又平面ABC。的一個法向量為〃=(0,0,1),

即直線與平面ABCD所成角的正弦值為喏.

1().如圖，四邊形/WCQ是正方形，以，平面4伙?。，PA//EB,且a=44

=3.

(1)求證：CE〃平面必。；

1D

(2)若BE=\PA,求直線PD與平面PCE所成角的正弦值.

答案⑴略(2停

解析(1)證明：因為四邊形ABC。是正方形，所以AC//A。.

又AQU平面布。，BCQ平面雨。，所以8C〃平面%D

問理可證￡3〃平面PAD.

因為所以平面E8C〃平面以O.

又因為CEU平面EBC,所以CE〃平面用D

*.

11

E

By

DL

(2)以A為原點，分別以力。，AB,4P所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系.

因為PA=AB=3,所以8E=g以=1,則P(0,0,3),0(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,

1)，

所以而=(3,0,—3),PC=(3,3,-3),PE=(0,3,-2).

設平面PCE的法向量為加=(x,y,n),

%PC=3x+3y—3z=0,

則j_令z=3,得加=(1,2,3).

mPE=3>,—2z=0,

設直線PQ與平面PCE所成的角為仇

圻N.aI而'S

所以sm0一—一r，

\PD\\m\

即直線，。與平面夕。?所成角的正弦值為平.

11.如圖所示，在四棱錐「一A8C。中，AP=PD=DC=CB=\,AB=2,NAPD=NDCB=

NCBA=90°,平面附D，平面4BCD

⑴求證：PB=PC；/

⑵求直線以與平面0CQ所成角的正弦值.AB

答案⑴略(2)坐

解折本題考查線面垂直、面面垂直、直線與平面所成的角及空間向量的應用.

(1)證明：設A。，8c的中點分別為。，E,連接PO,OE,EP,如圖，

依題意可知0E為直角梯形ABCO的中位線，故OELBC.

又平面以。_L平面A8CD平面%DA平面A8C￡>=A。，依題意可知PO_LAD,

所以。O_L平面/WC。，又“CU平面/WC。，則夕O_L"C.

又POnOE=O,所以8CJ?平面PE。

又PEU平面PEO,故BC上PE.

又E為BC的中點、,所以08=PC

(2)在AB上