第04講向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線上向量的坐標(biāo).2.掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.理解平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.4.掌握向量平行的坐標(biāo)表示．1．掌握求直線上向量的坐標(biāo)的方法．2．熟練進(jìn)行直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算．3．掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式及數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．4．掌握向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算。5．能根據(jù)向量的坐標(biāo)解決平行問題知識點(diǎn)01直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算1．直線上向量的坐標(biāo)(1)定義：給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e，由共線向量基本定理可知，對于直線l上的任意一個向量a，一定存在唯一的實數(shù)x，使得a＝xe，此時，x稱為向量a的坐標(biāo)．(2)向量的模和方向與x的關(guān)系|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e為單位向量)．當(dāng)x>0時，a的方向與e的方向相同；當(dāng)x＝0時，a是零向量；當(dāng)x<0時，a的方向與e的方向相反．在直線上給定了單位向量，則直線上的向量完全被其坐標(biāo)確定．(3)直線上向量的坐標(biāo)：在直線l上指定一點(diǎn)O作為原點(diǎn)，以e的方向為正方向，e的模為單位長度建立數(shù)軸，對于l上的任意一個向量a，如果我們把它的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)O，那么a的終點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)就是向量a的坐標(biāo)．2．直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系如果直線上兩個向量a，b的坐標(biāo)分別為x1，x2.(1)a＝b的充要條件是x1＝x2.(2)a＋b的坐標(biāo)為x1＋x2，a－b的坐標(biāo)為x1－x2，λa的坐標(biāo)為λx1.(3)設(shè)A(x1)，B(x2)是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，M(x)是線段AB的中點(diǎn)，則AB＝|x2－x1|，x＝eq\f(x1＋x2,2).【即學(xué)即練1】1.如圖，向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________.2.已知直線上向量a，b的坐標(biāo)分別為－2，2，則向量a＋eq\f(1,2)b的坐標(biāo)為()A.1 B．－1C．0 D．4知識點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算1．平面向量的坐標(biāo)(1)向量的垂直：平面上的兩個非零向量a，b，如果它們所在的直線互相垂直，則稱向量a，b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量都垂直．(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，則稱這組基底為正交基底，在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．(3)向量的坐標(biāo)：給定平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內(nèi)的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)．2．平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)．(3)λa＝(λx1，λy1)．(4)向量相等的充要條件：a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.(5)模長公式：|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).3.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(2)它們之間的距離：AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(3)設(shè)AB的中點(diǎn)M(x，y)，則x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2).【解讀】(1)區(qū)別eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)與a－b的坐標(biāo)：eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)，而a－b的坐標(biāo)是對應(yīng)的坐標(biāo)相減．(2)由于自由向量的始點(diǎn)可以任意選取，如果向量以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)就與其終點(diǎn)的坐標(biāo)相同；如果向量不以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)就與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不同．4．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x2y1＝x1y2.【即學(xué)即練2】如圖所示，{e1，e2}為正交基底，則向量2a＋b的坐標(biāo)為()A．(3，4) B．(2，4)C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4)題型01直線上向量的坐標(biāo)及運(yùn)算【典例1】如圖所示，直線上向量a，b的坐標(biāo)分別為()A．－2，4 B．2，4C．4，－2 D．－4，－2【變式1】已知向量a，b在同一直線上，|a|＝2|b|，若b的坐標(biāo)為2，則a的坐標(biāo)為()A．4 B．－4C．2或－2 D．4或－4【變式2】若e是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量a，b的坐標(biāo)分別為x，y，下列說法錯誤的是()A．|a|＝x B．b＝y(tǒng)eC．a(chǎn)＋b的坐標(biāo)為x＋y D．|e|＝1【變式3】若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為－2，x，且eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是－8，則x＝________．【變式4】已知e是直線l上的一個單位向量，a＝4e，b＝－2e，則a＋b的坐標(biāo)為()A．1 B．2C．－2 D．4題型02平面向量的坐標(biāo)表示【典例2】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知平行四邊形，，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)，,則向量＝（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（

）A． B． C． D．或題型03平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例3】（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知向量，則（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點(diǎn)、、，求．【變式3】（23-24高一下·全國·單元測試）已知，，求：(1)；(2).題型04根據(jù)線段比例求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例4】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知點(diǎn)、，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·四川綿陽·期中）（多選）點(diǎn)，向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知點(diǎn)、，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型05根據(jù)坐標(biāo)求向量的?！镜淅?】（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知向量，，則（）A． B．2 C． D．10【變式1】（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）已知向量，則向量的模為（

）A． B．4 C．2 D．【變式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（

）A．2 B． C．4 D．8【變式3】（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）已知，平面向量，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高三上·山西忻州·開學(xué)考試）已知向量，，若，則k=.題型06根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)【典例6】（24-25高三上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，．若點(diǎn)在軸上，則實數(shù)的值為．【變式1】（24-25高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知向量，，，則實數(shù)m的值為（）A． B． C． D．1【變式2】（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，若，則的值（

）A． B． C．2 D．【變式3】（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）在正六邊形中，對角線，相交于點(diǎn)，若，則．題型07向量共線的坐標(biāo)表示【典例7】（24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知向量，若，則實數(shù)（

）A． B． C．11 D．2【變式1】（23-24高一下·北京順義·期末）已知向量，，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．題型08利用坐標(biāo)法求最值（范圍）【典例8】（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）四邊形是正方形，延長至點(diǎn)，使得，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上移動（包含端點(diǎn)），設(shè)，求的取值范圍．【變式1】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）正方形中棱長為4，E為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)（不包括C，D），若，則的取值范圍為．【變式2】（23-24高一下·陜西咸陽·期中）（多選）如圖，在長方形中，，點(diǎn)滿足，其中，則的取值可以是（

）

A．8 B．9 C．10 D．11【變式3】（23-24高一下·四川德陽·階段練習(xí)）邊長為4的正方形，點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界），滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，則的最小值為.題型09坐標(biāo)法在幾何中的應(yīng)用【典例9】（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為6，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)P是正方形四條邊上的動點(diǎn)，若，求的長度．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：．【變式2】如圖，已知直角梯形中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，M為的中點(diǎn).求證：（1）；（2）D，M，B三點(diǎn)共線.【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形為等腰梯形．一、單選題1．直線上向量，的坐標(biāo)分別為-3，5，則向量的坐標(biāo)和模分別是（

）A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，12．（23-24高一下·廣西梧州·期末）已知點(diǎn)，則向量（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·甘肅·期末）已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，則（

）A． B． C．10 D．5．（23-24高一下·浙江嘉興·期中）已知向量，則與向量反向的單位向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知向量，，且實數(shù)，若A，B，C三點(diǎn)共線．則（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（23-24高一下·山東東營·期末）如圖，已知，則（

）A． B．C． D．8．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若E為AF的中點(diǎn)，，則（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下面幾種說法中正確的有（）A．相等向量的坐標(biāo)相同B．平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)C．一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量D．平面上一個點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)10．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量是線段的三等分點(diǎn)，則的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．11．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知向量，，，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m可以是（

）A．0 B．1 C． D．三、填空題12．已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.13．（23-24高一下·全國·課前預(yù)習(xí)）平面內(nèi)距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)，，則，兩點(diǎn)之間的距離，中點(diǎn)的坐標(biāo)為.14．如圖．在直角梯形中．，點(diǎn)P是腰上的動點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題15．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知向量、.(1)求的模和其單位向量；(2)若，以、為基表示向量.16．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，已知、、，其對角線交點(diǎn)為M.求：(1)向量與的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)D與M的坐標(biāo).17．（23-24高一下·河南·期末）如圖，已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別是、、.(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)滿足，若存在，求；若不存在，請說明理由.18．如圖，在直角梯形中，//CB，，，為AB上靠近的三等分點(diǎn)，交于，為線段上的一個動點(diǎn)．(1)用和表示；(2)設(shè)，求，的取值范圍．19．（23-24高一下·北京·期中）對于任意實數(shù)a，b，c，d，表達(dá)式稱為二階行列式，記作．(1)求下列行列式的值：①；②(2)求證：向量與向量共線的充要條件是；(3)討論關(guān)于，的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解．（結(jié)果用二階行列式的記號表示）第04講向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線上向量的坐標(biāo).2.掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.理解平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.4.掌握向量平行的坐標(biāo)表示．1．掌握求直線上向量的坐標(biāo)的方法．2．熟練進(jìn)行直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算．3．掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式及數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．4．掌握向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算。5．能根據(jù)向量的坐標(biāo)解決平行問題知識點(diǎn)01直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算1．直線上向量的坐標(biāo)(1)定義：給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e，由共線向量基本定理可知，對于直線l上的任意一個向量a，一定存在唯一的實數(shù)x，使得a＝xe，此時，x稱為向量a的坐標(biāo)．(2)向量的模和方向與x的關(guān)系|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e為單位向量)．當(dāng)x>0時，a的方向與e的方向相同；當(dāng)x＝0時，a是零向量；當(dāng)x<0時，a的方向與e的方向相反．在直線上給定了單位向量，則直線上的向量完全被其坐標(biāo)確定．(3)直線上向量的坐標(biāo)：在直線l上指定一點(diǎn)O作為原點(diǎn)，以e的方向為正方向，e的模為單位長度建立數(shù)軸，對于l上的任意一個向量a，如果我們把它的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)O，那么a的終點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)就是向量a的坐標(biāo)．2．直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系如果直線上兩個向量a，b的坐標(biāo)分別為x1，x2.(1)a＝b的充要條件是x1＝x2.(2)a＋b的坐標(biāo)為x1＋x2，a－b的坐標(biāo)為x1－x2，λa的坐標(biāo)為λx1.(3)設(shè)A(x1)，B(x2)是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，M(x)是線段AB的中點(diǎn)，則AB＝|x2－x1|，x＝eq\f(x1＋x2,2).【即學(xué)即練1】1.如圖，向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________.【答案】3【解析】因為向量eq\o(OA,\s\up6(→))的始點(diǎn)在原點(diǎn)，因此終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)，故向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)為3.2.已知直線上向量a，b的坐標(biāo)分別為－2，2，則向量a＋eq\f(1,2)b的坐標(biāo)為()A.1 B．－1C．0 D．4【答案】B【解析】因為向量a，b的坐標(biāo)分別為－2，2，所以向量a＋eq\f(1,2)b的坐標(biāo)為－2＋eq\f(1,2)×2＝－1.知識點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算1．平面向量的坐標(biāo)(1)向量的垂直：平面上的兩個非零向量a，b，如果它們所在的直線互相垂直，則稱向量a，b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量都垂直．(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，則稱這組基底為正交基底，在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．(3)向量的坐標(biāo)：給定平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內(nèi)的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)．2．平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)．(3)λa＝(λx1，λy1)．(4)向量相等的充要條件：a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.(5)模長公式：|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).3.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(2)它們之間的距離：AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(3)設(shè)AB的中點(diǎn)M(x，y)，則x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2).【解讀】(1)區(qū)別eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)與a－b的坐標(biāo)：eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)，而a－b的坐標(biāo)是對應(yīng)的坐標(biāo)相減．(2)由于自由向量的始點(diǎn)可以任意選取，如果向量以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)就與其終點(diǎn)的坐標(biāo)相同；如果向量不以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)就與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不同．4．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x2y1＝x1y2.【即學(xué)即練2】如圖所示，{e1，e2}為正交基底，則向量2a＋b的坐標(biāo)為()A．(3，4) B．(2，4)C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4)【答案】A【解析】∵a＝e1＋eq\f(1,2)e2，∴2a＝2e1＋e2.又b＝e1＋3e2，∴2a＋b＝(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)＝3e1＋4e2.∴2a＋b在基底{e1，e2}下的坐標(biāo)為(3，4)．題型01直線上向量的坐標(biāo)及運(yùn)算【典例1】如圖所示，直線上向量a，b的坐標(biāo)分別為()A．－2，4 B．2，4C．4，－2 D．－4，－2【答案】C【解析】向量a的始點(diǎn)在原點(diǎn)，則a的坐標(biāo)為4，把向量b的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)，則b的坐標(biāo)為－2.故選C.【變式1】已知向量a，b在同一直線上，|a|＝2|b|，若b的坐標(biāo)為2，則a的坐標(biāo)為()A．4 B．－4C．2或－2 D．4或－4【答案】D【解析】由b的坐標(biāo)為2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e或a＝－4e，故a的坐標(biāo)為4或－4.故選D.【變式2】若e是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量a，b的坐標(biāo)分別為x，y，下列說法錯誤的是()A．|a|＝x B．b＝y(tǒng)eC．a(chǎn)＋b的坐標(biāo)為x＋y D．|e|＝1【答案】A【解析】由題意知，|e|＝1，|a|＝|x|，b＝y(tǒng)e,a＋b＝xe＋ye＝(x＋y)e，所以a＋b的坐標(biāo)為x＋y，只有A錯誤．【變式3】若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為－2，x，且eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是－8，則x＝________．【答案】－10【解析】由題意得，eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為x＋2＝－8，解得x＝－10，故答案為－10.【變式4】已知e是直線l上的一個單位向量，a＝4e，b＝－2e，則a＋b的坐標(biāo)為()A．1 B．2C．－2 D．4【答案】B【解析】因為a＝4e，b＝－2e，所以a＋b＝4e－2e＝2e，故a＋b的坐標(biāo)為2．故選B．題型02平面向量的坐標(biāo)表示【典例2】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知平行四邊形，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得，由平行四邊形的性質(zhì)有，求值即可.【詳解】由，，有，平行四邊形中，有，即，故選：D.【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】向量平移后與原向量為相等向量，所求坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意可知，，把向量按向量平移后，與原向量相等，所得向量仍然為.故選：C.【變式2】（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)，,則向量＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量坐標(biāo)的概念即可求解.【詳解】.故選：B【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用單位向量及相反向量的意義求解即得.【詳解】向量，則，所以與向量方向相反的單位向量是.故選：C題型03平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例3】（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計算即可.【詳解】因為向量，所以.故選：D.【變式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．【詳解】已知向量，，則，解得．故選：B．【變式2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知點(diǎn)、、，求．【答案】【分析】首先表示出，，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因為、、，所以，，所以.【變式3】（23-24高一下·全國·單元測試）已知，，求：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果..【詳解】（1）因為，，所以.（2）因為，，所以.題型04根據(jù)線段比例求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例4】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知點(diǎn)、，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】或【分析】設(shè)，由可得或，再設(shè)，表示出，，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到方程組，解得即可.【詳解】因為點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，所以設(shè)，又，所以或，即或，設(shè)，又、，所以，，所以或，即或，解得或，即或.【變式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因為點(diǎn)在線段的延長線上，且，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.【變式2】（23-24高一下·四川綿陽·期中）（多選）點(diǎn)，向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并分類討論，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，因為向量，，則，，當(dāng)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時，則，故，解得：，，故點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時，則，故，解得：，，故點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：AD【變式3】（23-24高一·上海·課堂例題）已知點(diǎn)、，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量相等列出方程組，求解即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得，，因為，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．題型05根據(jù)坐標(biāo)求向量的模【典例5】（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知向量，，則（）A． B．2 C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再利用模長的計算公式，即可求解.【詳解】因為，，所以，得到，故選：C.【變式1】（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）已知向量，則向量的模為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】C【分析】求出向量的坐標(biāo)，再求模長.【詳解】因為向量，所以向量，所以.故選：C.【變式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題圖寫出向量坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)題圖，以題圖向量起點(diǎn)為原點(diǎn)，該點(diǎn)橫縱方向為軸，則，，所以，則.故選：.【變式3】（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）已知，平面向量，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】易知,故，當(dāng)時，最小，此時由二次函數(shù)性質(zhì)得，故，故的最小值為，故A正確.故選：A【變式4】（23-24高三上·山西忻州·開學(xué)考試）已知向量，，若，則k=.【答案】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得的坐標(biāo)，根據(jù)求模公式建立方程，解出即可.【詳解】因為向量，，所以，則，解得.故答案為：題型06根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)【典例6】（24-25高三上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，．若點(diǎn)在軸上，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，表示的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在軸上求的值.【詳解】∵O0,0，，，∴，，∵，∴，∵點(diǎn)在軸上，∴，∴.故答案為：1【變式1】（24-25高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知向量，，，則實數(shù)m的值為（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】先求得的坐標(biāo)，再由求解.【詳解】因為向量，，所以，又因為，所以，解得.故選：D.【變式2】（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，若，則的值（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由，利用向量相等求解.【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，所以，因為，所以，則，解得，所以，故選：B【變式3】（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）在正六邊形中，對角線，相交于點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)表示向量，由向量相等關(guān)系建立方程組求解系數(shù)即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正六邊形ABCDEF邊長為，則，，由，則，所以有，解得，則.故答案為：題型07向量共線的坐標(biāo)表示【典例7】（24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知向量，若，則實數(shù)（

）A． B． C．11 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因為，則，解得.故選：D.【變式1】（23-24高一下·北京順義·期末）已知向量，，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷即得.【詳解】對于A，由，得與不共線，A不是；對于B，由，得與不共線，B不是；對于C，由，得與不共線，C不是；對于D，由，得，D是.故選：D【變式2】（23-24高一下·河北·期中）若向量，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示建立方程，解之即可求解.【詳解】因為，，所以，解得或0．即x的取值集合為.故選：C【變式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，且，由可得，解得.故選：B【變式4】（23-24高一下·河南南陽·期中）已知，，，若，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】代入向量共線的坐標(biāo)表示，即可求解．【詳解】，，，則，，，則，解得．故選：D題型08利用坐標(biāo)法求最值（范圍）【典例8】（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）四邊形是正方形，延長至點(diǎn)，使得，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上移動（包含端點(diǎn)），設(shè)，求的取值范圍．【答案】【分析】由圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算可得的范圍.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由題意設(shè)，則，由得，則，故，即，故答案為：【變式1】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）正方形中棱長為4，E為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)（不包括C，D），若，則的取值范圍為．【答案】【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而可得取值范圍.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，若，則，解得，可得，因為，則，可得，所以的取值范圍為.故答案為：.【變式2】（23-24高一下·陜西咸陽·期中）（多選）如圖，在長方形中，，點(diǎn)滿足，其中，則的取值可以是（

）

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】ABC【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，從而求出，求出值域。【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，因為，所以，即，，故，，則，，因為，所以.故選：ABC

【變式3】（23-24高一下·四川德陽·階段練習(xí)）邊長為4的正方形，點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界），滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，則的最小值為.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出線段方程，由在線段上可得，利用二次函數(shù)值域計算即可得出結(jié)果.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，根據(jù)題意可得：，，，，設(shè)為，則，，，因為，所以，，，，所以，易知線段方程為：，，，因為點(diǎn)在上，所以，，，所以，，，所以，，，，，則，當(dāng)時取得最小值為.故答案為：題型09坐標(biāo)法在幾何中的應(yīng)用【典例9】（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為6，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)P是正方形四條邊上的動點(diǎn)，若，求的長度．【答案】(1)(2)或【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出的坐標(biāo)，由向量坐標(biāo)的數(shù)量積公式即可求解；（2）首先由，，得出點(diǎn)滿足的兩條直線方程，聯(lián)立得的坐標(biāo)，進(jìn)一步由，對分類討論即可求出它的位置，由向量模的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．則，，，，所以，，所以．（2）設(shè)，所以，因為，所以，所以．因為，，，所以，所以，所以，所以，，所以．由題得，又，由圖易知，點(diǎn)P在線段上或線段，①若P在上，設(shè)，，，，則，解得，所以，．②若P在上，設(shè)，，，，則，解得，所以，．綜上，的長度為或．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)結(jié)合，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系結(jié)合求解即可；（2）先求得，再根據(jù)向量平行的性質(zhì)證明即可【詳解】（1）由題意，因為，，故，故，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2）由題意，，又，故，且不共線，故【變式2】如圖，已知直角梯形中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，M為的中點(diǎn).求證：（1）；（2）D，M，B三點(diǎn)共線.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，證明四邊形為正方形，分別寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用向量共線證明即可；（2）用向量證明，結(jié)合與有公共點(diǎn)，即可求證【詳解】以E為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.令，則，因為，，所以四邊形為正方形，所以各點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（1）因為，，所以，即.（2）因為M為的中點(diǎn)，所以，所以，，所以，所以.又與有公共點(diǎn)，所以D，M，B三點(diǎn)共線.【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形為等腰梯形．【答案】（1）；；（2）證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)，，求得B的坐標(biāo)，再加上向量的坐標(biāo)即得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）利用向量的坐標(biāo)可得,計算?？傻?，從而證得.【詳解】解：（1）設(shè)，則，，，，；（2）證明：連接,，，，且，又，，,四邊形為等腰梯形.一、單選題1．直線上向量，的坐標(biāo)分別為-3，5，則向量的坐標(biāo)和模分別是（

）A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1【答案】A【分析】根據(jù)直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則代入數(shù)據(jù)即可求得答案.【詳解】由題可知，向量的坐標(biāo)為，向量的模為故選：A2．（23-24高一下·廣西梧州·期末）已知點(diǎn)，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】，故選：C3．（23-24高一下·甘肅·期末）已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量坐標(biāo)與終點(diǎn)、始點(diǎn)的關(guān)系求解.【詳解】因為，分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以.設(shè)Ex,y，又，所以，即解得即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，則（

）A． B． C．10 D．【答案】C【分析】運(yùn)用向量共線的結(jié)論可解.【詳解】向量，由，得，所以.故選：C5．（23-24高一下·浙江嘉興·期中）已知向量，則與向量反向的單位向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】與向量方向相反的單位向量為求解即可.【詳解】因為，所以，與向量方向相反的單位向量為，故選：B6．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知向量，，且實數(shù)，若A，B，C三點(diǎn)共線．則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為兩個向量共線，即共線，由向量共線的坐標(biāo)表示計算．【詳解】，，因為A，B，C三點(diǎn)共線，所以，則，解得或，，.故選：D.7．（23-24高一下·山東東營·期末）如圖，已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】題中有90°，因此建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，，解得，所以.故選：A.8．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若E為AF的中點(diǎn)，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)建以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)，標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得坐標(biāo)，結(jié)合，應(yīng)用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示列方程求出即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)，又為的中點(diǎn)，

∴，則，由，得：，∴，解得，則故選：B.二、多選題9．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下面幾種說法中正確的有（）A．相等向量的坐標(biāo)相同B．平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)C．一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量D．平面上一個點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的定義和坐標(biāo)的定義，即可判斷選項.【詳解】A.相等向量的坐標(biāo)相同，故A正確；B.根據(jù)向量坐標(biāo)的定義，可知平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)，故B正確；C.由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個坐標(biāo)可對應(yīng)無數(shù)個相等的向量，故C錯誤；D.平面上一個點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)，故D正確.故選：ABD10．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量是線段的三等分點(diǎn)，則的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，注意三等分點(diǎn)有兩種可能.【詳解】因為，，可得，又因為點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，所以或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.11．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知向量，，，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m可以是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意分析可知不共線，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.【詳解】因為，，，則，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，即A，B，C不共線，則不共線，可得，即，結(jié)合選項可知A錯誤；BCD正確.故選：BCD.三、填空題12．已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，列出方程組，即可求解.【詳解】因為點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，可得，設(shè)，則，即，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.13．（23-24高一下·全國·課前預(yù)習(xí)）平面內(nèi)距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)，，則，兩點(diǎn)之間的距離，中點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】由向量的