中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題基礎(chǔ)知識--三角形教案一、單元知識網(wǎng)絡(luò)：

二、考試目標(biāo)要求：

1．了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性.

2．探索并掌握三角形中位線的性質(zhì).

3．了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形全等的條件.

4．了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個三角形是等腰三角形的條件；了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì).

5．了解直角三角形的概念.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件.

6．體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

三、知識考點梳理.

知識點一、三角形的概念及其性質(zhì)

1．三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2．三角形的分類

(1)按邊分類：

(2)按角分類：

3．三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.

(2)三角形的任一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

4．三角形三邊之間的關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

5．三角形內(nèi)角與對邊對應(yīng)關(guān)系

在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊；在同一三角形中，等邊對等角，等角對等邊.

6．三角形具有穩(wěn)定性.知識點二、三角形的“四心”和中位線

三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.

1．內(nèi)心：三角形角平分線的交點，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.

2．外心：三角形三邊垂直平分線交點，是三角形外接圓的圓心，它到三個頂點的距離相等.

3．重心：三角形三條中線的交點，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.

4．垂心：三角形三條高線的交點.

5．三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.

中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

要點詮釋：(1)三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部.(2)鈍角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心為直角頂點，外心為直角三角形斜邊的中點.(4)銳角三角形的垂心、外心都在三角形的內(nèi)部.

知識點三、全等三角形

1．定義：能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

2．性質(zhì)：(1)對應(yīng)邊相等(2)對應(yīng)角相等(3)對應(yīng)角的平分線、對應(yīng)邊的中線和高相等(4)周長、面積相等

3．判定：(1)邊角邊(SAS)(2)角邊角(ASA)(3)角角邊(AAS)

(4)邊邊邊(SSS)(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)

要點詮釋：判定三角形全等至少必須有一組對應(yīng)邊相等.

知識點四、等腰三角形

1．定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

2．性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).(2)兩底角相等(等邊對等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°

3．判定：

(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；

(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

要點詮釋：

(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

知識點五、直角三角形

1．定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

2．性質(zhì)：

(1)直角三角形中兩銳角互余；(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.

(3)在直角三角形中，若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(5)勾股定理逆定理：若三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；

(7)SRt△ABC=ch=ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高.

3．判定：

(1)兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這邊所對的角是直角，則這個三角形是直角三角形.

(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊斜邊.

知識點六、線段垂直平分線和角平分線

1．線段垂直平分線：經(jīng)過線段的中點并且垂直這條線段的直線，是這條線段的垂直平分線.

線段垂直平分線的定理：(1)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.(2)與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.線段垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合.

2．角平分線的性質(zhì)：

(1)角的平分線上的點到角的兩邊的距離等；(2)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；

(3)角的平分線可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

四、規(guī)律方法指導(dǎo)

1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

本單元中所學(xué)的三角形性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、直角三角形中的勾股定理等，都是在結(jié)合圖形的基礎(chǔ)上，求線段或角的度數(shù)，證明線段或角相等.在幾何學(xué)習(xí)中，應(yīng)會利用幾何圖形解決實際問題.

2．分類討論思想

在沒給圖形的前提下，畫三角形或三角形一邊上的高、三角形的垂心、外心時要考慮分類：三種情況，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

3.化歸與轉(zhuǎn)化思想

在解決利用三角形的基礎(chǔ)知識計算、證明問題時，通過做輔助線、利用所學(xué)知識進(jìn)行準(zhǔn)確推理等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個相對較容易解決的或者已經(jīng)有解決模式的問題，已知與未知之間的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；一般與特殊的轉(zhuǎn)化.

4．注意觀察、分析、總結(jié)

應(yīng)將三角形的判定及性質(zhì)作為重點，對于特殊三角形的判定及性質(zhì)要記住并能靈活運用，注重積累解題思路和運用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的能力和培養(yǎng)，淡化純粹的幾何證明.學(xué)會演繹推理的方法，提高邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力，掌握幾何證明中的分析，綜合，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.經(jīng)典例題透析

考點一、三角形的概念及其性質(zhì)

1．（1）（2010山東濟(jì)寧）若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為2︰3︰4，那么這個三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

思路點撥：三角形的內(nèi)角和為180°，三個內(nèi)角度數(shù)的份數(shù)和是9，每一份度數(shù)是20，則三個內(nèi)角度數(shù)分別為40°、60°、80°，是銳角三角形.答案：B

（2）三角形的三邊分別為3，1-2a，8，則a的取值范圍是()

A．-6＜a＜-3B．-5＜a＜-2C．2＜a＜5D．a(chǎn)＜-5或a＞-2

思路點撥：涉及到三角形三邊關(guān)系時，盡可能簡化運算，注意運算的準(zhǔn)確性.

解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，應(yīng)選B.

舉一反三：

【變式1】已知a，b，c為△ABC的三條邊，化簡得_________.

思路點撥：本題利用三角形三邊關(guān)系，使問題代數(shù)化，從而化簡得出結(jié)論.

解析：∵a，b，c為△ABC的三條邊∴a-b-c＜0，b-a-c＜0

∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.

【變式2】有五根細(xì)木棒，長度分別為1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，現(xiàn)任取其中的三根木棒，組成一個三角形，問有幾種可能()A.1種B.2種C.3種D.4種

解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三種.應(yīng)選C.

【變式3】等腰三角形中兩條邊長分別為3、4，則三角形的周長是_________.

思路點撥：要分類討論，給出的邊長中，可能分別是腰或底.注意滿足三角形三邊關(guān)系.

解析：(1)當(dāng)腰為3時，周長=3+3+4=10；(2)當(dāng)腰為4時，周長=3+4+4=11.答案為10或11.

2．（1）（2010寧波市）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個B．4個C．3個D．2個

考點：等腰三角形答案：A（2）如圖在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數(shù)是______.

考點：直角三角形兩銳角互余.

解析：△ABC中，∠C=∠ABC-∠A=90°-50°=40°又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.

3．已知△ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A，則此三角形中()

A.一定有一個內(nèi)角45°B.一定有一個內(nèi)角60°C.一定是直角三角形D.一定是鈍角三角形

考點：三角形內(nèi)角和180°.

思路點撥：會靈活運和三角形內(nèi)角和等于180°這一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.

解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴∠A=45°，∴選A，其它三個答案不能確定.

舉一反三：【變式1】下圖能說明∠1＞∠2的是()

考點：三角形外角性質(zhì).

思路點撥：本類題目考查學(xué)生了解三角形外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角.

解析：A中∠1和∠2是對頂角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若兩直線平行則相等，不平行則不一定相等；C中∠1是三角形的一個外角，∠2是和它不相鄰的內(nèi)角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故選C.

總結(jié)升華：三角形內(nèi)角和180°以及邊角之間的關(guān)系，在習(xí)題中往往是一個隱藏的已知條件，在做題時要注意審題，并隨時作為檢驗自己解題是否正確的標(biāo)準(zhǔn).

【變式2】如果三角形的一個內(nèi)角等于其他兩個內(nèi)角的和，這個三角形是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

思路點撥：理解直角三角形定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和得出結(jié)論.

解析：若△ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C

又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以選C.

【變式3】下列命題：(1)等邊三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于兩個內(nèi)角的和；(3)三角形中最大的內(nèi)角不能小于60°；(4)銳角三角形中，任意兩內(nèi)角之和必大于90°，其中錯誤的個數(shù)是()A.0個B.1個C.2個D.3個

思路點撥：本題的解題關(guān)鍵是要理解定義，掌握每種三角形中角的度數(shù)的確定.

解析：(2)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形中最大的內(nèi)角若小于60°，則三個角的和就小于180°，不符合三角形內(nèi)角和定理，故(3)正確；(4)三角形中，任意兩內(nèi)角之和若不大于90°，則另一個內(nèi)角就大于或等于90°，就不能是銳角三角形.所以中有(2)錯，故選B.

考點二、三角形的“四心”和中位線

4．（1）與三角形三個頂點距離相等的點是這個三角形的()

A.二條中線的交點B.二條高線的交點C.三條角平分線的交點D.三邊中垂線的交點

考點：線段垂直平分線的定理.

思路點撥：三角形三邊垂直平分線的交點是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個頂點距離相等.答案D若改成二邊中垂線的交點也正確.

（２）（2010四川眉山）如圖，將第一個圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點進(jìn)行分割，得到第二個圖（圖②）；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個圖（圖③）；再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個圖中，共有________個正三角形．

考點：三角形中位線找規(guī)律

思路點撥：圖①有１個正三角形；圖②有（１＋４）個正三角形；

圖③有（１＋４＋４）個正三角形；圖④有（１＋４＋４＋４）個正三角形；

圖⑤有（１＋４＋４＋４＋４）個正三角形；…．答案：17

5．一個三角形的內(nèi)心在它的一條高線上，則這個三角形一定是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

考點：三角形角平分線定理.

思路點撥：本題考查三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點，若內(nèi)心在一條高線上，又符合三線合一的性質(zhì).所以該三角形是等腰三角形.故選B.

舉一反三：

【變式1】如圖，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O為外心；(2)O為內(nèi)心；(3)O為垂心；分別求∠BOC的度數(shù).

考點：三角形外心、內(nèi)心、垂心性質(zhì).

解析：∠A是銳角時，(1)O為外心時，∠BOC=2∠A=116°；(2)O為內(nèi)心時，∠BOC=90°+∠A=119°；(3)O為垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.

【變式2】如果一個三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個三角形是()

A.銳角三角形B.只有兩邊相等的銳角三角形C.直角三角形D.銳角三角形或直角三角形

解析：三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部；銳角三角形外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心在三角形斜邊的中點上、鈍角三角形的外心三角形外部.故選A.

【變式3】能把一個三角形分成兩個面積相等的三角形的線段，是三角形的()

A.中線B.高線C.邊的中垂線D.角平分線

思路點撥：三角形面積相等，可利用底、高相等或相同得到.

解析：三角形的一條中線分得的兩個三角形底相等，高相同.應(yīng)選A.

6．（1）（2010廣東茂名）如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點E、F分別是邊AB、AC的中點，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長是（）

A、15米B、20米C、25米D、30米

考點：三角形中位線定理.

思路點撥：ＢＥ=ＡＥ＝５，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０答案：C

（2）已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=12厘米，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則△DEF的周長是________.

考點：三角形中位線定理.

思路點撥：本題考查三角形的中位線，先求出△ABC各邊的邊長，由三條中位線構(gòu)成的△DEF是原三角形周長的一半.

解析：由已知求出△ABC另兩邊長為BC=8厘米，AC=16厘米

∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，∴DE、EF、DF是△ABC的中位線

∴DE=AC=8EF=AB=6DF=BC=4，∴△DEF的周長等于8+6+4=18厘米.舉一反三：

【變式1】求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

思路點撥：考查三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

解析：已知：如圖，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.

求證：AE、DF互相平分.

證明：連結(jié)DE、EF

∵AD=DB，BE=CE∴DE∥AC(三角形中位線定理)

同理EF∥AB∴四邊形ADEF是平行四邊形

∴AE、DF互相平分(平行四邊形的對角線互相平分).

【變式2】已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，四邊形EFGH是平行四邊形嗎?為什么?

思路點撥：考慮到E、F是AB、BC的中點，因此連結(jié)AC，就得到EF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得，，同理，則EF∥GH，EF=GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：連結(jié)AC∵E、F是AB、BC的中點，∴EF=，EF∥AC同理，GH=，GH∥AC，∴EF∥GH，EF=GH∴四邊形EFGH是平行四邊形.

考點三、全等三角形

7．對于下列各組條件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的一組是()

A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′

C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′

思路點撥：判定三角形全等的條件中，已知兩邊及一角必須是兩邊及其夾角，而已知兩角一邊和三邊都可以判定三角形全等.

解析：A可利用ASA判定；B可利用SAS判定；D可利用SSS判定.而C是兩邊和一邊對角對應(yīng)相等，不能判定三角形全等.故選C.

舉一反三：

【變式1】兩個三角形有以下三對元素對應(yīng)相等，則不能判定全等的是()A.一邊和任意兩個角B.兩邊和它們的夾角C.兩個角和它們一角的對邊D.三角對應(yīng)相等

思路點撥：兩個三角形中，三角對應(yīng)相等不能證明三角形全等.

解析：A的判定方法為ASA或AAS；B的判定方法為SAS；C的判定方法為AAS；要判定三角形全等必須有一個元素是邊，所以D不能判定.故選D.

8．（2010湖南長沙）在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．（1）求證：△BEC≌△DEC；（2）延長BE交AD于F，∠BED=120°時，求∠EFD．

考點：三角形全等的判定及性質(zhì).思路點撥：（1）利用ASA判定;(2)利用△BEC≌△DEC

答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°又EC＝EC∴△ABE≌△ADE

（2）∵△ABE≌△ADE∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED第8題圖

∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF∴∠EFD＝60°+45°＝105°

舉一反三：【變式1】如圖，已知:AC=DB，要使≌，只需增加一個條件是___________.

考點：三角形全等的判定.

思路點撥：增加條件判定三角形全等時，題中已有一條公共邊這一條件，答案不唯一.

解析：填A(yù)B=DC，可利用SSS；填∠ACB=∠DBC，可利用SAS.

【變式2】如圖，已知，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距離是________.

考點：利用三角形全等的性質(zhì)證明線段或角相等.

思路點撥：本題作出M到AB的距離，可以利用證三角形全等求距離.更簡單的是利用角平分線上的點到角兩邊距離相等.

解法一：過M作MD⊥AB于D，∴∠MDA=∠C=90°∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠DAM∵AM=AM，∴△AMC≌△AMD(AAS)，∴MD=CM=20cm

解法二：過M作MD⊥AB于D

∵∠C=90°，∴MC⊥AC∵AM平分∠CAB，∴MD=CM=20cm

考點四、等腰三角形與直角三角形

9．（1）（2010湖北黃石）如圖，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠CBD的度數(shù)為_____________.

思路點撥：等腰三角形的性質(zhì)答案：45°

（2）等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于()A.頂角的2倍B.頂角的一半C.頂角D.底角的一半

思路點撥：本題適用于任何一種等腰三角形.總結(jié)規(guī)律，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于頂角的一半.

解析：如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-(180-A)=∠A，答案：B.

10．△ABC等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD，不添加輔助線，請你寫出盡可能多的結(jié)論.

思路點撥：本題是先猜想再驗證的探索性題型，關(guān)鍵是掌握等邊三角形及三線合一的性質(zhì).

答案：如：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD；⑤∠CDE=30°；⑥BD平分∠ABC等.

總結(jié)升華：等腰三角形是特殊的三角形，具有對稱性，邊、角之間的聯(lián)系較多；三線合一的性質(zhì)在解題時應(yīng)用廣泛，但經(jīng)常被忽略，應(yīng)注意靈活運用.

舉一反三：

【變式1】若一個三角形的兩個內(nèi)角分別為50°、80°，則這個三角形是_________三角形.

考點：等腰三角形的判定.

思路點撥：會根據(jù)三角形內(nèi)角的度數(shù)判斷三角形的形狀.

解析：三角形的兩個內(nèi)角分別為50°、80°，則另一個內(nèi)角為50°，這個三角形有兩個角相等，所以是等腰三角形.

總結(jié)升華：三角形是按邊和角進(jìn)行分類的，會根據(jù)題意判斷三角形的形狀.

【變式2】若等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足為D，求∠DBC思路點撥：本題利用三角形內(nèi)角和求出∠C，從而得出結(jié)論.

解：∵等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180°

∴∠C=72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠DBC=90°-72°=18°.

【變式3】把腰長為的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個小三角形的周長是________.

解析：本題是動手操作題型，展開后會發(fā)現(xiàn)小三角形一邊恰好是原三角形的中位線，從而得出小三角形的周長就是原三角形周長的一半.答案：.

11．如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是()

A.1：2：4B.1：3：5C.3：4：7D.5：12：13

考點：考查勾股定理的逆定理.

思路點撥：常見的一些勾股數(shù)如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍數(shù)等，應(yīng)熟練掌握.

解析：D中設(shè)三邊的比中每一份為k，則(5k)2+(12k)2=(13k)2，所以該三角形是直角三角形.其它答案都不滿足，故選D.

12．（1）（2010年江蘇無錫）①如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，

AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面請你完成余下的證明過程）

②若將①中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當(dāng)∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．

③若將①中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請你作出猜想：

當(dāng)∠AMN=_____________°時，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

考點：考查三角形全等知識，輔助線的做法.

解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM,∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°,

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE=MC，連接ME∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．

∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（3）

（2）將一張矩形紙片如圖所示折疊，使頂點落在點.已知，，則折痕的長為()A.B.C.D.

考點：勾股定理和直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半.

思路點撥：考查學(xué)生了解折疊前后圖形的變化，找出對應(yīng)相等的量，運用勾股定理解答.

解析：由折疊可知，∠CED=∠C′ED=30°，因為在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故選C.

總結(jié)升華：直角三角形是常見的幾何圖形，在習(xí)題中比較多的利用數(shù)形結(jié)合解決相應(yīng)的問題.常用的是兩銳角互余，三邊滿足勾股定理.

舉一反三：

【變式1】下列條件能確定△ABC是直角三角形的條件有()

(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C.

A.1個B.2個C.3個D.4個

考點：直角三角形三個內(nèi)角之間關(guān)系.

解析:三角形中有一個角是90°，就是直角三角形.題中四個關(guān)系式都可以解得△ABC中∠C=90°.故選D.

【變式2】如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm，BC=8cm，將△ABC折疊，點B與點A重合，折痕為DE，則DE的長為()

A.B.C.D.5

考點：勾股定理和線段垂直平分線定理.

解析：由折疊可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB設(shè)BD為x，則CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=

在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=故選B.

【變式3】已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.

(1)若∠BAC=30°，求證:AD=BD；(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù).

圖1圖2

思路點撥：(1)利用直角三角形兩銳角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.

(2)利用三角形內(nèi)角和及角平分線定義或利用三角形外角性質(zhì).

解析：

(1)證明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD；

(2)解法一：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴=45°∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠BAP=，∠ABP=即∠BAP+∠ABP=45°∴∠APB=180°-45°=135°

解法二：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴=45°

∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠DBC=，∠PAC=

∴∠DBC+∠PAD=45°

∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.名校名題中考試題

1．（2010湖南株洲）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知、是兩格點，如果也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點的個數(shù)是（）A．6B．7C．8D．9

2．(沈陽市)(3分)若等腰三角形中有一個角等于，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為()

A.B.C.或D.或

3.(太原市)(3分)在中，D，E分別是邊AB，AC的中點，已知BC=10，則DE的長為()A.3B.4C.5D.6

4.(太原市)(3分)如果三角形的兩邊分別為3和5，那么這個三角形的周長可能是()

A.15B.16C.8D.7

5.(湛江市)(3分)已知等邊三角形ABC的邊長為，按圖中所示的規(guī)律，用個這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長是()

A.B.C.D.

6.(成都市)(3分)如圖,在△ABC與△DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()

A.∠B=∠E，BC=EFB.BC=EF，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠ED.∠A=∠D，BC=EF

7.(湖南省邵陽市)(3分)如圖，點是上任意一點，，還應(yīng)補(bǔ)充一個條件，才能推出.從下列條件中補(bǔ)充一個條件，不一定能推出的是()A.B.C.D.

8.(廣東省)(4分)已知等邊三角形ABC的邊長為，則ΔABC的周長是_______.

9.（2010江蘇無錫）如圖,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,則∠BCE=____°.

10.（2010湖南郴州）直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則__

11.（2010貴州畢節(jié)）三角形的3邊都是方程的根，則三角形的周長是_____.

12．(江蘇省宿遷市)(4分)等腰三角形的兩邊長分別是和，則其周長為______.

13．(江蘇徐州巿)(3分)邊長為a的正三角形的面積等于______.

14．(沈陽市)(3分)已知中，，，的平分線交于點，則的度數(shù)為__________.

15．(海南省)(3分)已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，還需添加一個條件，這個條件可以是_________.

16．(湖北省黃岡市)(3分)如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，點在同一條直線上，連接，則的長為_________.

17．(湖南省邵陽市)(3分)如圖，已知中，，平分,點為的中點,請你寫出一個正確的結(jié)論：__________.

18．(佳木斯市)(3分)如圖，，請你添加一個條件：_______，使19.（2010四川涼山）已知三角形兩邊長是方程的兩個跟,則三角形的第三邊的取值范圍是________。

20．(山東省日照市)(4分)如圖，C為線段AE上一動點(不與點A，E重合)，在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ.以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你認(rèn)為正確的序號都填上).

21．(新疆)(8分)如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分線，∠1=∠B.求證：AB=AC+CD.

22．(新疆烏魯木齊市)(7分)在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在